人教九下數(shù)學22導(dǎo)學案

26．1．4二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象26．1．5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式學習目標、重點、難點【學習目標】掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象畫法和性質(zhì)；2、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；3、能利用二次函數(shù)解決相關(guān)實際應(yīng)用問題；【重點難點】1、掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)；2、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；3、能利用二次函數(shù)解決相關(guān)實際應(yīng)用問題；知識概覽圖二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k圖象可自勉物線y二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k圖象性質(zhì)①當a＞0時，拋物線開口向上，函數(shù)左減右增性質(zhì)②當a＜0時，拋物線開口向下，函數(shù)左增右減轉(zhuǎn)化成y=a(x－h(huán))2＋k的形式，頂點為(h，k)二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c轉(zhuǎn)化成y=a＋，頂點為(二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c最值問題①當a＞0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值．即當x＝時，y最小值=最值問題②當a＜0時，拋物線有最高點，函數(shù)有最大值．即當x＝時，y最大值=解析式的建立一般式解析式的建立頂點式交點式新課導(dǎo)引如右圖所示，在一場足球比賽中，九年級(1)班的球員李明從球門正前方10m處起腳射門，球的運行路線可以近似地看成是一條拋物線，當球飛行的水平距離是6m時，球到達最高點，此時球高3m，已知球門高2．44m，此球能否射進球門?【問題探究】這是一個實際問題，如何將它與拋物線的有關(guān)知識聯(lián)系起來呢?教材精華知識點1二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a，h，k是常數(shù)，a≠0)的圖象的畫法和性質(zhì)二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線x＝h，頂點坐標為(h，k)，是由拋物線y＝ax2(a≠0)向左或向右平移|h|個單位長度，再向上或向下平移|k|個單位長度得到的．性質(zhì)：當a＞0時，拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k的開口向上，在對稱軸的左側(cè)，即x＜h時，曲線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，即x＞h時，曲線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大，簡記為“拋物線開口向上，函數(shù)左減右增”，頂點是拋物線的最低點，此時函數(shù)y取得最小值，即當x＝h時，ymin＝k．當a＜0時，拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k的開口向下，在對稱軸的左側(cè)，即x＜h時，曲線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，即x＞h時，曲線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減小，簡記為“拋物線開口向下，函數(shù)左增右減”，頂點是拋物線的最高點，此時函數(shù)y取得最大值，即當x＝h時，ymax＝k．拓展對于函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的性質(zhì)，要注意與y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h(huán))2對比學習，通過圖象得出函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的性質(zhì)．知識點2二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的相互轉(zhuǎn)化二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c與頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的相互轉(zhuǎn)化．(1)可以將頂點式化為一般式．例如：y＝(x－1)2＋2y＝x2－2x＋3．(2)利用配方法將一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c化為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k．y=ax2＋bx＋c=a=a=a令h＝－，k＝，則y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0).拓展將二次函數(shù)的一般式化為頂點式時，要提取系數(shù)a，而不能除以系數(shù)a．知識點3二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標、對稱軸和與y軸的交點坐標將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方為y＝a，所以它的頂點坐標是，對稱軸是直線x＝－，與y軸的交點坐標是(0，c)．拓展由于拋物線是軸對稱圖形，且對稱軸經(jīng)過拋物線的頂點，所以拋物線上對稱點連線的垂直平分線是對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點．例如：拋物線y＝－2x2＋8x－6，它的對稱軸是直線x＝2，由于頂點在對稱軸上，所以頂點的橫坐標是2，縱坐標是y＝－2×22＋8×2－6＝2，所以頂點坐標是(2，2)．總之，在求一般形式的二次函數(shù)的對稱軸及頂點坐標時，通常有兩種方法，一是先將其配方，化y＝ax2＋bx＋c(a≠0)為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，二是直接利用公式求頂點坐標．知識點4二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的畫法和性質(zhì)畫法．(1)描點法，其步驟如下：①把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式；②確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標；③在對稱軸兩側(cè)，以頂點為中心，左右對稱描點畫圖．拓展若拋物線與x軸有交點，則最好選取交點進行描點，特別是在畫拋物線的草圖時，應(yīng)注意以下五點：(1)開口方向；(2)對稱軸；(3)頂點；(4)與x軸的交點；(5)與y軸的交點．(2)平移法，其步驟如下：①利用配方法把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，確定其頂點(h，k)；②作出函數(shù)y＝ax2的圖象；③將函數(shù)y＝ax2的圖象平移，使其頂點平移到(h，k)．性質(zhì)．關(guān)系式一般式y(tǒng)=ax2＋bx＋c(a≠0)頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2＋k(a≠0)開口方向當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下圖象拋物線頂點坐標(h，k)對稱軸直線x=－直線x＝h增減性a＞0在對稱軸左側(cè)，即x＜－，或x＜h，y隨x的增大而減小在對稱軸右側(cè)，即x＞－，或x＞h，y隨x的增大而增大a＜0在對稱軸左側(cè)，即x＜－，或x＜h，y隨x的增大而增大在對稱軸右側(cè)，即x＞－，或x＞h，y隨x的增大而減小最大值或最小值a＞0當x＝－時，y最小值＝當x＝h時，y最小值＝ka＜0當x＝－時，y最大值＝當x＝h時，y最大值＝k知識點5二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征與a，b，c及b2－4ac項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc＝0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2－4b2－4ac與x軸有唯一一個交點b2－4ac與x軸有兩個交點b2－4ac與x軸沒有交點拓展(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征與a，b，c及b2－4ac(2)對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當x＝1時，y＝a＋b＋c．若y＝0，則a＋b＋c＝0；若y＞0，則a＋b＋c＞0；若y＜0，則a＋b＋c＜0．當x＝－1時，y＝a－b＋c．若y＝0，則a－b＋c＝0；若y＞0，則a－b＋c＞0；若y＜0，則a－b＋c＜0．知識點6用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)解析式的方法很多，解題時可根據(jù)題目所給的條件靈活選用，這樣能使解題簡便．一般地，若已知拋物線上三個點的坐標，則選用一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(x1，0)，(x2，0)，則選用交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)；若已知拋物線的頂點坐標(或?qū)ΨQ軸和最值)，則選用頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；若已知拋物線的頂點在原點，則可設(shè)為y＝ax2；若頂點在y軸上，則可設(shè)為y＝ax2＋k；若頂點在x軸上，則可設(shè)為y＝a(x－h(huán))2．應(yīng)用頂點式和交點式求二次函數(shù)的解析式時，一定要注意對公式中符號的處理．拓展(1)求二次函數(shù)解析式的幾種方法之間是相互聯(lián)系的，而不是孤立的，不同的設(shè)法是根據(jù)不同的已知條件來確定的．(2)在選用不同的設(shè)法時，應(yīng)具體問題具體分析，特別是當已知條件不是上述所列舉的幾種情形時，應(yīng)靈活地運用不同的方法來求解，以達到事半功倍的效果．知識點7求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值的方法(1)自變量的取值范圍是全體實數(shù)．若自變量的取值范圍是全體實數(shù)，則函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)．即當x=－時，y最值=．(2)自變量的取值范圍是x1≤x≤x2．①若－在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，則當x＝－時，y最值＝．②若－不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，則函數(shù)的最值即為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時的函數(shù)值，且較大的為最大值，較小的為最小值，最大值和最小值是同時存在的．拓展(1)最值是最大值還是最小值要根據(jù)a的正負來確定，當a＞0時為最小值，當a＜0時為最大值．(2)當－不在自變量的取值范圍內(nèi)時，函數(shù)既有最大值，又有最小值，且最大值和最小值分別為x＝x1和x＝x2的函數(shù)值．規(guī)律方法小結(jié)(1)轉(zhuǎn)化思想(化歸思想)：把所要解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個較易解決的問題或者已經(jīng)解決的問題，即化難為易，化繁為簡，化未知為已知．本節(jié)知識用到轉(zhuǎn)化思想主要是將圖象上的點的坐標轉(zhuǎn)化為方程中未知數(shù)的值，通過點的坐標建立方程，從而將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題．(2)數(shù)形結(jié)合思想：根據(jù)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間圖形巧妙和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”尋找解題的途徑，從而使問題得到解決，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個方面．本節(jié)知識用到數(shù)形結(jié)合思想主要是借助函數(shù)圖象求解函數(shù)的最大值、最小值，或者當二次函數(shù)與方程知識相結(jié)合時，借助圖象來幫助解決問題，它是“以形助數(shù)”的一種體現(xiàn)．課堂檢測基礎(chǔ)知識應(yīng)用題1、將拋物線y＝2(x－1)2＋3作下列移動，求得到的新拋物線的解析式．(1)向左平移2個單位，再向下平移3個單位；(2)頂點不動，將原拋物線開口方向反向；(3)以x軸為對稱軸，將原拋物線開口方向反向．2、已知拋物線與x軸交于點A(－1，0)，B(1，0)，且經(jīng)過點M(0，1)，求此拋物線的解析式．綜合應(yīng)用題3、某花圃利用花盆培育某種花苗，每盆的收益與每盆的株數(shù)構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系，每盆植入3株，平均每株售價3元，以同樣的培育條件，每增加一株，由于生長受到一定的影響，所以平均每株售價就減少元，寫出該函數(shù)的解析式，畫出圖象，并求出植入多少株時，收益最大．探索創(chuàng)新題4、已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(1，0)，(2，5)兩點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)請你換掉題目中的已知條件，重新設(shè)計一個求二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的解析式的題目，使所得的二次函數(shù)解析式與(1)中的相同．體驗中考1、拋物線y＝(x＋2)2＋3的頂點坐標是()A．(－2，3)B．(2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)2、在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx＋m和y=－mx2＋2x＋2(m是常數(shù)，且m≠0)的圖象可能是（如圖所示）()學后反思 附：課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析利用平移規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．解：∵y＝2(x－1)2＋3，∴頂點為(1，3)．(1)將拋物線y＝2(x－1)2＋3向左平移2個單位，得到y(tǒng)＝2(x＋1)2＋3，再向下平移3個單位，得到y(tǒng)＝2(x＋1)2＝2x2＋4x＋2．(2)根據(jù)題意，得y＝－2(x－1)2＋3＝－2x2＋4x＋1．(3)∵新頂點與原頂點(1，3)關(guān)于x軸對稱，∴新頂點為(1，－3)．又∵新拋物線開口向下，∴所求解析式為y＝－2(x－1)2－3＝－2x2＋4x－5．【解題策略】此題根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律來解題．規(guī)律·方法關(guān)于拋物線的平移問題，只是拋物線的位置不同而已，即頂點坐標不同，而形狀、開口方向都相同，所以a的值不變，只要將y＝ax2＋bx＋c配方成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，然后根據(jù)平移后拋物線的頂點位置直接寫出函數(shù)關(guān)系式．2、分析因為點A(－1，0)，B(1，0)是拋物線與x軸的交點，所以選用交點式比較簡便．解：∵點A(－1，0)，B(1，0)是拋物線與x軸的交點，∴設(shè)所求拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－1)．又∵拋物線經(jīng)過點M(0，1)，∴1＝a(0＋1)(0－1)，∴a＝－1，∴所求拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.【解題策略】求函數(shù)關(guān)系式時，若采用頂點式或交點式求解，最后所得關(guān)系式一定要化成一般式.3、分析解決本題的關(guān)鍵是弄清每盆的收益與每株售價、株數(shù)之間的關(guān)系，即每盆的收益等于每盆植入的株數(shù)和每株售價的乘積，同時應(yīng)注意株數(shù)是正整數(shù)．解：設(shè)每盆植入的株數(shù)為(x＋3)株，每盆的收益為y元．由題意可知y＝(3＋x)(3－，即y＝x2＋x＋9＝＋10，其中自變量x的取值范圍是整數(shù)．∴函數(shù)的最大值必須是x為整數(shù)時取得的．這里與最接近的整數(shù)是1和2，且1與，2與的距離相等．∴當x＝1和x＝2時，y能取得最大值．當x＝1時，y＝＋10＝10；當x＝2時，y＝＋10＝10．∴當x＝1時，x＋3＝4；當x＝2時，x＋3＝5．∴當每盆植入4株或5株時收益最大．由題意可知必有y＞0，∴自變量的取值范圍是x＝－2，－1，0，1，2，3，4，5．該函數(shù)的圖象是拋物線上一些孤立的點，如圖所示．【解題策略】這是二次函數(shù)應(yīng)用問題中的一個典型題，在本題中應(yīng)注意到，函數(shù)解析式