山東省青島第九中學(xué)平面向量多選題試題

a2a2山東省島第九中學(xué)面向量選題試題含案一、平向量多選題1．已知，是面夾角為的兩個(gè)單位向量，在平面上，且3）A．|a

B．|

C．|c

3

．

，的角是鈍角【答案】【分析】在平面上作出a，OB，

OB，

23

，作OC，可得出C點(diǎn)以為直徑的圓上，這樣可判斷選項(xiàng)、．由向加法和減法法則判斷選項(xiàng)A、B．【詳解】對于A|

2

+b

2

+23

，故正；對于：a，，

OB，

23

，則ABOA

2

+

2

OAcos

3

，a3

，故正；OC，(

a﹣)·(

b﹣)=0得

，點(diǎn)

在以AB直的圓上（可以與A合）．設(shè)點(diǎn)是M，cOC

的最大值為

OM

13+2

，故C正確；a與OM向，由圖，OMc的角不可能為鈍角．故D錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量數(shù)量積．解題關(guān)鍵是作出圖形，作出，OB，OC，確定

點(diǎn)軌跡，然后由向量的概念判斷．2．在

ABC

中，D、E別是

、

上的點(diǎn)，與BD交

O

，且

2222AB，，CDDA，

，則（）A．ACC．OAOC

34

B．．ED在方向上的正射影的數(shù)量為

712【答案】【分析】根據(jù)BC及正弦定理得到

BBC

，從而求出B，一步得到

BA

，ABC

等邊三角形，根據(jù)題目條件可以得到E的中點(diǎn)和D為【詳解】

的三等分點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出各選.由ABBC得

ABcosCA

，|AB|B|

，正弦定理，

CBBC

，

0

，BC，同理：

，所以

BA

，ABC

等邊三角形AB，為BC的點(diǎn)，CDDAD為的等分點(diǎn)3如圖建立坐標(biāo)系，A,0,0D得OO

為AE中點(diǎn)，所以，正，故B正；33AC,

，

AC

231=，故A錯(cuò)；363OAOBOCOAOEOE，正；43,BA,32

，投影

BA12

，故D正確.故選：

1111【點(diǎn)睛】如何求向量在向量b上投，用向量a的模乘以兩個(gè)向量所成的的余弦值就可以了，當(dāng)然還可以利用公式

進(jìn)行求解3．如圖，DE是徑1的O的兩條不同的直徑，F(xiàn)O，（）A．BFFCB．FD

C．FDFE≤

．足FCFE的數(shù)與的為定值4【答案】【分析】A.根BF易FC判斷；由2

ODOFOE運(yùn)求解判斷；，建平面直角坐標(biāo)系：設(shè)

DOF

0,2

，則D

,sin

1F

，得到cos,sin,

，由

cos,FE

FDFD

利用三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)判斷D.將FD，利用線性運(yùn)算變形為【詳解】A.因BF，以BFFC，錯(cuò)誤；2

222222B.

OFOEODODOF

，C.建立如圖示平面直角坐標(biāo)系：

，故正確；設(shè)

DOF

2

]

，則

D

,sin

,,03

，所以

13

cos

,FE

，所以

FE

FDFD

2

2

，

2

(]

，故正確；由FCFD，OF

，所以

，故正確；故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔.4．下列說法中錯(cuò)誤的為（）A．已知

，(1,1)

，且

與

b的角為銳角，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是

，，B．量(2,1

e,

不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．//，

a

在b方上的投為

．零向量a和b滿a

，則與a的角為60°【答案】【分析】由向量的數(shù)量積向的投影基定理與向量的夾角等基本知識(shí)，逐個(gè)判斷即可求.【詳解】對于A

(1,2)

，

，與a夾為銳角，a

)

2

)

，且

(

0時(shí)

a

與a夾角為0)所以

53

且，錯(cuò)誤；對于，量e12確；

，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B正，對于，若//，a在b方上的正射影的數(shù)量為對于，因?yàn)閨a|平方得b

，故C錯(cuò)誤；則

)a|2

|

，|()

2

a|

2

|

2

3a|

，故

a2)aa|a

，而向量的夾角范圍為

，得

a

與a夾為30°，項(xiàng)誤.故錯(cuò)誤的選項(xiàng)為ACD故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識(shí)，對知識(shí)廣度及準(zhǔn)確度要求比較高，中檔.5．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的（）A．已知A、、C是平面中三點(diǎn)，若AB不能構(gòu)成該平面的基底，則A、、共線B．b則

C．點(diǎn)G為的重心，則GAGBGC0．知

，若a，夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的值范圍為

【答案】【分析】根據(jù)平面向量基本定理判斷；由數(shù)量積性質(zhì)可判斷；向量的點(diǎn)表示和三角形的重心性質(zhì)可判斷，數(shù)量積及平面向量共線定理判斷．【詳解】解：因?yàn)椴粯?gòu)成該平面的基底，所以AB//

，又有共點(diǎn)A，以、、C共線，即A正；由平面向量的數(shù)量積可知，若b，||cos,b|c所|ab,c無得到

a

，即B不正確；設(shè)線段的點(diǎn)為，若點(diǎn)

為

的重心，則GA，GC，所以GC，

正確；

，若，b夾角為銳角，則a

解且與b不共線，即

，所以

故選：．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理和向量數(shù)量積的性質(zhì)和向量的加減運(yùn)算，屬于中檔題．6．下列各式結(jié)果為零向量的有（）A．

AC

B．ACCDC．ODAD【答案】CD【分析】

．MP對于選項(xiàng)A，

BCAC

,所該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)BACBD2AD，以該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)，OAOD0

,所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)DQPMNMP【詳解】

，所以該選項(xiàng)正確.對于選項(xiàng)A，

BCACAC

,所該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)B，ACAB))ADADAD，所以該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)CODADAD0

,所該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，NQQPMNMPNPPN故選：【點(diǎn)睛】

，所以該選項(xiàng)正.

本題主要考查平面向量的加法和減法法則，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水.7．已知ABC

的面積為3，ABC

所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，，滿足，QA2QB，APQ的積S，則下列說法正確的是（）A．PB//

B．

BP

12BC33C．PA

．S【答案】【分析】利用向量的共線定義可判斷；利用向量法的三角形法則以及向量減法的幾何意義即可判斷；用向量數(shù)量積的義可判斷；利用三角形的面積公式即可判斷【詳解】由，2QB，可知點(diǎn)P為的等分點(diǎn)，點(diǎn)QAB延長線的點(diǎn)，且中點(diǎn)，如圖所示：對于A點(diǎn)P為

的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，所以PB與

不平行，故A錯(cuò)；對于，

BPBA

21BA333

,故正；對于，

PAPC

PAPC

，故錯(cuò)；對于，設(shè)ABC的為，

ABC

1ABh2

，即

，則APQ的積

APQ

112AQhABh2

，故D正；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的共線定理、共線向量、向量的加法與減法、向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題8．是邊長為的等邊三角形，已知量a、b滿ABa

，，下

列結(jié)論中正確的有（）A．a(chǎn)為位向量B．b//BC

C．

b

．

【答案】【分析】求出可斷A選項(xiàng)的正誤；利用向量的減法法則求出b，用共線向量的基本定理可判斷選的正誤；計(jì)算出判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出項(xiàng)的正誤綜可得出結(jié)論【詳解】

，可判斷D選對于選，

ABa

1AB，則a3

，選正確；對于選項(xiàng)，確；

AB，//BC，選正對于C選，

a

112AB2333

，所以與不直C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選，

，所以，

，選項(xiàng)正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量有關(guān)命題真假的判斷，涉及單位向量、共線向量的概念的理解以及垂直向量的判斷，考查推理能力，屬于中等.二、立幾何多選題9．已知圖中A、、

C

、D是方形EFGH

各邊的中點(diǎn)，分別沿著

、

、

、把ABF

、△CDH

、△向上起，使得每個(gè)三形所在的平面都與平面

ABCD

垂直，再順次連接

EFGH

，得到一個(gè)如圖所的多面體，則（）A．AEF正三角形

B．面AEF平面CGHC．線CG與面AEF所角的正切值為．AB時(shí)多面體

的體積為

83【答案】【分析】取、AB的點(diǎn)O、，接OHOM，證明出OH面，然后以點(diǎn)O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM

、

、OH

所在直線分別為、y

z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出EF，判斷A選項(xiàng)的正誤，利用空間向量法判斷BC選的正誤，利用幾何體的體積公式可判斷選的正誤.【詳解】取、AB的點(diǎn)O、，接OH

、OM

，在圖中

、B、、D是方形EFGH各邊的中點(diǎn)，則GHEHDH

，

為

的中點(diǎn)OHCD

，平面CDH

平面

ABCD，面CDH

平面

CD

，平

，面

ABCD

，在圖中設(shè)正方形

的邊長為

2a

，可得四邊形

ABCD

的邊長為

a

，在圖中和均等腰直角三角形，可得BAF45，90

，四形ABCD

是邊長為

a

的正方形，

、M分別為

、的中，則//BM

且OCBM

，且OCB90，所以，四邊形OCBM為矩形，所以，OM，以點(diǎn)O為標(biāo)原點(diǎn)，、OC、OH所直線分別為、y、建立空間直角坐標(biāo)系，則

,0

、

,0

、

a

、

F

、

,a

、

H

.對于選，由空中兩點(diǎn)間的距離公式可得

AEAFEF

a

，所以，是正三角形A選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為

m11

AFa

，由

11ay11

，取

z，x，y11

，則m

，設(shè)平面的向量為ny,z2

，

eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)由

ax2222

，取

，可得

x2

，y

，則n

，m

，所以，平面與面CGH

不垂直B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選，

cosm

633

，設(shè)直線CG與面成角為sin

63

，

1sin

32，3所以，

tan

cos

2

，選項(xiàng)正確；對于D選，以ABCD底面，以O(shè)H為將幾何體ABCDEFGH補(bǔ)長方體BC111

，則E、F、

、分別為

D、B、B、D11111

的中點(diǎn)，因?yàn)?/p>

，即a，，方體

BC111

的體積為，

EF

1S

，因此，多面體的積為

ABCDEFGH

V

EF

4

103

，D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（）用面面直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（）構(gòu)成線角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從不必作出線面角，則線面角足

hl

（l為線段長），進(jìn)而可求得線面角；（）立空間角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線

l

的方向向量，為平面的法向

量，則線面角

的正弦值為

sin,

.10．方體

BC111

中，是棱

1

的中點(diǎn)，在面CDDC上動(dòng)，且滿足F//

平面.下命題正確的有（）1A．側(cè)面上存在，使得

B11B．線BF與線1

所成角可能為3

C．面與面所銳二面角的正切值為21．正方體棱長為1，過點(diǎn)E，，的面截正方體所得的截面面積最大為【答案】【分析】

取

CD1

中點(diǎn)，CC中N，連接

B,MN，證平面MN//111

平面