選修1-1人教版第三章函數(shù)最值

函數(shù)的最值一、函數(shù)的最值xX2oaX3bx1y

觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值嗎？發(fā)現(xiàn)圖中____________是極小值，_________是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)

問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？1、函數(shù)最值與極值的關(guān)系？思考：1）函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè),2）函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒有極值,3）極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值),4）除端點(diǎn)外在區(qū)間內(nèi)部的最大值(或最小值),則一定是極大值(或極小值).注意：函數(shù)極值是函數(shù)在某點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而函數(shù)最值是整個(gè)定義域上的整體性質(zhì)。2、求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最值步驟：1）求極值2）求端點(diǎn)處的函數(shù)值3）求定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值4）從上面所求的所有值中最大那個(gè)為最大值，最小那個(gè)為最小值！二、例題例1:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值.解:令,解得x=-1,0,1.當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13從上表可知,最大值是13,最小值是4.延伸1:設(shè),函數(shù)的最大值為1,最小值為,求常數(shù)a,b.解:令得x=0或a.當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f’(x)+0-0+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值b,而f(0)>f(a),f(0)>f(-1),f(1)>f(-1).故需比較f(1)與f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值為f(0)=b,故b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值為f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以延伸2:設(shè)p>1,0≤x≤1,求函數(shù)f(x)=xp+(1-x)p的值域.說明:由于f(x)在[0,1]上連續(xù)可導(dǎo),必有最大值與最小值,

因此求函數(shù)f(x)的值域,可轉(zhuǎn)化為求最值.解:令,則得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.而f(0)=f(1)=1,因?yàn)閜>1,故1>1/2p-1.所以f(x)的最小值為,最大值為1.從而函數(shù)f(x)的值域?yàn)榫毩?xí)2:求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(p是正數(shù))在[0,1]上的最大值.解:令,解得在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是練習(xí)1:求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.三、實(shí)際應(yīng)用1.實(shí)際問題中的應(yīng)用：

在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大(小)值的問題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.

在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域.

在實(shí)際問題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.例1:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設(shè)箱底邊長為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=