中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)梳理二　方程、不等式及其應(yīng)用課件

二方程、不等式及其應(yīng)用第5課時(shí)一次方程(組)及其應(yīng)用1.掌握等式的基本性質(zhì),能解一元一次方程.2.掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組,并能列方程(組)

解決實(shí)際問(wèn)題.3.能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理.知識(shí)點(diǎn)1一元一次方程及其解法1.一元一次方程:在整式方程中,只含有

個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)

的次數(shù)是

,這樣的方程叫做一元一次方程.它的一般形式為

.

2.方程的解:使方程左右兩邊

的未知數(shù)的值,叫做方程的解,又

叫做方程的根.

3.等式的基本性質(zhì):(1)等式兩邊

,所得的結(jié)果

仍是等式;

(2)等式兩邊

,所得的結(jié)果

仍是等式.

一1ax+b=0(a≠0)相等同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或整式同時(shí)乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù)4.一元一次方程的解法:步驟具體做法去分母若未知數(shù)的系數(shù)有分母,則去分母,注意不要漏乘不含分母的項(xiàng)去括號(hào)若方程中有括號(hào),括號(hào)前是負(fù)號(hào),去括號(hào)后括號(hào)里面各項(xiàng)要

移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊,其他項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要

)

合并同類項(xiàng)把方程化成ax=b(a≠0)的形式系數(shù)化為1在方程兩邊都除以未知數(shù)的

,得到方程的解

變號(hào)變號(hào)系數(shù)a

知識(shí)點(diǎn)2二元一次方程(組)及其解法1.二元一次方程:含有

個(gè)未知數(shù)(元),并且未知數(shù)的次數(shù)都是

的整式方程,叫做二元一次方程.

2.二元一次方程組:含有兩個(gè)未知數(shù),每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并

且一共有

方程,像這樣的方程組叫做二元一次方程組.

3.二元一次方程的解:適合二元一次方程的一對(duì)未知數(shù)的值叫做這個(gè)

二元一次方程的一組解,一個(gè)二元一次方程有

組解.

4.二元一次方程組的解:二元一次方程組中的

,叫做二元一次

方程組的解.

5.二元一次方程組解法的基本思想:解二元一次方程組的基本思想是

,把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為

.

兩1兩個(gè)無(wú)數(shù)公共解消元一元一次方程知識(shí)點(diǎn)3一次方程(組)的應(yīng)用1.列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟:步驟具體做法(1)審審題,分析題中已知條件和所求問(wèn)題,明確各數(shù)量之間的關(guān)系(2)設(shè)設(shè)未知數(shù)(可設(shè)直接或

未知數(shù))

(3)列根據(jù)題意尋找

列方程(組)

(4)解解方程(組)(5)驗(yàn)檢驗(yàn)所得的解是不是方程(組)的解,并且要檢驗(yàn)是否符合題意,不符合的要舍去(6)答寫出答案(包括單位名稱)間接等量關(guān)系2.一次方程(組)?？紤?yīng)用類型及重要等量關(guān)系:類型重要等量關(guān)系增長(zhǎng)(下降)率問(wèn)題配套問(wèn)題打折銷售問(wèn)題銷售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣銷售額=銷售價(jià)×銷量利潤(rùn)=銷售價(jià)-進(jìn)價(jià)類型重要等量關(guān)系打折銷售問(wèn)題行程問(wèn)題相向而遇甲走的路程+乙走的路程=全程同向追及(甲追乙)同地不同時(shí):s甲走的路程=s乙走的路程同時(shí)不同地:s甲走的路程=s乙走的路程+兩地距離水中航行順?biāo)俣?靜水速度+水流速度逆水速度=靜水速度-水流速度工程問(wèn)題工作量=工作時(shí)間×工作效率合作的效率=各單獨(dú)做的效率和

[誤區(qū)警示]

解一元一次方程時(shí)要注意以下幾點(diǎn):(1)去分母時(shí)不要漏乘不含有分母的項(xiàng).(2)分?jǐn)?shù)線有兩層意義:①它是除號(hào);②它起到括號(hào)的作用,所以在去分母時(shí),應(yīng)該將分子用括號(hào)括上.(3)去括號(hào)時(shí),要防止漏乘某一項(xiàng)或符號(hào)錯(cuò)誤.(4)移項(xiàng)時(shí)要變號(hào).(5)系數(shù)化為1時(shí),分子、分母不能顛倒.

考點(diǎn)三利用一次方程(組)解決實(shí)際問(wèn)題例4

(2022·婁底)科學(xué)研究表明:樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物,具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg,一片國(guó)槐樹(shù)葉和一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵總量為62mg.(1)請(qǐng)分別求出一片國(guó)槐樹(shù)葉和一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量;(2)一森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹(shù),據(jù)估計(jì)三棵銀杏樹(shù)共有50000片樹(shù)葉,則這三棵銀杏樹(shù)一年的平均滯塵總量約為多少千克?[思路點(diǎn)撥](1)題目中的數(shù)量關(guān)系:一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg,一片國(guó)槐樹(shù)葉和一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵總量為62mg,根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列出二元一次方程組求解;(2)由(1)的結(jié)果列式計(jì)算即可.

[誤區(qū)警示]

列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的注意事項(xiàng):(1)單位必須統(tǒng)一;(2)等式兩邊的意義必須相同;(3)解方程后要檢驗(yàn),不合題意的解要舍去;(4)作答時(shí)要包含單位.考點(diǎn)四古詩(shī)文中的方程(組)例5(2022·連云港)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何?”其大意如下:今有幾個(gè)人共同出錢購(gòu)買一件物品,每人出8錢,剩余3錢;每人出7錢,還缺4錢.問(wèn)人數(shù)、物品的價(jià)格各是多少?請(qǐng)你求出以上問(wèn)題中的人數(shù)和物品的價(jià)格.[思路點(diǎn)撥]

設(shè)有x人,物品的價(jià)格為y錢,由“每人出8錢,剩余3錢;每人出7錢,還缺4錢”列出二元一次方程組,解方程組即可.[非常點(diǎn)評(píng)]古詩(shī)文中的方程(組)是中考?？純?nèi)容,解題的關(guān)鍵是要明確題意,捕捉題目中的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而列出方程(組).

AA

A15157.(2022·泰安)某茶葉店第一次購(gòu)進(jìn)了A種茶葉30盒,B種茶葉20盒,共

花費(fèi)6000元;第二次購(gòu)進(jìn)時(shí),兩種茶葉每盒的價(jià)格都提高了20%,該店

又購(gòu)進(jìn)了A種茶葉20盒,B種茶葉15盒,共花費(fèi)5100元.求第一次購(gòu)進(jìn)的

A,B兩種茶葉每盒的價(jià)格.

8.(2021·鎮(zhèn)江)《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”.其中記

載了一個(gè)關(guān)于“盈不足”的問(wèn)題:“今有共買金,人出四百,盈三千四

百;人出三百,盈一百.問(wèn)人數(shù)、金價(jià)各幾何?”其大意如下:現(xiàn)在有人

合伙買金,每人出400錢,會(huì)剩余3400錢;每人出300錢,會(huì)剩余100錢.

合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少?請(qǐng)你求出以上問(wèn)題中的合伙人數(shù)和金價(jià).

第6課時(shí)一次不等式(組)及其應(yīng)用1.能根據(jù)具體問(wèn)題中的大小關(guān)系了解不等式的意義,探索并掌握不等式的基本性質(zhì).2.能運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式(組),能在數(shù)軸上表

示一元一次不等式的解集,會(huì)用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解

集.3.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次不等式或一元一次不

等式組,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)1不等式及其性質(zhì)1.不等式的相關(guān)概念:(1)用“>”“<”等不等號(hào)表示

的式子,叫做不等式;

(2)使不等式成立的

的值叫做不等式的解;

(3)使不等式成立的未知數(shù)的

叫做不等式的解集;

(4)求不等式的

的過(guò)程叫做解不等式.

不等關(guān)系未知數(shù)取值范圍解集2.不等式的基本性質(zhì):性質(zhì)文字?jǐn)⑹鍪阶颖硎拘再|(zhì)1不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)

,不等號(hào)的方向

若a>b,則a±c>b±c性質(zhì)2(1)不等式的兩邊都乘(或除以)同一個(gè)

,不等號(hào)的方向

(2)不等式的兩邊都乘(或除以)同一個(gè)

,不等號(hào)的方向

數(shù)或整式不變正數(shù)不變負(fù)數(shù)改變[溫馨提示]

運(yùn)用不等式的性質(zhì)2的第(2)點(diǎn)解題時(shí),切記要改變不等號(hào)的方向.知識(shí)點(diǎn)2一元一次不等式及其解法1.一元一次不等式:只含有

個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的次數(shù)是

的

不等式.

2.解一元一次不等式的基本步驟:(1)去分母;(2)

;(3)

;(4)

;(5)系數(shù)化為1.

3.解集的表示:一1去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)解集在數(shù)軸上的表示總結(jié)x<a在數(shù)軸上表示解集時(shí),要注意“兩定”:一定邊界點(diǎn),二定方向.定邊界點(diǎn)時(shí),“≥”或“≤”是實(shí)心點(diǎn),“>”或“<”是空心圈;定方向的原則為小于向左,大于向右x>ax≤ax≥a知識(shí)點(diǎn)3一元一次不等式組及其解法1.一元一次不等式組的概念:把幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一次不等式聯(lián)

立在一起,就組成了一個(gè)一元一次不等式組.2.不等式組的解集:不等式組中所有不等式的解集的

部分叫做

這個(gè)不等式組的解集.

3.解不等式組:求不等式組解集的過(guò)程叫做解不等式組.4.不等式組的解集的求法:解不等式組時(shí)一般先分別求出不等式組中各

個(gè)不等式的解集并表示在數(shù)軸上,再求出它們的公共部分就得到不等

式組的

.

公共解集5.不等式組的解集情況(假設(shè)a<b):x>b同大取大x<a同小取小a<x<b大小小大中間找無(wú)解大大小小無(wú)處找知識(shí)點(diǎn)4列不等式解應(yīng)用題的一般步驟1.審:審題,分析題中已知什么、求什么,明確各數(shù)量之間的關(guān)系,找出題目中包含的所有不等關(guān)系;2.設(shè):設(shè)未知數(shù)(一般求什么就設(shè)什么);3.列:根據(jù)這個(gè)不等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,從而列出不等式;4.解:解所列出的不等式,寫出未知數(shù)的值或范圍;5.驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合題意;6.答:寫出結(jié)論(包括單位).[溫馨提示]

對(duì)于列不等式解決實(shí)際問(wèn)題,一般所求問(wèn)題中含有“至少(≥)”“最大(≤)”“不超過(guò)(≤)”“不少于(≥)”“不小于(≥)”“不大于(≤)”等詞時(shí),要正確理解這些詞的含義.考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)例1

(2022·宿遷)如果x<y,那么下列不等式正確的是

(

)A.2x<2y B.-2x<-2yC.x-1>y-1 D.x+1>y+1由不等式的基本性質(zhì)1,可知x-1<y-1,x+1<y+1,故選項(xiàng)C,D不合題意.由不等式的基本性質(zhì)2,可知2x<2y,-2x>-2y,故選項(xiàng)A符合題意,選項(xiàng)B不合題意.故選A.[誤區(qū)警示]

運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí),要特別注意性質(zhì)2,在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí),必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),那么不等號(hào)的方向要改變.

[非常點(diǎn)評(píng)]在數(shù)軸上表示不等式的解集需要遵循的規(guī)律:大于時(shí)向右,小于時(shí)向左;不等式的解集中含有等號(hào)時(shí),這個(gè)點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示,否則用空心圈表示.

去分母,得4x-2>3x-1.移項(xiàng),得4x-3x>-1+2.合并同類項(xiàng),得x>1.將不等式的解集表示在數(shù)軸上如圖所示.[誤區(qū)警示]在去分母和系數(shù)化為1時(shí),如果不等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù),那么不等號(hào)方向要改變.利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí),要注意去括號(hào)、移項(xiàng)過(guò)程中各項(xiàng)的符號(hào)及不等號(hào)的變化.在把未知數(shù)的系數(shù)化為1時(shí),若系數(shù)為正,則不等號(hào)的方向不變;若系數(shù)為負(fù),則不等號(hào)的方向必須改變.

[方法歸納]

求不等式組的解集的方法

求不等式組的解集就是求組成不等式組的幾個(gè)不等式的解集的公共部分,確定解集的公共部分可利用數(shù)軸,也可利用口訣“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小無(wú)處找”進(jìn)行驗(yàn)證.

由3x-6>0,得x>2.∵不等式組的解集為x>2,∴m≤2.[誤區(qū)警示]

對(duì)于這類題我們可用解不等式組的口訣來(lái)求解不等式組中參數(shù)的取值范圍,而最容易出錯(cuò)的地方是不知其是否帶等號(hào).一般地,我們先設(shè)定能帶等號(hào),再看是否滿足題意,若不滿足題意,則這個(gè)等號(hào)一定要舍去.

考點(diǎn)七一元一次不等式的應(yīng)用例9(2022·湘西州)為了傳承雷鋒精神,某中學(xué)向全校師生發(fā)起“獻(xiàn)愛(ài)心”募捐活動(dòng),準(zhǔn)備向西部山區(qū)學(xué)校捐贈(zèng)籃球、足球兩種體育用品.已知籃球的單價(jià)為100元,足球的單價(jià)為80元.(1)原計(jì)劃募捐5600元,全部用于購(gòu)買籃球和足球.如果恰好能夠購(gòu)買籃球和足球共60個(gè),那么原計(jì)劃籃球和足球各購(gòu)買多少個(gè)?(2)在募捐活動(dòng)中,由于師生的捐款積極性高漲,實(shí)際收到捐款共6890元.如果購(gòu)買籃球和足球共80個(gè),且支出不超過(guò)6890元,那么籃球最多能購(gòu)買多少個(gè)?[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)“購(gòu)買籃球和足球共60個(gè)”及“原計(jì)劃募捐5600元”,設(shè)未知數(shù)列方程組即可解答;(2)設(shè)籃球購(gòu)買a個(gè),則足球購(gòu)買(80-a)個(gè),根據(jù)“支出不超過(guò)6890元”列不等式求解即可解答.[非常點(diǎn)評(píng)]對(duì)于方程組與不等式的綜合問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和不等關(guān)系來(lái)分別列出方程組和不等式.另外,在實(shí)際問(wèn)題情境中還會(huì)涉及整數(shù)性和非負(fù)性等知識(shí).

AA

D

x>10≤x<1由5x-10≤0,得x≤2;由x+3>-2x,得x>-1.∴不等式組的解集為-1<x≤2.將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如圖所示7.(2022·宿遷)某單位準(zhǔn)備購(gòu)買文化用品,現(xiàn)有甲、乙兩家超市進(jìn)行促銷活動(dòng),這種文化用品在兩家超市的標(biāo)價(jià)均為10元/件,甲超市一次性購(gòu)買不超過(guò)400元的不優(yōu)惠,超過(guò)400元的部分按標(biāo)價(jià)的6折售賣;乙超市全部按標(biāo)價(jià)的8折售賣.(1)若該單位需要購(gòu)買30件這種文化用品,則在甲超市的購(gòu)物金額為

元,在乙超市的購(gòu)物金額為

元;

(2)假如你是該單位的采購(gòu)員,你認(rèn)為選擇哪家超市支付的費(fèi)用較少?(1)解析:∵10×30=300(元),300<400,∴在甲超市的購(gòu)物金額為300元,在乙超市的購(gòu)物金額為300×0.8=240(元).300240(2)設(shè)購(gòu)買x件這種文化用品.當(dāng)0<x≤40時(shí),在甲超市的購(gòu)物金額為10x元,在乙超市的購(gòu)物金額為0.8×10x=8x(元).∵10x>8x,∴選擇乙超市支付的費(fèi)用較少.當(dāng)x>40時(shí),在甲超市的購(gòu)物金額為400+0.6(10x-400)=(6x+160)元,在乙超市的購(gòu)物金額為0.8×10x=8x(元).若6x+160>8x,則x<80;若6x+160=8x,則x=80;若6x+160<8x,則x>80.綜上所述,當(dāng)購(gòu)買數(shù)量不足80件時(shí),選擇乙超市支付的費(fèi)用較少;當(dāng)購(gòu)買數(shù)量為80件時(shí),選擇甲、乙兩家超市支付的費(fèi)用相同;當(dāng)購(gòu)買數(shù)量超過(guò)80件時(shí),選擇甲超市支付的費(fèi)用較少第7課時(shí)分式方程及其應(yīng)用1.會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程,并能注意驗(yàn)根.2.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出分式方程,能根據(jù)具體問(wèn)題的

實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果是否合理.知識(shí)點(diǎn)1分式方程及其解法1.分式方程:分母中含有

的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的步驟:(1)兩邊都乘各分式的最簡(jiǎn)公分母,把分式方程轉(zhuǎn)化為

方程;(2)解這個(gè)整式方程;(3)把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母或原分式方程的各分母中進(jìn)行

檢驗(yàn).3.增根的產(chǎn)生:一般地,解分式方程時(shí),去分母后所得整式方程的解有可

能使原方程中的分母為0,因此應(yīng)進(jìn)行如下檢驗(yàn):將整式方程的解代入

,如果

,那么整式方程的解是原

分式方程的解;否則,這個(gè)解不是原分式方程的解,是增根.

未知數(shù)整式最簡(jiǎn)公分母最簡(jiǎn)公分母不為0[溫馨提示]

分式方程的增根與無(wú)解并非同一個(gè)概念,分式方程無(wú)解,可能是解為增根,也可能是去分母后的整式方程無(wú)解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母為0的根.知識(shí)點(diǎn)2分式方程的應(yīng)用列分式方程解實(shí)際問(wèn)題與列一次方程(組)解應(yīng)用題不一樣的是:要檢驗(yàn)

次,既要檢驗(yàn)求出來(lái)的解是否為原方程的根,又要檢驗(yàn)是否

.2符合實(shí)際意義

(1)方程兩邊同乘x-2,得2x=x-2+1,解得x=-1.檢驗(yàn):當(dāng)x=-1時(shí),x-2≠0.∴原分式方程的解是x=-1.(2)方程兩邊同乘x-4,得3-x=-1-2(x-4),解得x=4.檢驗(yàn):當(dāng)x=4時(shí),x-4=0.∴x=4不是原方程的解,原分式方程無(wú)解.考點(diǎn)三列分式方程解應(yīng)用題例3(2022·西藏)某班在慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年活動(dòng)中,給學(xué)生發(fā)放筆記本和鋼筆作為紀(jì)念品.已知筆記本的單價(jià)比鋼筆的單價(jià)多2元,用240元購(gòu)買筆記本的數(shù)量與用200元購(gòu)買鋼筆的數(shù)量相同.(1)筆記本和鋼筆的單價(jià)各是多少元?(2)若給全班50名學(xué)生每人發(fā)放一本筆記本或一支鋼筆作為本次活動(dòng)的紀(jì)念品,要使購(gòu)買紀(jì)念品的總費(fèi)用不超過(guò)540元,則最多可以購(gòu)買多少本筆記本?[思路點(diǎn)撥](1)可設(shè)鋼筆的單價(jià)為x元,則筆記本的單價(jià)為(x+2)元,根據(jù)“用240元購(gòu)買筆記本的數(shù)量與用200元購(gòu)買鋼筆的數(shù)量相同”列出方程求解;(2)根據(jù)“總費(fèi)用不超過(guò)540元”列一元一次不等式求解即可.[方法歸納]

列方程或不等式解應(yīng)用題的基本方法首先審題,找出題中的未知量和所有的已知量,直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的代數(shù)式表示相關(guān)的量,找出量之間的相等或不等關(guān)系列方程或不等式,再求解、檢驗(yàn)、作答,即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.對(duì)于列分式方程解應(yīng)用題,一定要注意檢驗(yàn),檢驗(yàn)要考慮兩個(gè)方面:一是方程的解是否為原方程的解,二是方程的解是否符合題意.

AC解析:方程兩邊同時(shí)乘x-1,得2x-m+3=x-1,解得x=m-4.∵方程的解是正數(shù),∴m-4>0,解得m>4.∵x≠1,∴m-4≠1,即m≠5.∴m的取值范圍是m>4且m≠5.故選C.

Ax=2

6.某工程隊(duì)承擔(dān)了某道路1800米長(zhǎng)的建造任務(wù).該工程隊(duì)在建造完720米

道路后,引進(jìn)了新設(shè)備,平均每天的工作效率比原來(lái)提高了20%,結(jié)果共

用27天完成了任務(wù),則引進(jìn)新設(shè)備前該工程隊(duì)平均每天建造多少米道

路?

7.(2022·遼寧)麥?zhǔn)諘r(shí)節(jié),為確保小麥顆粒歸倉(cāng),某農(nóng)場(chǎng)安排A,B兩種型號(hào)的收割機(jī)進(jìn)行小麥?zhǔn)崭钭鳂I(yè).已知一臺(tái)A型收割機(jī)比一臺(tái)B型收割機(jī)平均每天多收割2公頃小麥,一臺(tái)A型收割機(jī)收割15公頃小麥所用時(shí)間與一臺(tái)B型收割機(jī)收割9公頃小麥所用時(shí)間相同.(1)一臺(tái)A型收割機(jī)和一臺(tái)B型收割機(jī)平均每天各收割多少公頃小麥?(2)該農(nóng)場(chǎng)安排兩種型號(hào)的收割機(jī)共12臺(tái)同時(shí)進(jìn)行小麥?zhǔn)崭钭鳂I(yè),為確保每天完成不少于50公頃的小麥?zhǔn)崭钊蝿?wù),至少要安排幾臺(tái)A型收割機(jī)?

第8課時(shí)一元二次方程及其應(yīng)用1.了解一元二次方程的定義及一般形式.2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.會(huì)用一元二次方程根的判別式判斷方程是否有實(shí)數(shù)根和兩個(gè)實(shí)數(shù)

根是否相等.4.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.5.能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的解是否合理.知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程及其解法1.一元二次方程:只含有

個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的

式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是

(a

0),其中ax2叫做

項(xiàng),a是

,bx叫做

項(xiàng),b是

,

c叫做

項(xiàng).

一2ax2+bx+c=0≠二次二次項(xiàng)系數(shù)一次一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)整3.一元二次方程的解法:解法適用方程類型步驟直接開(kāi)平方法形如(x+a)2=b(b≥0)的方程配方法二次項(xiàng)系數(shù)化為1后,一次項(xiàng)系數(shù)為2的倍數(shù)的方程(1)若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,先把系數(shù)化為

再配方;

(2)把常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊;(3)在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)

;

(4)把方程整理成(x+a)2=b(b≥0)的形式;(5)運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程1一半的平方解法適用方程類型步驟公式法所有一元二次方程都適用(1)將方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;(2)確定a,b,c的值;(3)若b2-4ac≥0,則代入求根公式x=

;若b2-4ac<0,則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根因式分解法方程一邊為0,另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積(1)將方程一邊化為0;(2)把方程的另一邊分解為兩個(gè)一次因式的積;(3)令每個(gè)因式分別為0,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程;(4)解這兩個(gè)一元一次方程,它們的解就是原方程的根

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.根的判別式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為

.2.一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系:(1)當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)

的實(shí)數(shù)根;

(2)當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)

的實(shí)數(shù)根;

(3)當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1,x2,則x1+x2=

,x1·x2=

.

b2-4ac不等相等

知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的應(yīng)用1.一般步驟:審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.2.列一元二次方程解應(yīng)用題的常見(jiàn)類型:(1)增長(zhǎng)(下降)率問(wèn)題;(2)面積問(wèn)題;(3)銷售利潤(rùn)問(wèn)題.考點(diǎn)一一元二次方程根的定義例1

(2022·連云港)若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一個(gè)解是x=1,則m+n的值是

.

把x=1代入方程mx2+nx-1=0,得m+n-1=0,解得m+n=1.[誤區(qū)警示]

對(duì)于這類問(wèn)題可根據(jù)方程根的定義直接代入方程,得到含有字母的方程,解之即可.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí),要注意求出的字母的值要滿足二次項(xiàng)系數(shù)不為0.考點(diǎn)二一元二次方程的解法例2

解方程:(1)(2022·無(wú)錫)x2-2x-5=0;(2)(2022·齊齊哈爾)(2x+3)2=(3x+2)2.

[非常點(diǎn)評(píng)]

若一次項(xiàng)系數(shù)為0(如ax2+c=0),則應(yīng)選用直接開(kāi)平方法;若常數(shù)項(xiàng)為0(如ax2+bx=0)或方程兩邊有共同的因式,則應(yīng)選用因式分解法;若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0(如ax2+bx+c=0)且不宜分解因式,則應(yīng)考慮公式法;若方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù),則用配方法較為簡(jiǎn)便.需要注意的是,用公式法需先將方程化為一般式,然后確定b2-4ac的值;用配方法需注意等號(hào)兩邊要同時(shí)加上相同的數(shù).另外,解一元二次方程時(shí),在沒(méi)有指定方法的情況下,一般按以下順序選擇:直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法,具體題目還要看方程的特點(diǎn).考點(diǎn)三一元二次方程根的判別式例3

(2022·威海)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是

.

由題意,得b2-4ac=(-4)2-4×1×(m-1)=20-4m>0,解得m<5.[誤區(qū)警示]一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是b2-4ac≥0,從而列出有關(guān)的不等式,還應(yīng)分清一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根與有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的區(qū)別.

例5

(2022·南充)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)題意,知b2-4ac≥0,則可得與k有關(guān)的不等式,解之即可;(2)將(x1+1)(x2+1)=-1轉(zhuǎn)化為x1x2+(x1+x2)+1=-1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=-3,x1x2=k-2,將它們代入上述式子可得與k有關(guān)的方程,從而求出k的值.

[誤區(qū)警示]

在解決根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的綜合題時(shí),必須注意以下兩個(gè)方面:(1)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0;(2)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提是根的判別式為非負(fù)數(shù),這往往是最容易被忽略的.

考點(diǎn)五一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用例6

(2022·眉山)建設(shè)美麗城市,改造老舊小區(qū).某市2019年投入資金1000萬(wàn)元,2021年投入資金1440萬(wàn)元,假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同.(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率.(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元.2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì),每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%.若投入資金的年平均增長(zhǎng)率保持不變,求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū).[思路點(diǎn)撥](1)設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為x,利用2021年投入資金金額=2019年投入資金金額×(1+年平均增長(zhǎng)率)2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;(2)設(shè)該市在2022年可以改造y個(gè)老舊小區(qū),根據(jù)2022年改造老舊小區(qū)所需資金不多于2022年投入資金金額,即可得出關(guān)于y的一元一次不等式,解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論.[非常點(diǎn)評(píng)]

對(duì)于增長(zhǎng)率問(wèn)題,我們可以總結(jié)出一個(gè)