2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-2學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測3含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課時作業(yè)：學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測3含解析第三章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測時間120分鐘，滿分150分．一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．(1＋i）20－(1－i)20的值是(C）A．－1024 B．1024C．0 D．51.2[解析](1＋i）20－（1－i）20＝［(1＋i）2]10－［（1－i)2］10＝(2i）10－（－2i）10＝（2i)10－(2i)10＝0.故答案為：C．2．下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(A）A．（1＋i）2 B．i2(1－i）C．i(1＋i)2 D．i（1＋i）[解析］由題意，對于A中，復(fù)數(shù)(1＋i）2＝2i為純虛數(shù),所以正確;對于B中，復(fù)數(shù)i2·(1－i）＝－1＋i不是純虛數(shù)，所以不正確;對于C中，復(fù)數(shù)i·(1＋i）2＝－2不是純虛數(shù),所以不正確；對于D中，復(fù)數(shù)i·(1＋i)＝－1＋i不是純虛數(shù)，所以不正確，故選A．3．若復(fù)數(shù)z＝i（3－2i)(i是虛數(shù)單位），則eq\x\to(z）＝(A）A．2－3i B．2＋3iC．3＋2i D．3－2i[解析]因為z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以eq\x\to（z)＝2－3i.4．若a為實數(shù)，且（2＋ai）·(a－2i)＝－4i,則a＝(B)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]∵（2＋ai）（a－2i)＝4a＋（a2－4)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4a＝0，，a2－4＝－4，))解之得a＝0.5．如果復(fù)數(shù)z＝eq\f（2,－1＋i)，則(C）A．｜z|＝2B．z的實部為1C．z的虛部為－1D．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i［解析]因為z＝eq\f（2，－1＋i）＝eq\f(2－1－i，2)＝－1－i，所以｜z|＝eq\r(2)，z的實部為－1，虛部為－1，共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，因此選C．6．若復(fù)數(shù)z1＝3＋i，z2＝1－i，則z＝z1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限［解析］∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，∴z＝z1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第四象限．7．對于下列四個命題：①任何復(fù)數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)；②如果復(fù)數(shù)z1＝eq\r（5)i，z2＝eq\r(2）－eq\r(3）i，z3＝－eq\r(5)i，z4＝2－i，那么這些復(fù)數(shù)的對應(yīng)點共圓；③|cosθ＋isinθ|的最大值是eq\r(2)，最小值為0；④x軸是復(fù)平面的實數(shù)，y軸是虛軸．其中正確的有（D)A．0個 B．1個C．2個 D．3個［解析］①正確．因為若z∈R,則｜z｜≥0,若z＝a＋bi（b≠0,a，b∈R）,|z|＝eq\r（a2＋b2）〉0。②正確．因為｜z1|＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r（\r（2)2＋\r（3)2）＝eq\r（5），｜z3|＝eq\r（5)，｜z4｜＝eq\r（5)，這些復(fù)數(shù)的對應(yīng)點均在以原點為圓心，eq\r(5)為半徑的圓上．③錯．因為|cosθ＋isinθ|＝eq\r(cos2θ＋sin2θ）＝1為定值，最大、最小值相等都是1。④正確．故選D．8．復(fù)數(shù)z1＝(eq\f（1－i，1＋i)）2，z2＝2－i3分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點P,Q，則向量eq\o(PQ,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(D）A．eq\r（10) B．－3－iC．1＋i D．3＋i[解析]∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，∴eq\o（PQ，\s\up6（→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z2－z1＝2＋i－(－1）＝3＋i。故選D．二、多項選擇題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分,有選錯的得0分)9．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2是純虛數(shù)，則有(AD）A．a(chǎn)＋c＝0 B．a(chǎn)－c＝0C．b－d≠0 D．b＋d≠0［解析]z1＋z2＝a＋c＋(b＋d）i為純虛數(shù),則需a＋c＝0且b＋d≠0.故選AD．10．已知i為虛數(shù)單位，z為復(fù)數(shù)，則下列敘述不正確的是（ABC）A．z－eq\x\to（z）為純虛數(shù)B．任何數(shù)的偶數(shù)次冪均為非負(fù)數(shù)C．i＋1的共軛復(fù)數(shù)為i－1D．2＋3i的虛部為3[解析]當(dāng)z為實數(shù)時，z－eq\x\to(z)不為純虛數(shù),A錯誤;由i2＝－1，知B錯誤；由共軛復(fù)數(shù)的定義，知1＋i的共軛復(fù)數(shù)為1－i，C錯誤；D正確，故選ABC．11．下列命題是真命題的是（ABC）A．復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實數(shù)B．復(fù)數(shù)等于零的充要條件是它的模等于零C．兩個復(fù)數(shù)模相等是這兩個復(fù)數(shù)相等的必要條件D．復(fù)數(shù)z1>z2的充要條件是|z1｜>｜z2｜［解析]①任意復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R)的模|z｜＝eq\r(a2＋b2)≥0總成立，故A為真命題;②由復(fù)數(shù)相等的條件z＝a＋bi(a，b∈R）＝0?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，b＝0)）?|z|＝0，故B為真命題；③令z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)．若z1＝z2,則有a1＝a2,b1＝b2,所以|z1|＝｜z2｜，反之由｜z1|＝|z2｜，推不出z1＝z2，如當(dāng)z1＝1＋3i，z2＝1－3i時，｜z1|＝|z2|，而z1≠z2，故C為真命題；④不全為實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小,但任意兩個復(fù)數(shù)的?？偰鼙容^大小,故D為假命題．故選ABC．12．復(fù)數(shù)z＝3＋eq\r(3）i化為三角形式正確的是(AD）A．z＝2eq\r（3）(coseq\f（π,6）＋isineq\f（π,6)）B．z＝2eq\r(3）(coseq\f（π,6)－isineq\f(π，6))C．z＝2eq\r(3）(coseq\f（7,6）π＋isineq\f(7π，6）)D．z＝2eq\r（3）(coseq\f(13，6）π＋isineq\f（13π,6)）［解析]z＝3＋eq\r（3）i＝2eq\r(3)（eq\f（\r(3),2)＋eq\f(1,2)i）＝2eq\r(3）(coseq\f（π,6)＋isineq\f(π，6)）＝2eq\r（3)（coseq\f(13π,6)＋isineq\f(13π，6))，故選AD．三、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知z、ω為復(fù)數(shù)，（1＋3i）z為純虛數(shù)，ω＝eq\f(z,2＋i）,且｜ω|＝5eq\r（2)，則ω＝__±(7－i）__.［解析］解法1：設(shè)z＝a＋bi(a,b∈R），則(1＋3i)z＝a－3b＋（3a＋b）由題意，得a＝3b≠0.∵｜ω｜＝|eq\f（z，2＋i）|＝5eq\r（2)，∴|z｜＝eq\r(a2＋b2）＝5eq\r(10).將a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±5。故ω＝±eq\f(15＋5i，2＋i)＝±(7－i）．解法2：由題意，設(shè)(1＋3i）z＝ki，k≠0,且k∈R,則ω＝eq\f（ki,2＋i1＋3i).∵|ω｜＝5eq\r（2)?！鄈＝±50.故ω＝±（7－i）．14．下面四個命題:①0比－i大；②兩個復(fù)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)其和為實數(shù)時,互為共軛復(fù)數(shù)；③x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1；④任何純虛數(shù)的平方都是負(fù)實數(shù)．其中錯誤命題的序號是__①②③__。[解析]①實數(shù)與虛數(shù)不能比較大??；②兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時其和為實數(shù)，但是兩個復(fù)數(shù)的和為實數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)不一定是共軛復(fù)數(shù);③x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1是錯誤的,因為沒有表明x，y是否是實數(shù);④若z＝bi（b≠0)為純虛數(shù)，則z2＝－b2<0，①②③均是錯誤命題，④是正確的．15．(2020·天津卷）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f（8－i,2＋i）＝__3－2i__.[解析］eq\f（8－i，2＋i)＝eq\f(8－i2－i，2＋i2－i）＝eq\f（15－10i，5)＝3－2i.16．復(fù)數(shù)z＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f（π,5)－isin\f(π,5))）的三角形式是__2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(9π，5)＋isin\f(9π，5))）__。［解析]z＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f（π，5）－isin\f（π，5))）＝2eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2π－\f（π，5)））＋isin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2π－\f（π，5))））)＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(9π,5)＋isin\f(9π，5）)）.四、解答題（本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分）已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－i2＋31＋i,2－i）。(1）求復(fù)數(shù)z.（2）若z2＋az＋b＝1－i,求實數(shù)a，b的值．［解析］（1）z＝eq\f（－2i＋3＋3i,2－i）＝eq\f（3＋i,2－i）＝eq\f（3＋i2＋i,5)＝1＋i。(2）把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i,得（1＋i)2＋a（1＋i）＋b＝1－i，整理得a＋b＋（2＋a）i＝1－i,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，，2＋a＝－1，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－3，，b＝4)）18．（本題滿分12分）(1）已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3）＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù),求z·eq\x\to(z)的值；(2)計算eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2)，1－i)）)2016＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1＋i,1－i）））6（i是虛數(shù)單位)．[解析］(1)復(fù)數(shù)z＝eq\f（\r（3)＋i,1－\r(3）i2)＝eq\f（\r(3)＋i,－2－2\r（3)i）＝eq\f（－\r(3)＋i,4）,eq\x\to（z）＝eq\f（－\r(3）－i,4)?！鄗·eq\x\to(z）＝eq\f(1，4）。(2）(eq\f(\r（2),1－i））2016＋（eq\f(1＋i,1－i))6＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2)，2)1＋i)）2016＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1＋2i－1,2））)6＝i1008＋i6＝1－1＝0.19．(本題滿分12分)已知z＝eq\f(a－i，1－i),其中i為虛數(shù)單位,a>0，復(fù)數(shù)ω＝z(z＋i)的虛部減去它的實部所得的差等于eq\f（3，2)，求復(fù)數(shù)ω的模．［解析］∵z＝eq\f(a－i,1－i），代入ω＝z（z＋i），得ω＝eq\f（a－i，1－i）（eq\f（a－i，1－i)＋i）＝eq\f(a－ia＋1,1－i2）＝eq\f(a－ia＋1，－2i)＝eq\f(1＋aia＋1,2)＝eq\f（a＋1，2）＋eq\f(aa＋1，2)i，∴ω的實部為eq\f(a＋1，2)，虛部為eq\f(aa＋1,2)，由已知得eq\f(aa＋1,2）－eq\f（a＋1,2）＝eq\f(3,2）,解得a2＝4,∴a＝±2。又a〉0,故a＝2.|ω|＝｜eq\f（a＋1，2）＋eq\f（aa＋1,2）i｜＝｜eq\f(2＋1,2）＋eq\f（22＋1，2)i｜＝｜eq\f（3,2）＋3i|＝eq\f（3\r（5),2).20．(本題滿分12分）已知復(fù)數(shù)z＝eq\f（－1＋3i1－i－1＋3i,i），ω＝z＋ai(a∈R），當(dāng)|eq\f（ω，z)|≤eq\r(2）時,求a的取值范圍．［解析］∵z＝eq\f(－1＋3i1－i－1＋3i，i）＝eq\f(1＋i,i）＝1－i，∴｜z｜＝eq\r(2)。又｜eq\f（ω,z)|＝eq\f（｜ω|，|z｜)≤eq\r(2)，∴｜ω｜≤2。而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1）i，(a∈R)，則eq\r(12＋a－12)≤2?(a－1)2≤3，∴－eq\r（3)≤a－1≤eq\r(3），1－eq\r(3）≤a≤1＋eq\r(3).即a的取值范圍為［1－eq\r(3)，1＋eq\r（3）]．21．(本題滿分12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，已知向量eq\o（OZ1，\s\up6(→)），eq\o(OZ2,\s\up6（→）)分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且z1＝eq\f（3,a＋5)－（10－a2)i，z2＝eq\f(2，1－a）＋(2a－5）i，a∈R，若z1＋z2可以與任意實數(shù)比較大小，求eq\o（OZ1,\s\up6（→））·eq\o（OZ2,\s\up6(→))的值．［解析］依題意得z1＋z2為實數(shù)，因為z1＋z2＝eq\f（3，a＋5)＋eq\f(2，1－a)＋［（a2－10）＋(2a－5)］i，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＋2a－15＝0，,a＋5≠0，，1－a≠0。))所以a＝3.此時z1＝eq\f（3，8)－i，z2＝－1＋i，即eq\o(OZ1,\s\up6（→))＝（eq\f（3，8)，－1)，eq\o（OZ2，\s\up6（→))＝(－1,1）．所以eq\o(OZ1,\s\up6(→）)·eq\o(OZ2，\s\up6(→))＝eq\f（3,8)×（－1）＋（－1)×1＝－eq\f（11,8）。22．(本題滿分12分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b.（1)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，求事件“z－3i為實數(shù)”的概率;(2)求點P(a，b）落在不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a－b＋2≥0，,0≤a≤4，，b≥0.