五不完全信息靜態(tài)博弈版

不完全信息靜態(tài)博弈?緩小緩小”點全力搏斗之際，他豈肯輕易以一世英名相試？”點 ，當下也不驚惶，雙錯，若有若無，正是老頑童周伯通得意杰作七十二路空明拳中第五認公。郭二的芳名，是一個襄陽的襄字?！闭J 1/3 （normaon40，-10，30，-10，0，0，0，0，擇進入的期望利潤是p(40)(1p)(10)，選擇不進入的期望利潤是0。因此，進入者的最優(yōu)選擇是：如p15，進入p1/5，不進入（p1/5時，進入者在進入與★海深義轉(zhuǎn)換參與人——“自然”（Nature）；自然首先行動決定參與人的特征（上例中是成本函數(shù)，參的完全但不完美信息博弈（gamesofcompletebutimperfectinformation（括號中的數(shù)字代表ransformationN低高N低高 [1-進默(40, (-10, (30, (-10,θi∈Θi（2行原來的靜態(tài)博弈各實際參與人同時從各自的行為空間中選擇行動方案(a1,…,an)；（4）除了“自然”以外，其余參與人各自取得效ui(a1,…,an,θi)的所有私人信息（privateinformation）稱之為他的類型（type。一般地，我們用i表示參與人i的一個特定類型，i表示參與人i所有可能類（ii。我們假定，{i}取自某個客觀的分布函P(1,...,n)【所有參與人類型的聯(lián)人都不能觀測到i。根據(jù)海深義（Harsanyidoctrine，我們假定分布函數(shù)P(1,...,n)pp，在位者知道進入者認為在位者是高成本的概率是p，進入者知道在位者知道進入者認為在位者是高成本的p，如此等等。換言之，在博弈開始時，所有參與人有關自然行動的信念（belief）用i(1,...,i1,i1,...,n)表示除i之外的所有參與人的類型組合(1,...,n)(i,i。我們piii為參與人i的條件概率，即給定參與人i屬類型i的條件下，他有關其他參與人屬于ip() p(i,i i

p(i,i)p(ip(inp(ii)p(i)p(jj全信息靜態(tài)博弈上的擴展。不完全信息靜態(tài)博弈又稱為靜態(tài)貝葉斯博弈（thestaticBayesiangamesAi。但與完全信息靜態(tài)博弈不同的是，在不完全信息靜態(tài)博弈中，參i的行動空間Ai可能依賴于他的類型i；換句話說，行動空間是類型依存的（type-contingentaii)Aii表示i的一個特定行動。類似地，參與人i的支付函數(shù)也是類型依存的，我們用ui(aiai;i)表示參與人i的效用函數(shù)。那么，我們可n人靜態(tài)貝葉斯博弈的策略式表述包括：參與人的類型空間1 ，條件概p1pnA1(1An(n)，和類型依存支付函數(shù)u1a1,...,an1),...,una1,...,ann。參與人i知道自己的類型ii，條件概率pipiii描述給定自己屬于i的情況下，參與人i有關其他參與人的類型ii的不確定性。用G{A1An1,...,n;p1,...,pnu1,...,un}代表這個博弈。自然選擇類型向量(1,...,n，其中iii觀測到i，但參ji只知pjjj，觀測不到i參與人i得到uia1,...,ani注意我們假定Ai(i),ui(a1,...,an;i)是共同知識；就是說，盡管其他參與人并不知道參與人i的類型i，但他（們）知道參與人i的策略空間和支付函數(shù)是如何依賴于他的類型的；或者說，如果他們知道i的話，也就知道Ai)和ui。當我們說其他參與人不知道參與人i的支付函數(shù)時，準確地講，我們指得是，其他參與人不知道參與人i的支付函數(shù)究竟是uia1,...,ani)還是uia1,...,ani)里ii。i只知道自己的類型i而不知道其他參與人的類型iiaii最大化自己的期望效用。參與人iipi(ii)ui(ai(i),ai(i);i,in人不完全信息靜態(tài)博弈G{A1,...,An1,...,n;p1,...,pnu1,...,un}的純策略貝i斯納什均衡是一個類型依存型策略組合{a(i

，其中每個參與人i和其他參與人類型依存策略a )的情況下最大化自己的期望效用函數(shù)。換言之i

策略組合

a),...,a是一個貝葉斯納什均衡，如果對于所有的i，aA )arg p )u(a,a );,

i 有類型j的參與人將選擇aj(j)但并不知道j，因此即使純策略選擇也必須取支付函數(shù)的期望值。但如同有類型的參與j將選擇a()，因此參與人i有關其他參與人的信念（條件概率）并 i自己的信念piaii本在位者選擇；當且只當p1/5時，進入者選擇進入。這個例子說明，貝葉斯均衡實際上相當于iii是參與人i可能類型的數(shù)量。

，(每種類型的參與人的混合策略為iii

aA(

ii代表i

iii(aiAi(i

i) i i一個參與人iN以及每一個類型ii，下列條件滿足：i(i)argi(i

i)(j(ajaAjNi

j))i(ai)ui(a,t其中i是混合策略組合中參與人i(i是i類型參與人的混合策略不完全信息靜態(tài)有限博弈的純策略貝葉斯均衡的求解方法劣的尺度有所改變，因為不完全信息博弈中參與人i并不確切地知道對手的類型，但他對P(ji。因此，如果對任何一個策略組合來說，參與人者望收益是根據(jù)信念（條件概率）P(ji)進行的計算。與人1,2的收益由下圖所示。-1，-1，-2，1，0，0，0，0，A1(1a1(1),a1(1a1,a1}={進入，不進入}；p1(p,1pp

112;1pP(21112)}={高成本擴展，高成本不擴展)}={低成本擴展，低成本不擴展)}={高成本擴展，高成本不擴展)}={低成本擴展，低成本不擴展A2(21){a2(21),a2A2(22){a2(22),a2P(121P(12211，1，0， 0，進-1，-??,,擴-2，1，0，0，進??,,擴對在位者（i2）來說，他既知道自己的類型又知道進入者（i1）的類型（因為進入者只有一種類型。在類型21（高成本）情況a2(21)嚴格劣a2(22)，因此， )a2(21)，即高成本不擴展在類型22（低成本的情況下 擴展。這兩個結(jié)果，進入者i1也知道。因此只能通過期望收益來比較策略a1（即進入）和策略a1（即不進入）之間的優(yōu)劣。當1，1，0， 0，進-1，-??,,擴??,,擴-21進0，0，u(a,a();,) )u(a ); ) )u(a進0，0， 1 1 111(2) 當進入者選擇策略a1，相應的期望收益為：u(a,a();,) )u(a );,) )u(a );, 1 1 1 1010 a( )(a1(1),a1(21),a1(22 基于貝葉斯均衡的定義的優(yōu)化方法行動空間A1a1,a1={進入，不進入}A2a2,a2={擴展，不擴展1{1}，參與人1（進入者）只有一種成本；2{21,22}={低成本擴展，高成本不擴展A1(1){a1(1),a1(1)}={進入，不進入A221a2(21),a2(21={高成本擴展，高成本不擴展}，A222a2(22),a2(22={低成本擴展，低成本不擴展}。p1p,1ppP(211),1pP(221p12p2

21)P(122)(u1,u2)由下圖所示的兩個雙變量收益矩陣????,2??,,2??,(?? -1，-1，??,,(?? 0，0，??,2??,,2??,1-2，1，??,,10，0，2對于類型為21（高成本）的參與人 2（在位者）來說，按照純策略貝葉斯均衡的定義，其均衡策略a( )應是下述最優(yōu)化問題的解：2 P( )u(a(),a ),a );,a2(21)A2(21 1 u(a(),a );, a(21)A(21) 對于收益函數(shù)u2(a1(1),a2(21),a2(22))，當“自然”選擇了21，也就是參與人 的類型確定為21（1不知道，這時，類型22就不會出現(xiàn)。u2(a1(1),a2(21),a2(22))u2(a1(1),a2(21),其中a2(22a2(22等式都成立。這樣，類型為21（高成本）的參與人2（在位者）選擇行動a2(21)（高成本擴展）與選21類型參與人視為給(??,(??1),??, 進，低??,(??1),??,, 進，低不??,,(??1),??, 不進，低??,,(??1),??,, 不進，低不??,1高成本擴--00??,,2高成本不擴1133由上表看出，a2(21)與a2(21)相比是嚴格占優(yōu)策略，因此得到 )a2(21)

2對于類型為22 （低成本）的參與人2（在位者）來說，按純策略貝葉斯均衡的定義，其均衡策略a( )應是下述最優(yōu)化問題的解：2 P( )u(a(),a ),a );,a2(22)A2(22) u(a( ),a );,a2(22)A2(22) 類型為22（低成本）的參與人2（在位者）a2(22a2(22)(a1(1),a221))構(gòu)成的策略組合獲得的收益由下表(??,(??1),??, ??,(??1),??,, ??,,(??1),??, ??,,(??1),??,, ??,1低成本擴2244??,,2低成本不擴1133由上表看出，a2(22)與a2(22)相比是嚴格占優(yōu)策略，因此得到

對參與人1（進入者）來說，他只有一種類型1，但他對參與人2的兩種類型21與22具a()應是下述最優(yōu) )u(a( );,a1(1)A1(1)

)u(a( )) )u(a( a1(1)A1(1 1u(a(),a ))1u(a(),a a1(1)A1(1) 111(2) 1010 1的兩個期望收益，因此產(chǎn)a(a(1，這表明1（ (a( 用委托人方法求解貝葉斯均高成低成1擴??, ??,, 不1擴??, ??,, 不1-1，-1，進10，，不1-2，1，進1，0，不進入者（i1）似乎同時在和不同在位者（兩1-1，-1，進10，，不1-2，1，進1，0，不（高成本）的在位者，??=2(??22)類型為??22（低成本）的在位者。每個人的支付他們各自選擇的策略（即行動）構(gòu)成的策略組合(??1(??1)??2(??21)??2(??22))的函數(shù)，根據(jù)先驗信念??(??21???1)=1/2，于是可以將不完全信息博弈轉(zhuǎn)換成下圖所示的完全信息靜態(tài)博弈。??=??=??,1??,,2??,1進-1.5,-1,-0.5,1,??,,10,0,0,3,??=??,1??,,2??,1進0,-1,1,1,??,,10,0,0,3, 2,(??22)，低

2??=2

,,2，因此類2的決策可以忽略。這時1的參與2與參與1的博弈格局中（見上頁左表（不進，高不擴）對應的類型1的支付為3，這就是綠色覆蓋的支付組合中的中間擴、參與人1選擇不進時，在上頁右表中對應著類型2的支付為4，這就是綠色支付組合中最1（進入者）選擇“不進”時支付。當進入者決策時，他不知道兩個其他的七個格子中的支付同理可得。于是2人不完全信息靜態(tài)博弈轉(zhuǎn)化成了3人完全信息靜態(tài)博弈，利用劃，我們可求得純策略納什均衡（不進，高不擴，低擴如果參與人1（進入者）對參與人2（在位者）的兩種類型21（高成本）與22（低本）p

1)3/4；1p

114Eu(a( ))311(2) Eu(a( ))3010 )a2(21)。這時參與人1選擇“進入”有利可圖（期望收益1/4），因此 □不完全信息靜態(tài)博不完全信息Cournot（）的策略式表述為G{A1A21,2;p1p2u1u2，與之前的情況不同的是，企業(yè)1也有兩種成本C11C12；企業(yè)2不知道企業(yè)1的成本，只具有信念。已知條件統(tǒng)一記號如下。企業(yè)1：類型空間1C11C12={高成本，低成本}；P(

1)P(1)P(

C11)P(C21C11)P(

C12) C12)1，0企業(yè)2：A20ac2P(

2)P(2)P(

C21)P(C11C21)P(

C22)C22)1,0C115,C124,(1/211/C216,C223,2/3,11/3,au1(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C11,C21)q1(C11)[a(q1(C11)q2(C21))C11u1(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C11,C22)q1(C11)[a(q1(C11)q2(C22))C11u1(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C12,C21)q1(C12)[a(q1(C12)q2(C21))C12u1(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C12,C22)q1(C12)[a(q1(C12)q2(C22))C12u2(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C11,C21)q2(C21)[a(q1(C11)q2(C21))C21u2(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C12,C21)q2(C21)[a(q1(C12)q2(C21))C21u2(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C11,C22)q2(C22)[a(q1(C11)q2(C22))C22u2(q1(C11),q1(C12),q2(C21),q2(C22);C12,C22)q2(C22)[a(q1(C12)q2(C22))C22qq ),q( ),q( ),q( ))就是要求下列聯(lián)立最優(yōu)化的問 q(C)[a(q(C)q(C))C](1)q(C)[a(q(C)q(C))Cq(C)A(C q(C)[a(q(C)q(C))C](1)q(C)[a(q(C)q(C))Cq(C)A(C q(C)[a(q(C)q(C))C](1)q(C)[a(q(C)q(C))Cq(C)A(C q(C)[a(q(C)q(C))C](1)q(C)[a(q(C)q(C))C

其等于0，得到下列聯(lián)立方程組：[a2q( )q( )C](1)[a2q( )C] [a2q( ) ](1)[a2q( ) ][

q( )

2q( )C

(1

)[

q( )

2q( )C] [aq( )2q( ) ](1)[aq( )2q( ) ] q( )[aq( )(1)q( )C]/ )[aq( )(1)q( ) ]/ q( )[aq( )(1)q( ) ]/ q( )[aq( ) ]/ )(a/3) /2[C(1)C]/6[ (1)C]/ q( )(a/3) /2[C(1)C]/6[ (1)C]/ 2q(C21)(a/3)C21/2[C11(1)C12]/3[C21(1)C22]/2q( )(a/3) /2[C(1)C]/3[ (1)C]/ q(q( ),q( ),q( ),q(

C115,C124,(1/211/C216,C223,2/3,11/3,a

apQ的條件下，產(chǎn)生的貝葉斯均衡產(chǎn)量仍然反映一種經(jīng)濟現(xiàn)象：成本越高，均衡產(chǎn)量越低q6q5q4q3。 maxui

in maxP(ii)uiai(i)

i andii獲得可能的最高價格。這種情況在古董和名畫的中特別普遍。當直接的賣者（）或者買者（企業(yè)）以人出現(xiàn)時，拍賣也有助于減少買者和賣者之間損害委托人的共謀行為。比如，如果可以將任意一塊土地租給任何一個企業(yè)時，我們很難保證得到土地的企業(yè)不是賄賂但只付很低的的企業(yè)。但如果采用公開一級密封價格拍賣（thefirst-pricesealedauction）是許多拍賣方式中的一種。在這種拍讓我們首先考慮兩個投標人的情況，i1,2。令bi0是投標人i的出價，i品對投標人i的價值。假定i只有i自己知道（因而i是投標人i的類型兩個投標人都知道i獨立地取自定義區(qū)間[0,1]上的均勻分布函數(shù)。投標人i的支付如下： ifbiu(b,b;)

1(b)ifb 00 if

為在連續(xù)分布情況下，相同出價概率為0。假定投標人i的出價bii)是其價值i的嚴格遞增可微函數(shù)。顯然，bi1i不可能是bb( ui(b)prob(bjbprob(代表bjb的概率，其中bjj的出價策略。因為出價策略是嚴格遞增的，prob(bjbprob(bjb。期望支付函數(shù)的第一項(b是給定贏的情況下投標人i的凈所得，第二項prob()是贏的概率。bb(，所以prob(bjbprob{b(jb prob{jb*1(b)(b)}(b其中bb*1b是b*的逆函數(shù)（當投標b時他的價值是(b，是將客觀的出價映射到的評估上。得出最后一個等式時，我們使用了均勻分布的特征【如果在maxb

(bprob(bjb(bb【bb*1b，j

(b)(b)(b) 出增加(b)；同時，由于出價增加，贏得概率也會增加，邊際收益也會相應增加，其值為贏的概率增加乘以給定贏的情況下的凈所得(b)b)【注：probbjbb如果b*是投標人i的最優(yōu)策略，b。因此，上述微分方程（1）[(bb()]0【bb*1bb1b(db()]bd12 2由于b(b00k0，故b12投標人，每個投標人的價值i具有獨立、相同的且定義在[0,1]區(qū)間上的均勻分布，如果評價為的投標人i出價b，他的期望支付函數(shù)為：ui(bj

prob(bjb)(b)n1(bn1(b)(b)(n1)n2(b) (b)((b)b)(n1)(b)因為在均衡情況下(b)db()bn1n1 n 等式兩邊同乘積分因子exp{0 )ds} db()n1)(n1n1，積分bk(n1n1，由于b(00k0n微分方程的解b()nn顯然b(n的增加而增加。特別地nb()。也就是說，投標人prices所有出價高于p的買方買入；在價格p下的總供給等于總需求。的價值）c，該商品對買方的價值是c0,1]，0,1]。賣方和買方同時選擇要價和出價，分別為ps[0,1]和pb[0,1]；如果pspb，雙方在(pspb)/2上；如果pspb，沒有發(fā)生。這樣，如果pspb，賣方的效用是usc(pspb)/2，買方的效用是ub(pspb)/2pspb，的效用都為零。如果信息是完全的，即如果c,c，這個完全信息博弈有連續(xù)的純策略帕累托有效均衡：開出相同的價格pspbpc,，每一方都得到正的剩余。如果任何一方想更為貪婪（賣方要價高于在不完全信息下，只有賣方知道c，只有買方知道（c,是雙方的類型，或者私人信息。假定c,0,1]上均勻分布，分布函數(shù)P)是共同知識。p是p(。策略組合(pcp(BayesianEquilibrium s1、賣方最優(yōu)：對所c[0,1]，p(c)是下列最優(yōu)化問smax[1{psE[pb()pb()ps]}c]prob{pb()ps Epb(pb(ps是給定賣方的要價低于買方的出價條件下，買方預期的賣方要2、買方最優(yōu)：對于所有的[0,1]，pb()是下列最優(yōu)化問題max[1{pbE[ps(c)pbps(c)]}]prob{pbps(c Epscpbpsc是給定賣方的要價低于買方的出價的條件下，買方預期的賣方ps(c)sscpb()b因為0,1]上均勻分布pb()[b,bb]上均勻分布。因此我prob{pb()psb}prob{bbpsprob{psb}bb 1psE[p()p()

]E[pb(),pb()ps prob{p()p p pb

1(p prob{pb()ps Epbpbps]

b

pbf(

f(pb)1/b

b

pbdpbmax[1(ps1(psbb))c]bb F.O.C.ps1(bb)2 類似地，因為c0,1ps[s,ssprob{pbps(c)}prob{pbsscprob{cpbs} ps pbpE[p(c)pp(c)] s 1(sp)

prob{pbps(c max[1(p1(p))]pb sF.O.C.pb1s2 于是，解得兩個F.O.C.得均衡線性策ps(c)12 pb()12 在均衡線性策略下，當c3，賣方的要價psc12c低于成本 psc12ccc3pb1123 4 的情況不會出現(xiàn)；當1，買方的出價高于其價值，但低于賣方的最低要444????,1

本（450線下方），但3/4，故不會買方出價大于

??,pb(psc，即bbssc，或者說c1 。事后效率（expostefficiency）要求當只當c時就應該發(fā)生，這意味著數(shù)量太少，如圖3.5所示。????=??+ 價ps1和pb0是一個均衡。還存在一個單一價格p[0,1]上 11

ifc

pif。0以及買方0 ifc

if給定賣方的策略，買方的選擇只是在價格p上是否 ，因此，當p時出價p實時要價p，當cp時要價1（不）是賣方的最優(yōu)策略。 1 p

?????? 比較上面兩個圖，可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)價值的（c0,1）在兩個均衡中都會出現(xiàn)。單一價格均衡錯過了一些有價值的（如c0,p，而且還包含了一些沒什么價值的（cp,p。相反，線性策略均衡漏過了所有價值不大的（c1/4，但實現(xiàn)了所有c1/4的。這表明從最大化凈收益的期望值的角度講，線性策略均衡優(yōu)于單一價格均衡。Myerson&Satterthwaite（1983） 當且僅當是有帕累托有效時（即c）usi sj s,s 參與人i的類型i是私人信息，且其取值0,)上，累計P，密度函數(shù)我們來看這個博弈的（純）策略貝葉斯均衡(s1(),s2))。對于每一個isiisi(i)argmax{siprob(sj(j)si)

(is(j))p(j)dj s(j)s {j 衡時，類型為i的參與人將選sisiisisii)；類型為i的參與人將選擇si而非si。因此有：jjj)siiprob(sj(j)si)siprob(sj(j)si){s( (sj(j))pjjjj)siiprob(sj(j)si)siprob(sj(j)si){s(

(s())p( jjj)si【激勵相容約束，isisii好過sisiijjj)siprob(sj(j)si)siprob(sj(j)si){s( (sj(j))pjjj)sjjj)siiprob(sj(j)si)siprob(sj(j)si){s( (sj(j))pjjj)si因此，如果iisisi關于策略的嚴格遞增和連續(xù)性證明比較復雜，這里從略（可見Fudenberg&（現(xiàn)在我們來求嚴格遞增、連續(xù)的函數(shù)si及其反函數(shù)i，這里isi是選擇策略si的s()argmax{s(1P((s))) (s)p((s))(s)ds

prob(sjjsiprob(jsjjsi1Pjjsij是R.Vjjsjdjjsjdsj】(1Pj(j(si))sipj(j(si))j(si)(isi)pj(j(si))j(sii(si)pj(j(si))j(si)1Pj(j(sisisiidi sidsisidsi，從而預期成本增量是1Pj(jsi)))dsi。如果參與人j的選擇位于區(qū)間sisidsi)j在區(qū)間[j(si),j(sidsi))內(nèi)時，而 prob{j(si)jj(sidsi)}Pj(j(sidsi))Pj(j(si】d[Pj(j(si))]pj(j(si))dj(siisi增加到sidsi獲得增量收益ii(si)，即i(sipjj(si))dj(si。令預期成本和預期收益相等我們就得到了以上一階條件i(si)pj(j(si))j(si)(1Pj(j(sis(p()s((xp(x))dxs001P( 01P(x數(shù)分布P()1exp()時存在對稱均衡：(s) 2s相應策略s()2/2RileyK0。

s1和2s22K

s2注：證明如果一階條件（C.）得到滿足，則二階條件（S.）在整個定義域上同樣成立s令Uisi,iPs)))si(sp(s))s)ds)argmax{s(1

的式子的最大值。注意 p i j(s j(s si 反證法：假定存在類型isi使得Uisi,iUisiisisii)

Ui(i

Ui(s,(s))0iU U i sisi

i(s,i) i(s,i(s))]ds0，即 i(s,)dds sii(s)sisi，該不等式同樣不成立。因此，si是i型參與人的全局最優(yōu)策略。附注2 不完全信息條件下公共物品提供博弈模型ai1ai0表示不提供。如果兩個參與c1c2，參與人1,2的雙變量收益矩陣如下圖所示。1-c1，1-1-c1， 1-0，參與人1,2具有相同的成本類型空間120,2的成本持有相同的Fc1Fc2Fx0,2上均勻分布的概率分Fxx/2。下面我們來求該博弈的貝葉斯納什均衡ac),a(c))。 u1(a1,a2;c1,c2)max(a1,a2)a1c1u2(a1,a2;c1,c2)max(a1,a2)acac 1 max02u1(a1(c1),a2(c2);c1,c2)2 c2max0u2(a1(c1),a2(c2);c1,c2c2(題的目標函數(shù)）表述參與人1在對方選擇最優(yōu)行動a(2c2)條件下的期望收 max(a1(c1),a2(c2))dc2a1(c1)zjprob(sc)1j ij不提供的概率是1zj，參與人i提供的預期收益是11z)c1z時，參與人i才會提供，即：如果c1zac)1； 如果c1zac)0c使得只有當c0,c時，參與人 才會提供。類似地，存在一個c使得只有當c0,c]j )1dca(c)c

111

2參與人2提供公共

參與人2不提供公共 1)(1c)a(c1= a( c

理性的參與人1也應該有一個成本閾值c，如果cc 當ccac)1，此時（1）式的值為1c 當ccac)0，此時（1）式的值為c/2 2注意，當c

與

1 1cc/2

c與 求解上面兩個等式可得c

23( ) )0; ) )0

其中11210,23；122223,2