高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析-不等式的綜合考查考點(diǎn)透析

湖北黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析(08)一不

等式的綜合考查考點(diǎn)透析

湖北黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析(08)

不等式的綜合考查考點(diǎn)透析

【考點(diǎn)聚焦】(解、用、證)(兩小半大)

考點(diǎn)1：不等式的性質(zhì)與重要不等運(yùn)用

考點(diǎn)2：不等式的解法

考點(diǎn)3：不等式的應(yīng)用問題

考點(diǎn)4：不等式的綜合問題

【考題形式】1。小題與集合，函數(shù)定義域、值域結(jié)合；(1小是肯定

的)

2.不等式組與線性規(guī)劃。

3.大題形式多樣與其他知識結(jié)合，不會出現(xiàn)單獨(dú)的不等式題。

【問題1】不等式的解法

1.已知R為全集，A={x|logl(3-x)2-

(B)22

(A)-2<x<-l(B)-或x=3(C)-2Wx〈-l(D)-2Wx《l

2.設(shè)a<0,則關(guān)于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集為：(A)

{0}(D)無解

3.下列不等式中，解集為R的是(B)

.|x-3|>x—3B.

112C.

的解為(D)4.不等式

A.-ICxWl或x22C.x=4或一3<xWl或x22B.x<—3或1<XW2

D.x=4或x<—3或1WxW2

則不等式f(x)>2的解集為

.(山東卷)設(shè)f(x)=

(A)(1,2)(3,+8)(B)(,+8)

(0(1,2)(,+8)(D)(1,2)

()解得(解：令()，解得

O令

【精例1】已知，若，

9

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由題意可得，A={—4或}B={x-}則

而C={x|(x—a)(x—}要使則a>0,且

【精例2】解不等式

,+8)選，得

,2]..(12分)

解：?.?原不等式

且6-

或

3或--1-

原不等式的解集為：或

［精例3］P61例1【精例4】P62例2

【問題2】含有參數(shù)的不等式問題

含有參數(shù)的不等式問題是高考?？碱}型，求解過程中要利用不等式的性

質(zhì)將不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，化為一元二次不等式等問題去解決，注意參數(shù)在

轉(zhuǎn)化過程中對問題的影響.

【精例5］已知是參數(shù))

(.1)當(dāng)t=-1時(shí)，解不等式：f(x)Wg(x)；

(2)如果當(dāng)xC［0,1］時(shí),f(x)Wg(x)恒成立,求參數(shù)t的取值范圍.

解：(1)t=-1時(shí)，f(x)Wg(x),即為，此不

等式等價(jià)于

55解得x24,.?.原不等式的解集為{x|x24}

時(shí),f(x)Wg(x)恒成立，［0,1］時(shí),

恒成立,

時(shí)，恒成立，即x￡[0,1]時(shí),

[0,1])的最大值問題(x￡

令，則x=u2—1,由x￡[0,1],知u￡[l,2].

=-2(u2—1)+恒成立，于是

轉(zhuǎn)化為求

當(dāng)u=l時(shí)，即x=0時(shí)，有最大值為L

At的取值范圍是tNl.

點(diǎn)評：對于含參數(shù)問題，常常用分類討論的方法；而恒成立問題，除了

運(yùn)用分類討論的方法外，還可采用分離參數(shù)的方法.

[精例6]解關(guān)于x的不等式：______________________且

點(diǎn)撥與提示：用換元法將原不等式化簡，注意對a的討論.

解：設(shè)，原不等式化為U+2tI-It|<2

(1)當(dāng)時(shí)，一l—2t+t<2,.-.t>-3,

22

(2)當(dāng)時(shí)，l+2t+t<2,,

,

(3)當(dāng)tLO時(shí),l+2t-t<2,..t<l)，0WtVl

綜上可知：一3<tVl,即一3VlogaxVl

當(dāng)a>l時(shí)，，當(dāng)0Va<l時(shí)，

所以當(dāng)a>l時(shí)，原不等式的解集為{x|l

},當(dāng)OVaVl時(shí)，原不等式的解集為{xl}aa

[精例7]P62例3

【問題3】不等式與函數(shù)的綜合題(隱含不等式)

[精例8]P64T6

【精例9】已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，且

f(1)=1,若m、nW[-1,1],m+n關(guān)0時(shí)

11

>0(1)用定義證明f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)；(2)f(x+2)<

；-2-

(3)若f(x)Wt2-2at+l對所有x￡[―1,1],—1,1]恒成

立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍

【思路分析】(D問單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件

不等式是關(guān)鍵，(3)問利用單調(diào)性把f(x)轉(zhuǎn)化成“1”是點(diǎn)睛之筆

(1)證明任取xlVx2,且xl,x2e[-1,1],

則f(xl)—f(x2)=f(xl)+f(―x2)=?(xl—x2)

>0,又xl—x2<0,

.?.f(xl)-f(x2)<0,即f(x)在[—1,1

?.?-1WX1VX2WL，xl+(—x2)WO,由已知

(2)解\丫&)在［—1,1］上為增函數(shù)，解得{x—WxV—1,

xeR}1

(3)解由(1)可知f(x)在[—1,1]上為增函數(shù)，且f(l)=l,故對x￡

[-1,1]，恒有f(x)Wl,所以要使f(x)Wt2—2at+l對所有xw[-

1,1],ae[-1,□恒成立，即要t2—2at+121成立，故t2一

2at20,記g(a)=t2—2at,對a￡[―1,1],有晨a)20,只需g(a)在

[-1,1]上的最小值大于等于0,g(—l)三0,g(l)三0,解得，tW—2

或t=0或t，2

的取值范圍是{t|tW—2或t=0或t22}

點(diǎn)評它主要涉及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，而單調(diào)性貫穿始終，把所求

問題分解轉(zhuǎn)化，是函數(shù)中的熱點(diǎn)問題；問題(2)、(3)要求的都是變量的

取值范圍，不等式的思想起到了關(guān)鍵作用

【問題4】線性規(guī)劃

【精例10】不等式表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)

則m的取值范圍是(A)

A.【精例11】已

知點(diǎn)(3,1)和點(diǎn)(一4,6)在直線3x-2yy的兩側(cè)，貝U(B)

.m<—7或m>24B.-7<m<24

C.m=-7或m=24D.-7WmW24

[精例12]在約束條件下，當(dāng)時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]【精例13】已知

當(dāng)a為何值時(shí)，直線

與及坐標(biāo)+m=0

平面區(qū)域的面積最?。?12分)解：

軸圍成的

a4

恒過A(2,2),交xy軸分別為B(

■愜過A(2,2),交x,y軸分別為D

(,aa

,由題意知11與12及坐標(biāo)軸圍成的平面

區(qū)域?yàn)锳COD,a

當(dāng)時(shí)，.24

【問題5】不等式的實(shí)際應(yīng)用問題

對于應(yīng)用題要通過閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)

系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)

構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識求出題中的問題【精例

13](天津卷)某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為

4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用

之和最小，則噸.

400次，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的x

萬元，，當(dāng)總存儲費(fèi)用為4x萬元，一年

的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為XX

即噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小。X

解：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買

【精例13】某人在一山坡POC,塔高米)，山高米),

米)，圖中所示的山坡可視為直線1且點(diǎn)P在直線1上，1與水平

地面的夾角為，的視角最大(不計(jì)此人的身高)？

,0),B(0,220),解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(200

C(0,300).

直線1的方程為，即

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則P(x,

由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

由直線PC到直線PB的角的公式得

PC

要使tanBPC達(dá)到最大，只須

由均值不等式達(dá)到最

小..當(dāng)且僅當(dāng)

-4-

時(shí)tanBPC最大.這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為

由此實(shí)際問題知,

2

2

，所以tanBPC最大時(shí),最大.故當(dāng)此人距水平地面60米高

時(shí)，觀看鐵塔的視角最大.

【問題6】不等式與數(shù)列問題

【精例14］（湖北卷）22.（本小題滿分14分）

已知不等式

1111

其中n為大于2的整數(shù)，［log2n］表示不超過

log2n的最大23n2

整數(shù).

設(shè)數(shù)列

n｝的各項(xiàng)為正，且滿足

（I）證明

2b

2n］

（II）試確定一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)時(shí)，對任意b>0,都有

5

.解：（I）證法1：???當(dāng)時(shí)

即111

于是有

m所有不等式兩邊相加可得

由已知不等式知，當(dāng)n三3時(shí)有,

(II)V2b221

令

2n][log2n][log2n則有l(wèi)oglO

故取N=1024,可使當(dāng)n>N時(shí)，都有al

【課后訓(xùn)練】一、選擇題：

1、不等式解集是()

A(0,2)B(2,+8)—8,o)u(2,+8)2.函數(shù)

logx2

的定義域?yàn)?)

A.(1,2)U(2,3)B..(1,3)

D.[1,3]

3、(06上海)若關(guān)于x的不等式

)xWk4

+4的解集是M,則對任意實(shí)常數(shù)k,總有(A.2WM,OeM；

；C.2￡M,；,0GM.

4.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且

0,則使得的x的取值范圍是()A.

B..(-2,2)

)

5、(06年江蘇)設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成

立的是()..?.(A)(B)(C)

la2

1

a

1

(D)

6.(重慶卷)不等式組

2

(A)(0,)；(B)(,2)；

的解集為(C)

(C)(,4)；(D)(2,4)。

7、若不等式IxTYa成立的充分條件是0<x<4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()A、、、、.集合A={x

<0=,B={xx-b<a},若"a=l”是的充分條

件，則b的取

B.0VbW2

()

C.-3<b<-lD.—lWbV2

值范圍是

A.—2WbV0

9.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足，當(dāng)時(shí)，c的取值范

圍是().A.,.,,

D.,

x2y2

上變化，則的最大值為()10.若動(dòng)點(diǎn)(x,y)

在曲線

4b

.2bA.

二、填空題：

11.(上海卷)三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式x2+25+x3-

5x2|2ax在［1,12］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思

路.

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)

的最值”.丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即a的取值

范圍是.

且僅當(dāng)時(shí)成立；且，等號當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立；所以，，等號當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立；故；

12.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為

13、已知點(diǎn)(xO,yO)在直線ax+by=0,(a,b為常數(shù))上，則

的最小值為十

10,等號當(dāng)解：由x2+25+|x3一

5x,而

14、設(shè)a,,且a+b=1,則的最大值是

三、解答題：

15、已知函數(shù)的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)A、B,

(，分別是與x,y軸正半軸同方向的單位向量)，函數(shù)

(1)求k,b的值；(2)當(dāng)x滿足時(shí)，求函數(shù)

16、已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿足al=P(O〈P〈l),且求證：

2

的最小值.f(x)

an

(D求數(shù)列的通項(xiàng)an；

aala2a3

17.設(shè)f(x)是定義在上的奇函數(shù)，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)

于直線x=l對稱，而當(dāng)時(shí)，

.(1)求f(x)的解析式；(2)對于任意的

且求證：(3)對于任意的

且求證：(14分)

18.已知，點(diǎn)P是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)

P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的軌跡是函數(shù)y=g(x)的圖象.

(1)當(dāng)0<a〈l時(shí)，解不等式:2f(x)+g(x)20；

(2)當(dāng)a>L時(shí)，總有2f(x)+g(x)Nm恒成立，求m的范

圍.

點(diǎn)撥與提示：利用對稱性求出晨利的解析式，2f(x)+g(x)2m恒成立,

即mW[2f(x)+g(x)]min.利用重要不等式求出F(x)=2f(x)+g(x)的最小值即

可.

2a2

解關(guān)于x的不等式：

分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的

關(guān)鍵不是對參數(shù)a進(jìn)行討論，而是去絕對值時(shí)必須對末知數(shù)進(jìn)行討論，得到

兩個(gè)不等式組，最后對兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

解：

當(dāng)時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為即

3+g

當(dāng)時(shí)不等式可化為即

或故不等式的解集為。

參考答案：

1.C提示：原不等式轉(zhuǎn)化為，解此不等式組可得X的范圍.

2

.A提示：由題意可知,

3、A.方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷

關(guān)于k的不等式解集是否為R；

方

4

法2：求出不等式的解集：

k4

+

后

min

4.D提示：?.?函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函

數(shù)，且一2)=0,在

得x的取值范圍為(-上的x的取值范圍是

又由對稱性在R上f(x)<0,

5.C提示：因?yàn)?，?/p>

以(A)恒成立；在(B)兩側(cè)同時(shí)乘以a,得

2

所以（B）恒

2

成立；（C）中，當(dāng)a>b時(shí)，恒成立，a〈b時(shí)，不成立；（D

Ja+3+Ja+1

Ja+2+yfu

恒成立，故選（C）.

6.C

7.B提示：t=x—1|在x@[0,4]的最大值為3,故a73.

8.D提示：由題意得：A：—-a〈x〈a+b由"a=l"是

0”的充分條件.則A：-l<x〈l與B:b—kxG+b交集不為空.所

以一2<b<2,檢驗(yàn)知能使9.8C解：（三角換元）

設(shè)，，

4

,故選C.

10.A提示：設(shè)x=2cosa,y=bsina,則x2+2y=4cos2a+2bsina=-

4sin2a+2bsina+4

b2b2

=—2(sina—bsina-2)=-2(sina-)+4+,

22

的最大值為

2

二、填空題：

2525

，等

號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；且等號當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立；所以，,等號當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立；故；

2

12若

0且所

奇

以，

3

11

44

6

,貝U)

22,

13.提示：最小值為

11.解：由x2+25+x3-

14.22提示：

22