大學(xué)物理上冊課后習(xí)題答案

習(xí)題解答

習(xí)題一

drdvdv

1-1IrI與r有無不同有無不同？其不同在哪里？

dtdtdt試

解：（1）|r|是位移的模,r是位矢的模的增量,

drdr

⑵一是速度的模，即

dtdt

舉例說明.

蟲只是速度在徑向上的分量

dt

dra(

??,有rr?（式中？叫做單位矢），則dcit

.,空就是速度徑向上的分量，

式中dt

???空竺不同如題1-1圖所示.

與dt

（3）::表示加速度的模，即同dv芻是加速度a在切向上的分量

dtdt

?有vv（表軌道節(jié)線方向單位矢）所以

dvdvd

v-

dtdtdt

（必與的運算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，

dtdt故不予討論)

式中磬就是加速度的切向分量

1-2設(shè)質(zhì)點的運動方程為x=x（t）,y=y（t），在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出

Hr，及2=雪而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的a2

，然后根據(jù)v=d

分量，再合成求得結(jié)果，即

22

rax^v=22dy

VdL?及a\dtdx

2dt2你認(rèn)為兩種方法哪一種

dt

正確？為什么？兩者差別何在？

解：后一種方法正確?因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有rxiyj,

drdx.

dtdt

oo

rlrdY

r~22dxdy

VvxVy

dtdt

d2x2

2d2V

a3x3y

dt2dt2

而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作

drdfr

?-□心dr-drdr

其二，可能是將與一2誤作速度與加速度的模。在題中已說明不是速度的模，

dtdtdt

而只是速度在徑向上的分量，同樣，含蝦是加速度的模,它只是加速度在徑向分量中

的一部分a隹Jr「?；虼焊爬ㄐ缘卣f,前一種方法只考慮了位矢dtr在徑向（即

故它們的模即為

量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢r及速度v的方向隨間的變化率對速度、加速

度的貢獻(xiàn)。

1-3一質(zhì)點在xOy平面上運動，運動方程為

X=3t+5.y=-t2+3t-4.

2

式中t以s計，x,y以m計.（1）以時間t為變量，寫出質(zhì)點位置矢量的表示式；（2）求出t=l

時刻和t=2s時刻的位置矢量，計算這1秒內(nèi)質(zhì)點的位移；（3）計算t=0s時刻到t=4s時刻

內(nèi)的平均速度；（4）求出質(zhì)點速度矢量表示式，計算t=4s時質(zhì)點的速度；（5）計算t=0s到

t=

4s內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；（6）求出質(zhì)點加速度矢量的表示式，計算t=4s時質(zhì)點的加速度（請

把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成宜角坐標(biāo)系中的矢量式）.

解：⑴r(3t5)i(It23t4)jm

⑵將tl,t2代入上式即有

n8i0.5jm

r211j4jm

rr2n3j4.5jm

⑶?—

roDJ4J,14L(11OJ

12

V——-——-——-_i------2°j3i5jms

t404

(4)Vdr3i(t3)jmis

dt

1

則V，3i7jms

「3i3j,V43i7j

Vv.tVo4.2

a--------------------itjms-

t44

⑹dv1i2

a,【Jms

dt

這說明該點只有y方向的加速度，且為恒量。

1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示.

v0(m-s')的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大小.當(dāng)人以

解：設(shè)人到船之間繩的長度為I,此時繩與水面成角，由圖可知

222

Ihs

將上式對時間t求導(dǎo)，得

Vo

dlcds

2I2s—1-4圖

dtdt

根據(jù)速度的定義，并注意到I,s是隨t減少的，

dlds

繩vo'V船dt

dsIds

v船dt

dtCOS

22\1/2

IV。(hS)

將v船再對t求導(dǎo)，即得船的加速度

ai

S

dv船dtv?sIv船

a2V。

dtSs

工.22

2hv。

S3

s

S2,X的單位

1-5質(zhì)點沿x軸運動，其加速度和位置的關(guān)系為a2+6x2,a的單位為

為m.質(zhì)點在x=0處，速度為10ms'，試求質(zhì)點在任何坐標(biāo)處的速度值.

dvdvdxdvv-

解:adxdtdx

dt

分離變量:adx(26x2)dx

兩邊積分得

2x2x3

由題知，X0時，Voio,r.c50

V2X3x25ms

2

1-6已知一質(zhì)點作直線運動，其加速度為a=4+31x=5m,v

ms，開始運動時,

二0,求該質(zhì)點在t=10s時的速度和位置.

解：???43t

dt

分離變量，得dv(43t)dt

V4t3t2

積分，得

2C

由題知，t0,0,二Ci0

Vo

43t2

2

t

dx/3t2

又因為4t

dt2

(4t十

分離變量，dx2n

tr

,1

積分得2t-tC2

2

由題知t0,5,…C2

Xo

2t2lt3

所以t10s時

Q

10102190

2

2

X10101IO3705

2

3

1-7一質(zhì)點沿半徑為m的圓周運動，運動方程為

=2+3t,式中以弧度計，t以秒

計，求：(1)t=2s時，質(zhì)點的切向和法向加速度;⑵當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時,

其角位移是多少？

d

解：9t；18

dtdtt

⑴t2s時，18236m

a22)21296ms2

n1(9

(2)當(dāng)加速度方向與半徑成45。角時，有

tan45

dn

22

亦即(9t)18t

則解得t3

于是角位移為

23t32

232.67rad

9

12

1-8質(zhì)點沿半徑為R的圓周按s=vt

obt的規(guī)律運動，式中s為質(zhì)點離圓周上某點的弧

2

長,V。，b都是常量，求：（l）t時刻質(zhì)點的加速度；（2）t為何值時，加速度在數(shù)值上等于b.

ds

解：⑴Vobt

dt

dvb

dt

(Vobt).

3nR

則a.a22b2(vobt)4

an

R2

加速度與半徑的夾角為

Rb

A

arctan-bt)2

an

（2）由題意應(yīng)有

a,(Vobt)'

b2

R

即b2b2(v>)(vobt)1o

R2

rVo

???當(dāng)t°時，ab

b

1-9半徑為R的輪子，以勻速v。沿水平線向前滾動：（1）證明輪緣上任意點B的運動方程為x

=R（tsint）,y=R（1cost）,式中v0/R是輪子滾動的角速度，當(dāng)B與水

平線接觸的瞬間開始計時.此時B所在的位置為原點，輪子前進(jìn)方向為x軸正方向；（2）求B

點速度和加速度的分量表示式.

解：依題意作出下圖，由圖可知

以了」:

⑴x丫/2Rsincos-

22

丫計Rsin

R(tRsint)

y2Rsin-sin-

22

R(1cos)R(1cost)

⑵

VxdxdtR(1cost)

dydt

VyRsint)

asR2sintdVxdt

dVydt

aD2

yKcost

1J小

l-io以初速度Vo=20nlsI拋出-球，拋出方向與水平面成幔60。的夾角,

求：(1)球軌道最高點的曲率半徑Ri：(2)落地處的曲率半徑R2.

(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)

解:設(shè)乞小球所作拋物線軌道如1-10圖所示.

題1-10圖

(1)在最局點,

ViVvVocos60°

a?ig10ms2

又??

22

V、(20COS60)

1--------------------

am10

10m

(2)在落地點，

1

V2Vo20ms,

aCOS60°

n2

22

2V2120La-80m

10cos60

1-11飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動，其角加速度為3=0.2rad?S之，求t=2s時邊緣上

各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解：當(dāng)t2s時，t0.20.4rads

則VR0.40.40.16m

anR0.4(0.4)20.064

0.40.20.08m

a：2a,。064門(0,08)20.102

1T2如題172圖，物體A以相對B的速度V=2gy沿斜面滑動，y為縱坐標(biāo)，開始時A

在斜面頂端高為h處，B物體以u勻速向右運動，求A物滑到地面時的速度.

解：當(dāng)滑至斜面底時,

yh,則VA2gh,A物運動過程中又受到B的牽連運動影響,

因此，A對地的速度為

(2ghsin)j

1?13—船以速率V!=30km-

H

h'沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率V2=40km-h

沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何？在艇上看船的速度又為何？

解：(1)大船看小艇，則有v2iv2V.,依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a)

方向北偏西arctan也arctan?36.87

V2

(2)小船看大船，則有v12ViV2，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得

V1250kmh

l

?I

(6)

題1-13圖

由圖可知:V,2V；50kmh'

方向南偏東36.87-

1-14當(dāng)一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板上，篷圖4m但當(dāng)

輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3m,如雨滴的速度大小為8ni?s',求

輪船的速率.

解：依題意作出矢量圖如題1T4所示.

V雨船V雨V船

VVV

雨雨船船

朗軍用翎」關(guān)系可知

V?V用8ms

習(xí)題二

2-1因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為ai,其對于皈則為牽連加速度，又知m2

對繩子的相對加速度為a',故m2對地加速度，由圖(b)可知，為

a?=ai-a①

又因繩的質(zhì)量不計，所以圓柱體受到的摩擦力f在數(shù)值上等于繩的張力T,由牛頓定律，有

mig-T=miai②

TF2g初2&

聯(lián)立①、②、③式，得

(minOg1112a

ai

mim2

(m-im2)gnra

a2---------g—

mim2

Tgm2(2ga)

gm2

,貝?ai=a2表示柱體與繩之間無相對滑動.

mi,m2均作自由落體運動.

w,K

(b)

題2-1圖

⑵若a'=2g,則T=f=O,表示柱體與繩之間無任何作用力，此時

2-2以梯子為對象，其受力圖如圖（b）所示，則在豎直方向上，①

NB_mg=O

又因梯無轉(zhuǎn)動，以B點為轉(zhuǎn)動點，設(shè)梯子長為L則

②

NsISinBmg—cos(=0

2

③

f+NA=ma

④

式中f為梯子受到的摩擦力，其方向有兩種可能,

tan,tan_g_

2(a?g)

fx

2-3

Bx

168

即f=土gmg

聯(lián)立①、②、③、④式得

072

m1A

282

7/K7

9

1A?

于是質(zhì)點在2s時的速度

5.7

\/??ms

48

(2)

13

(22--------

28

13.7.

18J

4

kvdv

2-4/1la出

m

分離變量，得

dvkdt

Vm

l^uvdvtkdt

即v0V0m

In-Ine

Vo

At

v°em

mvo

)x=1°)

上tmvo

故有xowe，dt

⑶質(zhì)點停止運動時速度為零，即tfs.

(4)當(dāng)t="時，其速度為

k

1e

即速度減至V。的

e

2-5分別以m,叱為研究對象，其受力圖如圖(b)所示.

(1)設(shè)叱相對滑輪(即升降機)的加速度為a',則m2對地加速度az=a'-a;因繩不可伸長，故

mi對滑輪的加速度亦為a',又m,在水平方向上沒有受牽連運動的影響,所以mi在水平方

向?qū)Φ丶铀俣纫酁閍',由牛頓定律，有

m2g-T=m2(a'-a)

題2-5圖

聯(lián)立，解得a'=8方向向下

(2)mz對地加速度為

az=a'-a=g方向向上

2

,

mi在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即a?=atfi+a.率

二3i

a.1

9=arctan=arctan=26.6左偏上.

a2

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同,與軌道相切斜向下

,而拋物線具有對y軸對稱性，故末速度與x軸夾角亦為30°,則動量的增量為

4)=mv-mvo

由矢量圖知，動量增量大小為ImvoI,方向豎直向下.

2-7由題知，小球落地時間為0.5s.因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小

為Vi=gt=0.5g,小球上跳速度的大小亦為V2=0.5g.設(shè)向上為y軸正向，則動量的增量

z\p二mv才mvt方向豎直向上，

大小|ApI=mv2_(_mvi)=mg

碰撞過程中動量不守恒.這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予的沖力作用.另外，碰

撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒.

2-8(1)若物體原來靜止，則

t4

APi=°Fdto(102t)idt56ikg?m?s：沿x軸正向,

1"56ikgms

若物體原來具有一6m,s-初速，則

Jt

Pornv,pm(Vommv0。Fdt于是

P2PPo°Fdtp?

同理，△Vz=AVi,I2=Ii

這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體

獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理.

(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即

Io(lO2t)dt10tt

亦即t2+10t-200=0

解得t=10s,(t'=-20s舍去)

2-9質(zhì)點的動量為p=mv=md-asindi+bcosdj)

將t二0和廿分別代入上式，得

2

Pi=mdj,p2=-mGai,

則動量的增量亦即質(zhì)點所受外力的沖量為

1=Ap=p2-pi=-mdai+bj)

2T0⑴由題意,子彈到槍口時,有

/口a

F=(a-bt)=0,得

b

(2)子彈所受的沖量

112

Io(abt)dtatbt

將t=代入，得

b

(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量

Vo2bvo

2-11設(shè)一塊為rm,則另一塊為m2.

km

于是得m.,m2

k1

mi=km2及mi+m2=m

又設(shè)mi的速度為Vi,m2的速度為V2,則有

T1mjVi22ymv

2m2V2

2mv=miv什m

2V2

聯(lián)立①、③解得

V2=(k+1)v-kv

將④代入②，并整理得

—(Viv)2

km

于是有Viv2T

km

將其代入④式，有

2kT

又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取

V2kT,V2V2T

Vi\m\km

.m

證畢.

2-12(1)由題知，F(xiàn)合為恒力，

???Aa=F-r=(7i-6j)?(-3i+4j+16k)

=-21-24=-45J

A45

⑵N75w

t0.6

⑶由動能定理，△Ek=A=-45Jy坐標(biāo)正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為

題2-13圖

f=_ky

第一錘外力的功為A,

1k

Afdyfdy0kydy

2

式中f'是鐵錘作用于釘上的力，

f是木板作用于釘上的力，在dtTo時，f'=-f.

設(shè)第二錘外力的功為A2,則同理，有

y2(1,2k

A2ikydy3ky2

由題意，有

2AL(￡mv2)

即2k'2

所以，丫2.2

于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為

Ay=yz-yi=2-1=0.414cm

匚.dE(r)nk

2-14F(r)v'-

drr

方向與位矢r的方向相反，即指向力心.

2-15彈簧A、B及重物C受力如題2-15圖所示平衡時，有

FA=FB=Mg

又FA=ki&i

FB=k2AX2

所以靜止時兩彈贊伸長量之比為

Xi

X2ki

彈性勢能之比為

IkX

E1Ik

E題2-15氨21

22

2

2-16⑴設(shè)在距月球中心為r處F月弓尸F(xiàn)地引,由萬有引力定律,有

mMj]mM地

G〒一二G

經(jīng)整理，得

<7.35"

3.4810

、5.98IO21.7.351022

=38.32IO6in

則P點處至月球表面的距離為

67

h=r-rfl=(38.32-1.74)x10=3.66X10m

(2)質(zhì)量為1kg的物體在p點的引力勢能為

EP

225.981024

=6.6710”73510—6,671011

3.8310738.43.83107

6

=-1.28106J

2T7取B點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功

能原理，有

11

-g2gh=(mi+rn?)v2-[migh+k(內(nèi))1

22

式中d為彈簧在A點時比原長的伸長量，則

4=AC-BC=(.2-1)h

聯(lián)立上述兩式，得

2-18取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原

長處為彈性勢能零點則由功能原理，有

2

-frS=kxmv2mgssin37

12

mv

2mgssin37fts

k=---------

!kx2

式中s=4.8+0.2=5m,x=0.2m,再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得

k=1390N?m

再次運用功能原理，求木塊彈回的高度h'

13

-fts)=mgs'sin37--kx"

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得s'=1.4m,

題里s,=0.84

題2-19圖

則木塊彈回高度

2-19m從M上下滑的過程中,機械能守恒，以m,M地球為系統(tǒng)

,以最低點為重力勢能零點1，則有

n2mgR=-mvMV

又下滑過程，動量守恒，以m,M為系統(tǒng)則在m脫離M瞬間，水平方向有

mv-MV=0

聯(lián)立，以上兩式，得

2MR

V=g

TmM

2-20兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有

1mv21212

mv.mv

222

omV：

(a)<b)

題2-20圖(a)題2-20圖(b)

又碰撞過程中，動量守恒，即有

mv0=mvi+mva

亦即V?=Vi+V2②

由②可作出矢量三角形如圖(b),又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以V。為斜邊,

故知力與“是互相垂直的.

2-21由題知，質(zhì)點的位矢為

r=xii+yij

作用在質(zhì)點上的力為

f=-fi

所以，質(zhì)點對原點的角動量為

Lo=rxmV

=(xii+yij)xm(Vxi+Vyj)

=(ximVy-yimVx)k

作用在質(zhì)點上的力的力矩為

Mo=rxf=(xii+yij)x(-fi)=yifk

2-22哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力一一即有心力的作用，所以角動量守恒；又由

于哈雷彗星在近日點及遠(yuǎn)日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有

rimVi=12mV2

5.261012

104