2021版北師大版文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點·精準研析 8.1數(shù)列（含函數(shù)特性）含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021版高考北師大版文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點·精準研析8.1數(shù)列（含函數(shù)特性）含解析溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl，滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后.關(guān)閉Word文檔返回原板塊.核心考點·精準研析考點一數(shù)列的有關(guān)概念及通項公式

1.數(shù)列｛an}中,a1=1，當(dāng)n≥2且n∈N＊時，an=n2(n-1)2A.259 B。2516 C。3115 2.已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=n2—8n+15,則3 ()A。不是數(shù)列{an}中的項B。只是數(shù)列{an}中的第2項C。只是數(shù)列｛an｝中的第6項D.是數(shù)列{an｝中的第2項或第6項3。數(shù)列32，—54,78，-916A.an=(—1）n·2n+12n B。anC。an=（—1)n+1·2n+12n D。an4.若數(shù)列｛an}滿足a1=1,且對于任意的n∈N＊都有an+1=an+n+1,則1a1+1a2+…+1A.20212022 B。202025.在數(shù)列{an}中,a1=2，an+1=an+ln1+1n，則an= 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號（A。2+lnn B。2+（n-1）lnnC。2+nlnn D.1+n+lnn【解析】1。選D。因為an=n2(n-1)2(n≥2)，所以a3=94，a5=2516，所以a3+a5=92。選D。令an=3，即n2—8n+15=3,解得n=2或6,故3是數(shù)列｛an}中的第2項或第6項。3。選D.該數(shù)列是分數(shù)形式，分子為奇數(shù)2n+1,分母是指數(shù)2n,各項的符號由（—1）n+1來確定,所以D選項正確.4。選D.由an+1=an+n+1，得an+1—an=n+1，則a2-a1=1+1，a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…，an-an-1=(n-1）+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+（n-1)+n，把a1=1代入上式得an=1+2+3+…+（n—1)+n=n(所以1an=2n則1a1+1a2+…+121-125。選A。因為an+1=an+ln1+1所以an-an-1=ln1+1n-1=ln所以an=(an—an—1)+(an-1-an—2)+…+(a2—a1）+a1=lnnn-1+lnn-1=2+lnnn-1又a1=2適合上式，故an=2+lnn（n∈N＊）.將T3改為已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是()A.an=(—1)n—1+1 B.an=2C.an=2sinnπ2 D.an【解析】選C。對n=1，2，3,4進行驗證,an=2sinnπ2不合題意1.由前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略(1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法。(2)具體策略:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的變化特征;③各項的符號特征和絕對值特征；④對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑤對于符號交替出現(xiàn)的情況,可用(-1）k或（-1)k+1,k∈N*處理。2.遞推公式推導(dǎo)通項公式的方法(1）累加法:an+1—an=f(n)。(2）累乘法：an（3)待定系數(shù)法:an+1=pan+q（其中p，q均為常數(shù)，pq(p-1)≠0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an+1-t=p(an-t)，其中t=q1-p【秒殺絕招】1.代入法解T2根據(jù)選項可直接把n=2或n=6代入檢驗。2.特值檢驗法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入檢驗排除C.考點二an與Sn的關(guān)系及其應(yīng)用

【典例】1。設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2(an—1）（n∈N＊),則an= （）A.2n B。2n—1 C.2n D。2n—12.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an。 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1(1)看到an與Sn的關(guān)系,想到利用an=Sn—Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為an與an—1的關(guān)系(2)也可以先檢驗n=1，n=2，n=3進行排除2(1)利用an+1=Sn+1—Sn轉(zhuǎn)化為Sn+1與Sn的關(guān)系(2)求得Sn，代入an=Sn—Sn-1(n≥2)得an，并檢驗n=1是否成立【解析】1.選C。當(dāng)n=1時，a1=S1=2（a1—1），可得a1=2，當(dāng)n≥2時，an=Sn—Sn—1=2an-2an-1，所以an=2an—1，所以數(shù)列{an｝為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n?！疽活}多解】選C.利用遞推關(guān)系求出a1=2，a2=4,a3=8，易確定C.2。由已知得an+1=Sn+1—Sn=Sn+1Sn，兩邊同時除以Sn+1Sn，得1Sn+1故數(shù)列1Sn是以-1為首項，—1為公差的等差數(shù)列,則1Sn=—1-(n—1)=-n，所以Sn當(dāng)n≥2時,an=Sn—Sn—1=-1n+1n-故an=-【答題模板微課】本例題2的模板化過程:建模板：當(dāng)n=1時，a1=S1=-1, …………求首項當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=-1n+1n-1=1經(jīng)檢驗a1=-1不適合an=1n(n故an=-1(套模板：已知數(shù)列｛an}的前n項和Sn=n2+2n+1，則an=________.

【解析】當(dāng)n=1時，a1=S1=1+2+1=4, …………求首項當(dāng)n≥2時，an=Sn—Sn—1=2n+1, …………作差求通項經(jīng)檢驗a1=4不適合an=2n+1， …………檢驗故an=4(n答案:41.已知Sn求an的三個步驟（1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an=Sn—Sn-1(n≥2）便可求出當(dāng)n≥2時an的表達式.（3）注意檢驗n=1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.（1)利用an=Sn-Sn—1（n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn—1的關(guān)系式,再求解。(2）利用Sn-Sn-1=an（n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式，再求解。1。已知數(shù)列{an｝的前n項和Sn=2n—3,則數(shù)列｛an｝的通項公式是________。

【解析】當(dāng)n=1時，a1=S1=2-3=—1；當(dāng)n≥2時，an=Sn—Sn—1=（2n-3)-(2n—1-3）=2n-2n-1=2n-1.當(dāng)n=1時不滿足，故an=-答案：an=-2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1，則Sn= (）A.2n—1 B.3C.23n-1【解析】選B.由已知Sn=2an+1得Sn=2（Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn，Sn+1Sn=32,而S1=a1=1，所以【變式備選】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求{an｝的通項公式。（1）Sn=2n2-3n。（2）Sn=3n+b?！窘馕觥浚?）當(dāng)n=1時，a1=S1=2-3=—1;當(dāng)n≥2時,an=Sn—Sn-1=（2n2-3n)—［2(n-1)2—3（n-1）]=4n-5.由于a1也適合此等式,所以an=4n-5。（2）a1=S1=3+b，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=（3n+b)-（3n-1+b)=2·3n-1.當(dāng)b=—1時,a1適合此等式；當(dāng)b≠—1時,a1不適合此等式.所以當(dāng)b=-1時，an=2·3n—1;當(dāng)b≠-1時，an=3+考點三數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

命題精解讀1?？际裁矗嚎疾閿?shù)列的單調(diào)性、周期性、最值問題2。怎么考：因為數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)值,所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì)，因此常常以數(shù)列為載體，考查單調(diào)性、周期性以及最值等問題.解題過程中常常滲透邏輯推理的核心素養(yǎng).3.新趨勢:由遞推關(guān)系求通項公式考查求通項公式的方法成為考試的新趨勢學(xué)霸好方法1。解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法(1)作差比較法（2）作商比較法（3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷。2。解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項,確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值。3.求數(shù)列最大項或最小項的方法（1)利用不等式組an-1≤a(2)利用不等式組an-1≥a4.交匯問題數(shù)列的函數(shù)特性可利用數(shù)形結(jié)合、分類討論進行解題數(shù)列的單調(diào)性【典例】已知遞增數(shù)列｛an}，an≥0，a1=0。對于任意的正整數(shù)n,不等式t2—an2-3t—3an≤0恒成立,則正數(shù)tA.1 B.2 C。3 D.6【解析】選C。因為數(shù)列｛an}是遞增數(shù)列,又t2—an2—3t-3an=(t—an—3）（t+an）t+an〉0,所以t≤an+3恒成立,t≤（an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3。在數(shù)列的恒成立問題中,若涉及求參數(shù)的最值問題時,如何進行合理地轉(zhuǎn)化？提示：在涉及求參數(shù)的最值問題時,常常與已知數(shù)列的單調(diào)性有關(guān)，因此解決這類問題,需要先判斷該數(shù)列的單調(diào)性。數(shù)列的周期性【典例】若數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1=1+an1-an，則a2A。2 B.—3 C.—12 D.【解析】選B。因為a1=2，an+1=1+an1-an,所以a2=1+a11-a1=-3,同理可得:a3=—12，a4=13,a5=2,a6=—3，a7=—12，a8=13，…，在求數(shù)列中某一項的值，特別是該項的序號較大時,應(yīng)該考慮如何求解？提示:在求數(shù)列中某一項的值,特別是該項的序號較大時,應(yīng)該考慮該數(shù)列是否具有周期性,利用周期性即可求出該數(shù)列中的某一項。數(shù)列中的最值【典例】數(shù)列｛an}的通項為an=2n-1,n≤4,-n2+(a-1)n,n≥【解析】當(dāng)n≤4時,an=2n-1單調(diào)遞增，因此n=4時取最大值,a4=24-1=15。當(dāng)n≥5時,an=—n2+（a—1)n=-n-a-因為a5是｛an｝中的最大值，所以a解得9≤a≤12。所以a的取值范圍是［9，12]。答案:[9,12］當(dāng)數(shù)列涉及最大項或最小項問題時,除了用不等式組求解,還可以考慮什么方法？提示:解決數(shù)列的最值問題，除了用不等式組求解，還可以將數(shù)列看作某個函數(shù),利用求函數(shù)的最值的方法求數(shù)列的最值。1.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=—1an+1，則a2A.2 B。-13 C.-32 【解析】選A.因為a2=-1a1+1=-13，a3=-1a2+1=—32，a4=—1a3+1=2,所以a3n+1=2，a3n+2=—13，a2。已知數(shù)列{an}滿足an=n+13n-16（n∈N*)，則數(shù)列｛an【解析】因為an=n+13n-16,所以數(shù)列{an}的最小項必為an〈0,即n+13n-16〈0，3n-16〈0,從而n<163.又n答案：53.已知數(shù)列{an｝中，an=n2+λn，且｛an}為遞增數(shù)列,求實數(shù)λ的取值范圍?！窘馕觥恳驗閍n+1-an=(n+1）2+λ（n+1)—n2—λn=2n+λ+1,所以由｛an}為遞增數(shù)列可得2n+λ+1>0，即λ〉—2n-1對一切n∈N*恒成立。因為n=1時,—2n-1取得最大值—3，所以λ〉-3,即λ∈(-3,+∞).【一題多解】函數(shù)f(n）=n2+λn的圖像的對稱軸是n=-λ2，如圖,只需要—λ2<32,則λ〉—3，即1。（2020·石家莊模擬）已知在正項等比數(shù)列an中,a2020=4a2018，a2+a4=20，則a2020的個位數(shù)字是A.2 B。4 C.6 D。8【解析】選C.設(shè)公比為q（q>0），依題意得q解得a1=q=2，故a2020=2×22019=22020，注意到21個位數(shù)字是2,22個位數(shù)字是4，23個位數(shù)字是8,24的個位數(shù)字是6,25的個位數(shù)字是2,26的個位數(shù)字是4,…,故2n的個位數(shù)字的周期為4，而