《直線與平面垂直(2)》示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)北師大】

第六章立體幾何初步直線與平面垂直(2)如何判定一條直線與一個(gè)平面平行？

1、定義法：線面無交點(diǎn)；

2、線面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.類似的，應(yīng)該如何判定一條直線與一個(gè)平面垂直呢？1、定義法：直線與平面內(nèi)所有直線垂直不方便！

al線線平行線面平行2、“（有限組）線線垂直”→“線面垂直”？不方便！

如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，能否判斷這條直線和這個(gè)平面垂直？長(zhǎng)方體中幾乎包含了線面之間的各種關(guān)系，可以借助長(zhǎng)方體來探究如圖，長(zhǎng)方體中，直線B′C⊥CD，直線B′C與底面ABCD垂直嗎？ADCBA′D′C′B′不垂直不能

如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，能否判斷這條直線和這個(gè)平面垂直？平面內(nèi)的兩條直線可能平行，也可能相交，分類討論ADCBA′D′C′B′如圖，長(zhǎng)方體中，直線B′C⊥AB，B′C⊥CD，直線B′C與底面ABCD垂直嗎？不垂直當(dāng)兩條直線平行時(shí)平面內(nèi)的兩條直線可能平行，也可能相交，分類討論ADCBA′D′C′B′如圖，長(zhǎng)方體中，直線C′C⊥BC，C′C⊥CD，直線C′C與底面ABCD垂直嗎？垂直當(dāng)兩條直線相交時(shí)

如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，能否判斷這條直線和這個(gè)平面垂直？結(jié)合問題1和問題2，大家能猜想出如何判定直線與平面垂直嗎？

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.證明過程較為復(fù)雜，這里不做要求！

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

符號(hào)語言直線與平面垂直的判定定理①②③缺一不可“線面垂直”“線線垂直”如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直嗎？如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意兩條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直嗎？不垂直，無數(shù)條直線并不能保證有兩條相交直線，判定定理不成立垂直，任意兩條直線肯定能保證有兩條相交直線，判定定理成立.1、若三條共點(diǎn)的直線兩兩垂直，那么其中的任意一條直線與另外兩條直線確定的平面是什么關(guān)系？acbP

垂直線面垂直的判定定理

2、過平面外一點(diǎn)可以作幾條直線與已知平面垂直？

假設(shè)過平面外的一點(diǎn)可以作兩條直線與已知平面垂直，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，這兩條直線平行，不可能共一點(diǎn)，故假設(shè)錯(cuò)誤.

故答案為有且只有一條.

證明：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

證明：

ab

解：在空間中，與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確；

由線面垂直的定義可知，②正確；

這兩條直線也可能平行，并不能保證相交，線面垂直的判定定理不成立，③不正確；

PAOal

②

如圖所示，Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S，SA=SB=SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，求證：直線SD⊥平面ABC.SABCD連接BD，由SA=SC可得SD⊥AC，再由△SAD≌△SBD，可知SD⊥BD，結(jié)論可證解：

應(yīng)用判定定理證明線面垂直的步驟找在平面內(nèi)找到或作出兩條與已知直線垂直的直線證明已知直線垂直于找到(作出)的直線由判定定理得出結(jié)論證結(jié)論

PO⊥AO，PO⊥BO勾股定理的逆定理

分別討論必要性和充分性，可畫圖幫助理解解：

ml

必要不充分ml

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中.求證：AC⊥平面BDD′B′.解：

ABCDA′B′C′D′AC⊥平面BDD′B′AC⊥BD，AC⊥BB′BB′⊥平面ABCD線面垂直的定義線面垂直的判定定理

如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，則下列關(guān)系中不正確的是（

）.A.PA⊥BC

B.BC⊥平面PAC

C.AC⊥PB

D.PC⊥BCA選項(xiàng)，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC；

C選項(xiàng)，無法證明，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC.C

已知：在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC.

易知△VAC、△BAC是等腰三角形，取AC中點(diǎn)D，連接VD、BD，由三線合一的性質(zhì)可知VD⊥AC，BD⊥AC，結(jié)論可證.解：

VBCAD課堂小結(jié)線面垂直的判定定理：如果