現(xiàn)代電子測量技術(shù)-3課件

現(xiàn)代電子測量技術(shù)測量誤差及數(shù)據(jù)處理3/17/20231第3章．測量誤差及數(shù)據(jù)處理

3.1測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征3.2測量誤差的估計和處理3.3測量不確定度3.4測量數(shù)據(jù)處理3/17/20232現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.1測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征

3.1.1測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術(shù)和測量儀器都相同的條件下），多次重復(fù)測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。3/17/20233現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.1.1測量誤差的分類（續(xù)）2.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復(fù)同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準(zhǔn)確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即3/17/20235現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.1.1測量誤差的分類（續(xù)）3.粗大誤差：粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當(dāng)或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)剔除掉。3/17/20236現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.1.1測量誤差的分類（續(xù)）4.系差和隨差的表達(dá)式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化3/17/20237現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.1.2測量結(jié)果的表征（續(xù)）測量值是粗大誤差3/17/20239現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2測量誤差的估計和處理3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律。可用數(shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機誤差對測量結(jié)果的影響。3/17/202310現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）（1）隨機變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

1.隨機誤差的分布規(guī)律3/17/202311現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？(2)測量誤差的正態(tài)分布3/17/202313現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（3）測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當(dāng)時,標(biāo)準(zhǔn)偏差:

當(dāng)

時，3/17/202314現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

2.

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進(jìn)行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計為1,當(dāng)時，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測量次數(shù)時，各次測量值的算術(shù)平均值3/17/202315現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

故：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。*3/17/202317現(xiàn)代電子測量技術(shù)算術(shù)平均值：3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值

殘差：實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值：3/17/202318現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）【例3.1】用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差3/17/202319現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。3/17/202321現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實驗比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差3/17/202322現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）②馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時，

當(dāng)n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。3/17/202323現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

（3）采用一些專門的測量方法

①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法系統(tǒng)誤差可忽略不計的準(zhǔn)則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。3/17/202325現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對應(yīng)的測量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。3/17/202326現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

解：①計算得s=0.033 計算殘差填入表3－7，最大，是可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗法3·s=3×0.033=0.099故可判斷是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再對剔除后的數(shù)據(jù)計算得：s′=0.016 3·s′=0.048各測量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)?！纠?.3】對某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測量，所得結(jié)果列于表3－7，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。3/17/202329現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.4測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。3/17/202330現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例3．4】對某電壓進(jìn)行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。3/17/202331現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）3/17/202332現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）3/17/202333現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）

等精度測量與不等精度測量

等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設(shè)備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進(jìn)行的測量，測量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權(quán)值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方成反比。權(quán)值

測量結(jié)果為加權(quán)平均值

3/17/202334現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）3/17/202335現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.5誤差的合成分析問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？3/17/202336現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.5誤差的合成分析（續(xù)）3/17/202337現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.2.5誤差的合成分析（續(xù)）在實際應(yīng)用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負(fù)，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴(yán)格和更準(zhǔn)確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定，有關(guān)內(nèi)容在本書第3章中討論3/17/202338現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3測量不確定度

3.3.1不確定度的概念不確定度是說明測量結(jié)果可能的分散程度的參數(shù)?？捎脴?biāo)準(zhǔn)偏差表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術(shù)語（1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度

①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度3/17/202339現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3.1不確定度的概念（續(xù)）（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度*由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。*因為測量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。（3）擴展不確定度*合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到一個區(qū)間半寬度。

*包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。*通常測量結(jié)果的不確定度都用擴展不確定度表示

3/17/202340現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3.1不確定度的概念（續(xù)）

2.不確定度的分類

3/17/202341現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3.1不確定度的概念（續(xù)）

3.不確定度的來源 ①被測量定義的不完善，實現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。②測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。③測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術(shù)水平等影響。④計量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性。3/17/202342現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3.2誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個定性的概念表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認(rèn)識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認(rèn)識有關(guān)。隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A(yù)類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進(jìn)行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評定測量結(jié)果的合成不確定度3/17/202343現(xiàn)代電子測量技術(shù)1.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定方法在同一條件下對被測量X進(jìn)行n次測量，測量值為xi(i=1,2,…,n)，(A)計算樣本算術(shù)平均值，作為被測量X的估計值，并把它作為測量結(jié)果。

(B)計算實驗偏差式中自由度v=n－1.(C)A類不確定度3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）自由度意義：自由度數(shù)值越大，說明測量不確定度越可信。3/17/202344現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）

2.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定方法B類方法評定的主要信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術(shù)證明書、儀器的鑒定證書或校準(zhǔn)證書等。確定測量值的誤差區(qū)間（α,-α），并假設(shè)被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k，則B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB為

其中a——區(qū)間的半寬度；k——置信因子，通常在2～3之間。3/17/202345現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）（5）不確定度分量的忽略一切不確定度分量均貢獻(xiàn)于合成不確定度，即只會使合成不確定度增加。忽略任何一個分量，都會導(dǎo)致合成不確定度變小。但由于采用的是方差相加得到合成方差，當(dāng)某些分量小到一定程度后，對合成不確定度實際上起不到什么作用，為簡化分析與計算，則可以忽略不計。例如，忽略某些分量后，對合成不確定度的影響不足十分之一，就可根據(jù)情況忽略這些分量。3/17/202346現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.3.4測量不確定度的評定步驟

對測量設(shè)備進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定后，要出具校準(zhǔn)或檢定證書；對某個被測量進(jìn)行測量后也要報告測量結(jié)果，并說明測量不確定度。①明確被測量的定義和數(shù)學(xué)模型及測量條件，明確測量原理、方法，以及測量標(biāo)準(zhǔn)、測量設(shè)備等；②分析不確定度來源；③分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時要剔除異常數(shù)據(jù)；④計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度；⑤計算擴展不確定度；⑥報告測量結(jié)果。Y=y±kuc3/17/202347現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4測量數(shù)據(jù)處理

3.4.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計算簡便，在數(shù)據(jù)處理時，需對測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。3/17/202348現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）

例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。3/17/202349現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005

3/17/202350現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。測量數(shù)據(jù)的絕對值比較大（或比較小），而有效數(shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的不確定度來確定，即測量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結(jié)果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結(jié)果表示為63.4±0.4。3/17/202351現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）3.近似運算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項。（1）加法運算 以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項無小數(shù)點則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時，原則同加法運算；當(dāng)兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數(shù)字。

3/17/202352現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）（3）乘除法運算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×1043/17/202353現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.13/17/202354現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標(biāo)或極座標(biāo)。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數(shù)盡量相等3/17/202355現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.經(jīng)驗公式法經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。有時又把這種經(jīng)驗公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法（續(xù)）一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx

3/17/202356現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.3建立經(jīng)驗公式的步驟已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標(biāo)，輸出量yi即測量值作為縱坐標(biāo)，描繪在坐標(biāo)紙上，并把數(shù)據(jù)點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：

（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。3/17/202357現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.3建立經(jīng)驗公式的步驟（續(xù)）(4)檢驗所確定的方程的準(zhǔn)確性。①用測量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計算出函數(shù)值y′②計算擬合殘差③計算擬合曲線的標(biāo)準(zhǔn)偏差

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個數(shù)，n為測量數(shù)據(jù)列長度。如果標(biāo)準(zhǔn)偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯誤，應(yīng)建立另外形式公式重做。3/17/202358現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.4一元線性回歸

用一個直線方程y=a+bx來表達(dá)測量數(shù)據(jù)(xi,yi

i=1,2,…,n)之間的相互關(guān)系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。1.端點法此方法是將測量數(shù)據(jù)中兩個端點，起點和終點（即最大量程點）的測量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx，則a,b分別為3/17/202359現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.4一元線性回歸（續(xù)）2.平均選點法此方法是將全部n個測量值(xi,yi

i=1,2,…,n)分成數(shù)目大致相同的兩組，前半部k個測量點為一組，其余的n-k個測量點為另一組，兩組測量點都有自己的“點系中心”，其坐標(biāo)分別為

通過兩個“點系中心”的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：3/17/202360現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.4一元線性回歸（續(xù)）3.最小二乘法最小二乘法的基本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最佳直線。測量數(shù)據(jù)中的任何一個數(shù)據(jù)yi與擬合直線上y=a+bx對應(yīng)的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為測量點數(shù)） 即求a和b的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)榱?，即可解得a和b的值。3/17/202361現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.4一元線性回歸（續(xù)）【例3.10】對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計進(jìn)行測試，輸出由數(shù)字電壓表讀數(shù)，所得各測量點的輸出值列于下表中。試用端點法、平均選點法和最小二乘法擬合線性方程，并計算各種擬合方程的擬合精度。壓力（MPa）246810輸出（mV）10.04320.09330.13540.12850.0723/17/202362現(xiàn)代電子測量技術(shù)3.4.4一元線性回歸（續(xù)）壓力MPa輸出mV端點法平均選點法最小二乘法理想直線殘差理想直線殘差理想直線殘差210.04310.044－0.00110.95－0.05210.080－0.0337420.09320.0520.04120.097－0.00420.0900.003630.13530.0600.09330.0990.05430.1000.053840.12840.0680.06040.1010.02740.1100.0181050.07250.068－0.00450.103－0.03150.120－0.