與平面向量相關(guān)的最值問題

與平面向量相關(guān)的最值問題熱點(diǎn)追蹤與平面向量共線有關(guān)的最值問題是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，與平面向量共線有關(guān)的最值問題是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，常以中檔小題、壓軸小題出,再求出目標(biāo)的最現(xiàn)?解決此類問題需要先根據(jù)題中的向量關(guān)系得出未知元之間的關(guān)系式,再求出目標(biāo)的最值.本專題主要研究平面向量線性表示背景下的最值問題 ，并在解決問題的過程中體會數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用?例題導(dǎo)引例題：如圖，在扇形OAB中，/AOB=60°,C為弧AB上的一動點(diǎn)，若OC=xOA+yOB(x,y€R),求x+4y的取值范圍.變式1設(shè)點(diǎn)A,B,C為單位圓上不同的三點(diǎn)，若/ABC二nn,OB=mOA+nOC(m，n€R),則m+n的最小值為3藝貳聯(lián)饉3藝貳聯(lián)饉變式2如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量AC=淀+麗（入，卩€R）,求入+卩的最小值.串講1已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動點(diǎn)點(diǎn)Q滿足AQ=2AP+1AC，則|BQ|的最小值為 串講2已知三角形ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E任作一條直線分別交邊AB,AC于M,N兩點(diǎn)，設(shè)AM=xAB,AN=yAC(xy豐0),求4x+y的最小值.創(chuàng)新題在線2由于M2由于M,P,N三點(diǎn)共線，所以廠+—=1,9分（2017新課標(biāo)川卷）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與■■~BD相切的圓上，若AP=AB+MAD，求入+卩的最大值.答題標(biāo)準(zhǔn)減少戎分（2018洛陽三模）在厶ABC中，點(diǎn)P滿足BP=2PC，過點(diǎn)P的直線與AB,AC所以直線分別交于點(diǎn)M,N，若AM=mAB,AN=nAC（m>0,n>0）,求m+2n的最小值.答案：3.解析：因?yàn)锽P=2PC,所以，AP=Ab+E3p=AB+i2(AC—AB)=-AB+2AC,4分333又因?yàn)锳M=mAB,AN=nAC，所以AP=￡aM+aaN,7分3m3n

例題答案:[L4].解法1建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則直線l：n=23m—t過弧AB上的點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)I過點(diǎn)B(l,0)時(shí)t取得最大值tmax=2.3,當(dāng)I過點(diǎn)A2，于時(shí)，t取得最小值設(shè)此扇形的半徑為A寸，于,B(1,L/AOB=60°，所以xc二設(shè)此扇形的半徑為A寸，于,B(1,L/AOB=60°，所以xc二cosO0),設(shè)'yc=sin°，，因?yàn)镺C=xOA+yOB，所以(cos0，sinO)二X2，于+y(i.0),2sin°心百，解得<?nsinuy=coso—3,貝Ut=x+4y二4cosB2"血。0€0，寸L以下用導(dǎo)數(shù)方法求解函數(shù)t的最值情況,方法求解函數(shù)t的最值情況,因?yàn)閠=—4sin0—岑303COS冗張」， 八\.? ,sin0>0,cosQ>0,則t'v0,即函數(shù)t在0€0, 才時(shí)是單調(diào)遞減的，所以當(dāng)0二0時(shí)，tax=4X12,3 、「，nz 1 3二3_乂0=4，當(dāng)0二—時(shí)，虹n=4X2——3_X七1,綜上所述,x+4y的取值范圍是[1,4].解法2建立解法1中的直角坐標(biāo)系xOy，則 設(shè)此扇形的半徑為L由于/AOB=60。，A2,于，B(1,0),設(shè)C(m,n),因?yàn)镃為弧AB上的一個(gè)動點(diǎn)，貝Um2+n2=22寧+y(1,0)，從而11<mw1,0wnw于，由于OC=xOA+yOB,所以(m,n)=x；,m=x+y,n念解得所以x+4y所以x+4y=jn二竽(2柚n),記t=243m—n,23nx= 3,y=m3n,tmin=〒，所以X+4y=23「t€[L4].解法3取OB的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)0）D,連接AD交0C于點(diǎn)E,設(shè)此扇形的半徑為1貝0|OC|=L0）D,連接AD交0C于點(diǎn)E,設(shè)此扇形的半徑為則0C=X°a+4yXiOB=x°a+4yOD，因?yàn)锳,E,D共線，設(shè)°e=X0A+Qd，貝入4+ 1,又因?yàn)?,E,C共線，設(shè)OC=kOE,則Oc=kOE=kxOA+kAOD=xOA+4yOD,所以x+4y=k=9CU—,當(dāng)E,D重合時(shí)，|0E|取得最小值，x+4y取得最大值4;當(dāng)|0E||0E|TOC\o"1-5"\h\zE,A重合時(shí)，|0E|取得最大值，x+4y取得最小值L所以x+4y€[L4].（用等和線的知識三言兩語就能得出結(jié)果，用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化需要大量篇幅 ）?變式聯(lián)想變式］答案：—2.n n解法1因?yàn)?ABC ,所以/AOC=2,不妨設(shè)A(1,0),C(0,1),B(cosB,sin°)，°€2,2。，則cosO二m，sin9=n沐m+n=cos°+sin9二.2sin卄寸 2，當(dāng)且僅當(dāng)0二牛時(shí)取等號.4It解法2如圖，因?yàn)?ABC=;，所以4/AOC=亍，不妨設(shè)A(1,0),C(0,1),B(x,y)(優(yōu)弧上的點(diǎn))，由于OB=mOA+nOc,則(x,y)=m(l,0)+n(0,1),即x=m,y=n,所以m+n=x+y>-2(x2+y2)=—2，當(dāng)且僅當(dāng)x-V一乎時(shí)取等號n n解法3如圖，因?yàn)?ABC= 所以/AOC=一,不妨設(shè)A(1,0),C(0,1),B(x,y)(優(yōu)上的點(diǎn))，則|0B|=1記0B的反向延長線交AC于點(diǎn)D,則因?yàn)锳,D,C共線，設(shè)0D=XOA+QC，則入+尸1,又因?yàn)镺,D,B共線，設(shè)OB=kOD(kv0),則OB=kOD=kxOA+k(iOc=mOA+nOc,所以m+n=k(入+卩匸k=IOBI 當(dāng)D位于AC中點(diǎn)時(shí)，|OD|取得最小值，m+n取得最小值一|OD||OD|時(shí)x=y= 22.(用等和線的知識三言兩語就能得出結(jié)果 ，用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化需要大量篇幅變式21ABCD答案：1.ABCD解法1以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1,則E20,C(1,1),D(0,1),A(0,0),設(shè)P(cos9,sin9)，所以AC=(1,1),又AC=QE+pAP.故入？，一1+P(cos9,sin9)=(1,1)，1入+pcos9=1,所以22sin9—2cos9匸2cos9+sin9，卩2cos9+sin9,十 3+2sin9—2cos9ssI從而入+p二2cos9+sin92cosB+sin9.3sin9+3 3sin9+3 n一=-1+2cos9+sin9，記f(9=_1+2cos9+sin9,宙題意得，9三亍，則f(9)

護(hù)性一畔〉0.所以f(6=—1+ &單調(diào)遞增，所以(2coS6+護(hù)性一畔〉0.所以f(6=—1+ &單調(diào)遞增，所以(2coS6+sin6)2'丁2cos6+sin6當(dāng)°=0時(shí)，入+卩的最小值為？.解法2如圖，設(shè)正方形邊長為L將向量DE沿DA平移至AF，則DE=AF，連接FP并延長交AC的延長線于點(diǎn)Q,由于F,P,Q共線，設(shè)AQ=xAF+yAP^=xDE+yAP，貝x+y=1,因?yàn)锳,C,Q共線，設(shè)AC=kAQ,則AC=kAQ=k(xDE+yAP),又因?yàn)锳C=4DE+AAP，由平面向量基本定理得入=kx,P=ky，所以H尸kx+kyk=|aCJ==/,當(dāng)|AQ|最大時(shí)，入+卩取得最小值，此時(shí)P,B重合，|AQ|二22,所以|AQ||AQ|=k=1(*min kmin ?.(用等和線的知識三言兩語就能得出結(jié)果 ，用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化需要大量篇幅！說明：平面向量線性表示背景下的最值問題涉及平面向量的線性表示、平面向量基本定理、向量共線等知識點(diǎn)，解決此類問題通常是先合理設(shè)元將向量關(guān)系數(shù)量化進(jìn)而得出未知元之間的關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求目標(biāo)函數(shù)的最值?解決問題的關(guān)鍵是目標(biāo)的有效選擇與合理表征，等和線在解決線性目標(biāo)函數(shù)問題時(shí)，上比較快捷.串講激活串講1答案：［7—2.解法1以A為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤332'332'軸，豎直方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B—C2， 勺)設(shè)P(cosO，sin6),AQ=fAP+AAC=2(cos°，sin6)+汪)=2cos0+cos2cos0+cosB13sin0—今，BQ=BA+AQ=32,12sin0—-2=2cos0+2,2，2sin°則|BQ|=COStxf r-COStxf r-\'jCOsS+2i+§sin0+<3)=

項(xiàng)旳IE特殊角)，所以sin■j丨是以sina=7人7,|BQ|0+.67|BQ|0+.67鬲-12億3幣-2詡2.—3—1——2—1解法2如圖，取AC的三等分點(diǎn)D（靠近A）,則AD=3AC，又AQ=孰卩+AAC，即AQ=2AP+Ad汲DQ=2aP,因?yàn)辄c(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動點(diǎn)，所以點(diǎn)Q是以點(diǎn)2D為圓心，3為半徑的圓上的動點(diǎn)，又BD=BC2+DC2—2BC-DCcos/BCD=32+22—2X3X=y7所以|民|的最小值為由-￡串講2答案：94解法1由題意可知，M,E,N三點(diǎn)共線，故設(shè)ME=入MN(0v入v1),而AE=斑=1(AB+AC),所以ME=AMN，即AE—AM=AAN—AM)，即;(AB+AC)—xAB=入(*C—xAB),即A—x+入xAB+4—入『AC=0,所以33

1一入尸x=4(1入1—入1一入尸x=4(1入1—入5卅(1—入=1一廣'4故4x+y=1—入+兀=w二贏2是4.5=4當(dāng)且僅當(dāng)匕丹，即爐扣等號成立，故4x+V的最小值解法2由于M,E,N共線，設(shè)AE=加+屁,貝U入+尸L因?yàn)锳M=xAB,AN=yAC，所以Ae=入XB+"yC,由于AD為三角形ABC的中線，所以AD=*aB+2aC,又因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，所以Ae=2aD=4AB+彳aC二入xb+、C，所以入x4,入x4,1□y=4,J4+1+且：+尸1,所以-+7=4(xyM°),所以4x+y=-x(4x^+y)+-)=:24xXy!9 當(dāng)且僅當(dāng)x=8y=3時(shí)取得等號?所以‘Vx=4，4x+y的最小值是9新題在線答案：3.解析：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(°,1),B(°,°),C(2,°),D(2,1),P(x,y).根據(jù)等面積公式可得圓的半徑 r_2 ,- (