高考試題選-導(dǎo)數(shù)1

總題數(shù)：22題

第1題(2009年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(北京卷))

題目

設(shè)函數(shù)」(X)=xek*(kW0).

(I)求曲線在點(o,f(o))處的切線方程；

(II)求函數(shù)/白)的單調(diào)區(qū)間；

(III)若函數(shù)7(X)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增,求k的取值范圍.

答案

分析：第(I)問利用伊(X。)即為x=x0處切線斜率即可求解,

第(II)問考杳利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，

第(IH)問仍是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，等價于f'(x)在x仁(-1,1)上恒成立,亦可利用第(n)問結(jié)論來分類討論.

解：(I)f'(x)=(l+kx)ekx,f(0)=1,f(0)=0,

曲線y=/W在點(0,f(0))處的切線方程為y=x.

I

X--------

(H)由f'(x)=(l+kx)eM=0得k(k^O).

若k>0,則當(dāng)xe(-8,方)時，f"(x)vo,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)xG(2，+8)時，1(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增.

__1

若k<0,則當(dāng)xe(-8,與時,廣(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(之，+8)時,f'(x)<0,函數(shù)力單調(diào)遞減.

(III)由(II)知，若k>0,則當(dāng)且僅當(dāng)上WT,即kWl時,函數(shù)/(X)在(T,1)內(nèi)單調(diào)遞增；

若k<0,則當(dāng)且僅當(dāng)*>1,即k>-l時,函數(shù)」(幻在(T,1)內(nèi)單調(diào)遞增.

綜上可知,函數(shù)$9在區(qū)間(T,1)內(nèi)單調(diào)遞增時,k的取值范圍是[-1,0)U(0,1].

第2題(2009年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(天津卷))

題目

已知函數(shù)f(x)=(x,ax-2a=3a)e*(xGR),其中aGR.

(1)當(dāng)a=0時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率；

2

tf#-

(2)當(dāng)3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

答案

分析:本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查

運算能力及分類討論的思想方法.

解：(1)當(dāng)a=0時,f(x)=x%>f'(x)=(X2+2X)ex,f7(1)=3e.

所以曲線y=f(x)在點(1,f(D)處的切線的斜率為3e.

(2)f'(x)=[xJ+(a+2)x—2a2+4a]e\

。，一2

令f'(x)=0,解得x=-2a,或x=a—2.由3知，一2a￥a—2.

以下分兩種情況討論.

。》一2

①若3,則一2a<a-2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-00,-2a)—2a(―2a,a—2)a-2(a-2,+00)

f，(x)+0—04-

f(x)1極大值極小值

所以f(x)在(一8,—2a),(a-2,+8)內(nèi)是增函數(shù)，在(一2a,a—2)內(nèi)是減函數(shù).

函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(—2a),且f(—2a)=3ae-2a.

函數(shù)f(x)在x=a—2處取得極小值f(a—2),且f(a-2)=(4—3a)e『

②若a<3，則一2a>a—2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-00,a-2)a—2(a-2,-2a)-2a(-2a,+oo)

f'(x)+0—0+

f(x)極大值極小值

所以f(x)在(一8,a—2),(—2a,+°°)內(nèi)是增函數(shù),在(a—2,—2a)內(nèi)是減函數(shù).

函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2),且f(a-2)=(4—3a)e—

函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極小值f(―2a),且f(-2a)=3ae2a.

第3題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國1))

題目

已知函數(shù)+L3￡R.

(I)討論函數(shù)/(*)的單調(diào)區(qū)間：

f-2」)

(II)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I33,內(nèi)是減函數(shù)，求二的取值范圍.

答案

解：

(])/V)=3?+M+1J1則知=/&

語,?上F8>0.電是短數(shù)；

在(土孚三士^尹^如S<Q/(x)?箍*

(2)若一后<。<赤，則對所有NW&都力?」1/)>°,故此時/Q)在R上是增函數(shù).

a=土屁射(-拿=O.fiW有的*,導(dǎo)隨TW>0.

故當(dāng)”:U/對,f(X曲上是增函題

(n)由(1)知，只有當(dāng)"遮勿(-A/^L

/麗--3.士步2訥出喇gt

因此一3―匕

a-o+5/a'_31

B----------2—?

33

當(dāng)">#L由上式解那N2

因此1的朝靜強利2+而.

第4題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國I))

題目

設(shè)函數(shù)/(x)=x-*ln*.數(shù)列｛,｝滿足°<，<1,~=/6),

(1)證明：函數(shù)了⑸在區(qū)間3D是增函數(shù)：

(11)證明：,</**<1；

4至士

(III)設(shè)加&9,整數(shù)111bb.證明：%>b

答案

解：(I)當(dāng)OVxVl時，

jw=l-lnx-l=-lnx>0,

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù).

(II)當(dāng)0<x<l時，f(x)=x-xlnx>x.

又由(1)及f(x)在x=l處連續(xù)加，

當(dāng)0<x<l時,f(x)Vf(l)=l.

因此，當(dāng)0<x<l時，0<x<f(x)<l①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：°<.<一<i?②

⑴由。<5<L.式

0<a,<a2<l,即當(dāng)n=l時,不等式②成立.

（2）假設(shè)聯(lián)k時，不等式②成立，即V工

則由①可得°<1WO<flM<L

故當(dāng)n=k+l時，不等式②也成立.

綜合（1）（2）證得：/<a?><1"

（題由如0,&語項遞埴故若存在正場加4總件除1.2A.

否通,癡.<￡（4?<充）則由0<.</<A

4111/，.kt,<.h8<00

a*u=%-%In%

=%-djh。h%

由“0iInA).

■4

于是％(>.+司.hA|

+($-■)

二b

第5題（2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類（天津卷））

題口

a

已知函數(shù)f(x)=x+x+b(xWO),其中a,b￡R.

(1)若曲線y二f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+l,求函數(shù)f(x)的解析式;

⑵討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

11

(3)若對于任意的ae［,不等式f(x)W10在［二，1］上恒成立，求b的取值范圍.

答案

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、綜合

分析和解決問題的能力.

_a

(1)解:f'(x)=l/，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'(2)=3,于是a=-8.

由切點P(2,f(2))在直線y=3x+l上可得-2+b=7,解得b=9.

8

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=xM+9.

_a

(2)解：f'(x)=l/.

當(dāng)aWO時，顯然f'(x)>0(x^0).

這時f(x)在(-8,0),(0,+8)內(nèi)是增函數(shù).

當(dāng)a>0時，令f'(x)=0,

解得x=±&\

當(dāng)X變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-8,-石)石(d,o)。4)石(石,+8)

f'(x)+0--0+

f(x)/極大值極小值/

所以f(x)在(-8,-方)，(石，+8)內(nèi)是增函數(shù),

在(0,石)內(nèi)是減函數(shù).

(3)解：由(2)知,f(x)在上的最大值為f(A)與f(i)中的較大者，對于任意的ae[二，2],不等

-39/

止產(chǎn)1”.b<------Aa,

4

式f(x)W10在[■,門上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)了①三地即hf9-a

對任意的ae[2,2]成立.

17

從而得bW；,所以滿足條件的b的取值范圍是(-8,4].

第6題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(遼寧卷))

題目

hx

設(shè)函數(shù)f(x)=1+JC-lnx+ln(x+1).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

(2)是否存在實數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式f(x)的解集為(0,+8)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,試

說明理由.

答窠

本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題

的能力.

1hxTI：lux

解⑴尸(x)=*0+才Q+才’*x+1(1+通‘

故當(dāng)xG(O,1)時,f'(x)>0,

XG(x)<0.

所以f(x)在(0,D上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

由此知f(x)在(0,+8)上的極大值為f(l)=ln2,沒有極小值.

(2)①當(dāng)aWO時,

由于f(x)=l+x

Kl+x)+4h(l+￡)-hx]

=1-hX>0,

故關(guān)于x的不等式f(x)>a的解集為(0,+8).

fax2h2,I1

②當(dāng)a>0時，由f(x)=l+M+ln(l+K)知f⑵)=l+2*+ln(l+2*)，其中n為正整數(shù)，且有l(wèi)nd+21)

±05

<22"—n>Tog2(?~1).

-7622to2

又n22時，1+21J+a+Y<2=?-1,

2h2a4b2

且"-1<2=n>。+1.

4b2

5

取整數(shù)n0滿足no>-log2(<-l),n0>。+1,且n022,

21aa

則f(2")=1+2^+ln(l+2^)<2+2=a,

即當(dāng)a>0時,關(guān)于x的不等式f(x)2a的解集不是(0,+-).

綜合①②知,存在a,使得關(guān)于x的不等式f(x)2a的解集為(0,+8),且a的取值范圍為(-8,0].

第7題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(福建卷))

題目

/(x)=A?4-^-2

已知函數(shù)3

(I)設(shè)｛aj是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為S“，其中a尸3.若點(neN*)在函數(shù)

y二f'(x)的圖象上,求證：點(n,Sn)也在y二f'(x)的圖象上；

(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-l,a)內(nèi)的極值.

答案

本小題主:要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分

析問題和解決問題的能力.

(I)證明：因為3所以JW-x+"，

由點一加€N*)在函數(shù)y二1(X)的圖象上，

得"xi-2tl,即+a.Xa??4一%—25=0,

又4)所以“*4一.=2,又因為a,=3,

所以數(shù)列｛a。｝是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列。

所

以

X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+8)

f'(x)+0-0+也gm才

f(x)/極大值極小值/,乂因

為『(x)=/+2n,所以晶=八域,

故點/耳)也在函數(shù)丫=『(x)的圖象匕

(口)解:1/*(*)=7+2*=?*+&,

由=a得*=。或案=一2.當(dāng)x變化時,共力、力工)的變化情況如下表：

、4*刈|(。-1)—1<2UR

汪意到1K'r，從而

d-l<-3SIP-2<a4一時/口”加。-2)=-；心

①當(dāng)3,此時無極小值;

②當(dāng)?-1<03即0<a<*t/W的極小值為'00=一2此時“r)無極大值；

③當(dāng)."一國一1"a"0或。之用/(”既無極大值又無極小值.

第8題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(福建卷))

題目

已知函數(shù)f(x)=4n(l+x)-x

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)記f(x)在區(qū)間[0,n](n￡N*)上的最小值為bx令an=In(l+n)-bx.

r------

(III)如果對一切n,不等式卡?福恒成立，求實數(shù)c的取值范圍；

包+當(dāng)1+…+"件廠”<^71-1.

(IV)求證：、,%%

答案

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考

查分析問題和解決問題的能力.

解法一：

1-X

(I)因為f(x)=ln(l+x)-x,所以函數(shù)定義域為(-1,+*〉，且=14-X-1=1+J

i/'w>0得TVxVO,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)；

由V0得x>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+H).

(H)因為f(x)在［0,n］上是減函數(shù),所以bn=f(n)=ln(l+n)-n,

貝ijan=ln(l+n)-bn=ln(1+n)-In(1+n)+n=n.

_______________________2

=&+2(a+2-*)=@+2j+2+J

2^+2_=l

^8J+2(^GI+2-^G)=lim-----j2=1

每F得，

因此cVl,即實數(shù)c的取值范圍是(-h，1］.

3+1

(ID由(i)知

1.35..Q-D

因為[2-4-6]2

1>33?55?7(2M-Q(2M+DII

hkk?-ss5一?罰印

135?…(2M-D[

所以2-4-6-...-(2*)<-J5M+T<-V2M-l-i-ifei-l(YN*),

I.l?3,.l?3?5?...?(2rt-l)

則22?42?4?6?”，?(2M)<

■s/3—,>/].+y/5-r'fi+…+J2〃+1-J2〃-1=J2”+1-L

即色+絲1+...+吧二%zl<

a2ala4a2a4'''a2n

^^n+1-冷%*)解法二：

(1)同解法i.

(II)因為f(x)在【④句上是減函數(shù)，所以4=，g)=inQ+項一整

叫.=ln(14-?)-AM=IO(1+M)-111(1+?)+*=*-

r~<Ji<t+2-

(i)因為對n《N*恒成立.所以』》42對n￡N*恒成立.

則。<.+2-川+2M對ndN*恒成立.

設(shè)a*)="+2—ndN*,則c<g(n)對ndN*恒成立.

#甫g(*)=x+2-J?+2x,xe[l,-Kn).

專ML'

g(x)=1-：(X2+2xp.(2x+2)=1--,<+1-<1-x+1

02&+2xx+l=0,

因為

所以4加Ri)

內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)nEN*時，g(n)隨n的增大而減小,

limg(w)=lim(?+2-y/n2+2w)=lim2〃+4

FIf?nT?H->X制+2+彼2+2〃

乂因為

所以對一切?g)>l?因此cWl,即實數(shù)C的取值范圍是(-8,1].

(ii)由⑴知

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2?4?6?—?(2?)<4+1(neN*).

①當(dāng)n=l時，左邊=)，右邊=7,左邊〈右邊.不等式成立.

1?3?5?…?Qb-D(I

②假設(shè)當(dāng)n=kat，不等式成立,即2?4?6,?“?Q?J2k+l

ic.jQt-otafc+Dv」m-t_1^1._i

當(dāng)展k+1時，2?4?6…(2fcK2fc+&疝NZ+U21*22k￥2h+3

區(qū)+8fc+3.IlI

14ti+?t+4?血+3〈良+3-j2(fc+I)4-l

即門=1<+1時，不等式成立

....IIP）

綜合①、②得，不等式■….網(wǎng)a，成立.

所以

1L.3*.⑶笳…-

5IS…如4￡—.（M<

y/3~y/l+y/5-+…+J25+1-J2〃-1=Y2n+1-1.

即包+絲1+…+—???生

。2a】a（?a”

后存y*）

第9題（2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類（湖北卷））

題目

水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水

量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為

,（-d+14-40）/，+50,0YT10,

v（t）［妝-10）（3"41）+50,10yY12.

（I）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i-lVt<i表示第i月份（i=l,2,…，12），問一年內(nèi)

哪幾個月份是枯水期？

（11）求年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.

答案

本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能

力.

解：（I）①當(dāng)0<00時，v（t）C+W￡-40）?i+50Y50

化簡得1?-14t+40>0,

解得t<4,或t>10,又0cts=10,故0<t<4.

②當(dāng)10<tW12時，V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,

化簡得(t-10)(3t-41)<0,

41

解得IOVIV3,又iovtVi2,故iovt空12.

綜合得0<t<4,或10ctM12,

故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個月.

(II)由(I)知，V(t)的最大值只能在(4,10)內(nèi)達(dá)到.

%,123八1/'?+2)?—8),

e*(--r+—￡+4)=一一

由w(t)=424

令W?)二0,解得48(廿-2舍去).

當(dāng)t變化時，V'(t)與V(t)的變化情況如下表:

t(4,8)8(8,10)

V，(t)+0-

V(t)J極大值r

由上表，丫(4在t=8時取得最大值V(8)=8^+50=108.32(億立方米).

故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

第10題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(重慶卷))

題目

設(shè)函數(shù)f(x)=ax：'+bx+c(a#O),曲線y=f(x)通過點(0,2a+3),且在點(T,f(T))處的切線垂直于y軸.

⑴用a分別表示b和c;

(2)當(dāng)be取得最小值時,求函數(shù)g(x)=-f(x)e,的單調(diào)區(qū)間.

答案

解：(1)因為f(x)=ax2+bx+c,所以f'(x)=2ax+b.

又因為曲線y=f(x)通過點(0,2a+3),

故f(0)=2a+3.而f(0)=c,從而c=2a+3.

又曲線y=f(x)在(T,f(-1))處的切線垂直于y軸,

故伊(-1)=0,

即-2a+b=0,因此b=2a.

39

⑵由⑴得bc=2a(2a+3)=4(a+與)24,

39

故當(dāng)a=-二時,be取得最小值4.

三w

此時有b=-,c=-.

.rrrr

_J_￡￡__￡

從而f(x)=4x2工x+工，f'(x)=2x2.

□rrJ_rJ

g(x)=-f(x)e'=(rx2+2x2)e\

3

所以g'(x)=(f(x)-f‘(x))e"=4(X2-4)ex.

令g'(x)=0,解得Xi=-2,X2=2.

當(dāng)x￡(-8,-2)時,g'(x)<0,故g(x)在x-(-8,-2)上為減函數(shù);

當(dāng)x￡(-2,2)時,g'(x)>0,故g(x)在x￡(-2,2)上為增函數(shù);

當(dāng)x@(2,+8)時,g'(x)<0,故g(x)在x￡(2,+8)上為減函數(shù).

由此可見,函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,一2)和(2,+8)；單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2).

第11題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(山東卷))

題目

/(JC)=—-H1.黑-。，

一知函數(shù)Q-歲其中/?GN*,a為常數(shù).

(I)當(dāng)中2時，求函數(shù)f(x)的極值；

(11)當(dāng)a=l時，證明：對任意的正整數(shù)〃，當(dāng)x》2時，有/Xx)W尸1.

答案

(I)解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域為

/W="I'+dWM-Q.

當(dāng)上2時，

八x)J一心？

所以(1-x)

(1)當(dāng)a>0時，由f(x)=0得

-C(A球工一馬)

此時F(x)=O-x)3

當(dāng)(1,Xi)時，f'(x)VO,Ax)單調(diào)遞減；

當(dāng)(小.+8)時，f(x)>0,F(x)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)aWO時，F(xiàn)(x)V0恒成立，所以丹才)無極值.

綜上所述，77=2時,

極小值為8卷亨嶗.

K=

當(dāng)a>0時，『以)在處取得極小值,

當(dāng)&W0時，f(x)無極值.

/?)=—

(ID證法-：因為肝1,所以。一歲

當(dāng)〃為偶數(shù)時,

猷才=">二上一呵一—1).

令。一*r

JV1x-2.■

則g，(x)=1+(*-嚴(yán)X-1"I(L9>0(G2).

所以當(dāng)XC[2,+8]時，g(x)單調(diào)遞增,

又g(2)=0

2(x)=x-l-----------lnfz-1)

因此~u-iy卬"打⑵力恒成立，

所以f(x)WxT成立.

當(dāng)〃為奇數(shù)時，

[

要證』a)wxT,由于Q-承<0,所以只需證In(尸1)W尸1,

令人(>)=『lTn(『l),

Ix-2

則h'(x)=1-JT-1X-l>0(x>2),

所以當(dāng)xe[2,+8]時，4在)=*-1一如(工一9單調(diào)遞增，又力(2)=：1>0,

所以當(dāng)x》2時，恒有力(x)>0,即In(尸1)<x-l命題成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

證法二:當(dāng)葉1時，(1-XT

當(dāng)x32時，對任意的正整數(shù)"，恒有。-歲W1,

故只需證明l+ln(『l)W尸1.

zJk(x)=x-l-(l4-liL(x-I))=x-2-ln(x-I),xe[2,-Kn)

**W=1---=—,

貝ljx-lJC-l

當(dāng)x22時，"(X)》0,故力(力在上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)彳22時，力(>)2力(2)=0,即1+皿(尸1)WAH成立.

—+ln(x-1)

故當(dāng)X2時,有0_獷於『1.

即f(x)WrL

第12題(2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(陜西卷))

題目

/(X)-*+1

已知函數(shù)-+c(c>0#1,*eR)恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是

(I)求函數(shù)的另一個極值點；

(II)求函數(shù)/的極大值M和極小值”，并求時士的取值范圍.

答案

_乜/+c)-24h+D_--2jr+efc

iw：(I)--，由題意知A(F=°,

即得。生-2c-ck=0,(*)vc*O,二AwQ.

由/T力=。得一小-2x4-afc=0,

2

c—

由韋達(dá)定理知另一個極值點為H=-(或*).

22

*=-c=l+-

(U)由(*)式得＜：一1,即t

當(dāng)G>1時，樂>0：當(dāng)0<G<1時，*<-2.

(i)當(dāng)“0時，/⑸在(f-c)和G+g)內(nèi)是減函數(shù)，在FD內(nèi)是增函數(shù).

；.M=/(1)=—=-＞0

c+12

*i=/(-＜：)=—=-----

c2+c維+2)

W-w=—+--------->1、U

由2冷+2)及樂>0,解得上〉道.

(ii)當(dāng)上<~2時，在(-8,-c)和(h+oo)內(nèi)是增函數(shù)，在(7)內(nèi)是減函數(shù).

“-立==^-—&=1-3+甲+1>1

2（上+2）2左+2恒成立.

綜上可知，所求I：的取值范圍為（f-ZU[#2）.

第13題（2007年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類（全國I））

題目

20.設(shè)函數(shù)=

（I）證明：/（X）的導(dǎo)數(shù)尸（X）之2；

（II）若對所有X>0都有了（X）之a(chǎn)x,求a的取值范圍。

答案

解：（I）/（X）的導(dǎo)數(shù)/'（X）=/+1

由，*+e~x22-Jexe~x=2,故/'（x）>2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=o時，等號成立。）

（II）令g（x）=/（x）-ax,則

g'（X）=/'⑶一a=ex+e~x-a

⑴若a<2,當(dāng)xAO時，gV）=ex+e~x-a>2-a>0

故g'0屆0,+8）上為增函數(shù)，

所以xA0時,g（x）>g（0）,即/（x）2ax。

,a+^a1-4

x=In

（ii）若a>2,方程g'M=。的正根為12

此時，若xe(0,再)，則g'(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù)。

所以，xc(0，玉)時，g(x)<g(0)=0,即/(x)<ax,與題設(shè)/(x)Nax矛盾

綜上，滿足條件的4的取值范圍是(-8,21

第14題(2007年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國II))

題目

22.己知函數(shù)f{x)-x-x

(I)求曲線產(chǎn)曲x)在點財"點力)處的切線方程

(II)設(shè)a>0,如果過點(&/?)可作曲線片/'(才)的三條切線，證明：-a〈b<f(a)

答案

解：⑴求函&/㈤的導(dǎo)數(shù)；/(x)=3/-l

曲緲=/(x)在點陰處的切線方程為：

僅D

即y=(至Ll)x—2戶.

(2)如果有一條切線過點(a,b),則存在f,使

b=(3^-Y)a-2p.

于是，若過點(a,切可作曲線y=/(x)的三條切線，則方程

+a+b=0

有三個相異的實數(shù)根.

記gW=2i3-3at2+a+i>,

則g'?)=6/2-6at

=&(￡一以)

當(dāng)￡變化時，g(￡)，g'(。變化情況如下表:

t(-8,0)0(0,a)a(a,+OT)

+0—0+■

g(O/極大值a-i-b極小值b-y(a)/

由g?)的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+i<。或極小值3一/3)>0時，方程g(￡)=0最多有一個實數(shù)根：

￡=0c￡=_3_?

當(dāng)a+3=0時，解方程g?)=0得一'一萬，即方程g?)=。只有兩個相異的實數(shù)根；

f-at-a

當(dāng)b-/(a)=0時，解方程g(Z)=0得-2’一，即方程g1)=0只有兩個相異的實數(shù)根.

a+b>0,

綜上，如果過(如與可作曲線y=/(x)三條切線，即g1)=0有三個相異的實數(shù)根，則卜一丁⑷<0-

即-a〈b

第15題(2007年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(天津卷))

題目

,.、lax-a1+1,_、

/(X)=---5------(X€R)

20.已知函數(shù)%2+1，其中aeR

(I)當(dāng)a=1時，求曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程；

(11)當(dāng)aw0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

答案

本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基

礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.

2x4

=/(2)=-

(I)解：當(dāng)時，%2+1,5,

-、_2(/+1)-2k2x_2-2?

又"x=—(?+1)2—=(?+1)2,，⑵V

46,小

y，(x21

所以，曲線y=/(x)在點⑵，⑵)處的切線方程為525,

即6x+21y-32=0.

2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)_-2(x-a)(ax+l)

/'⑶=

(x2+l)2―+1)2.

(0)解:

由于a*0,以下分兩種情況討論.

(1)當(dāng)a>0時，令/'(x)=0,得到々-I,工2=%當(dāng)工變化時，/'(X),/(x)的變化情況如下表:

1ri)

XJ.n一，a(a,+8)

ara)

—04-0—

/㈤極小值八極大值、

)內(nèi)為增函數(shù).

所以/(x)在區(qū)間［'a4(%+8)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間〔

X=一

函數(shù)/(X)在1-a處取得極小值'

函數(shù)/CO在“-1處取得極大值/(a),且/(a)=1

___工

(2)當(dāng)a<0時，令/(x)=0,得到々一“’々-a,當(dāng)x變化時，/'(X),/(X)的變化情況如下表:

1(1)

X'產(chǎn)、a)a一,+8

S3aa)

+0—0+

/㈤極大值、極小值1

——十I?.一I

所以/CO在區(qū)間(-0°,a),Ia'J內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間I'aJ內(nèi)為減函數(shù).

函數(shù)/(x)在公=&處取得極大值/Q),且/(a)=l.

函數(shù)/CO在“—1處取得極小值且,I

第16題(2007年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(福建卷))

題目

(22)已知函數(shù)f(x)=e*—kx.

(1)若1<=€,試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若k>0,且對于任意XeR->0恒成IZ，試確定實數(shù)k的取值范圍；

x+15

(3)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x),求證：F(1)F(2)??.F(?)>(e+2),?eN*o

答案

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考

查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。

解：(I)由k=曬/(x)=e*-ex,所以/'⑶=e*-e

由r(x)>0得*>1,故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是+8),

由尸(x)<。得x<1,故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,1).

(II)由〃卜寸=/聃可知/(卜|)是偶函數(shù).

于是/(同)>°對任意X6R成立等價于/(X)>0對任意x>0成立.

由y'(X)=e'—化=0得工=ln

①當(dāng)上e(0,1］時，/'(x)=e*-上>1-上>0(x>0).

此時/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

故/(x)》/(0)=l>0,符合題意.

②當(dāng)keQ+oo)時，歷上>0.

當(dāng)r變化時/'(X)，/(力的變化情況如下表：

X(0,M切InkQn匕+8)

—0十

fM單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由此可得,ft[0,+oo)j-,/(x)>/(lnjt)=A:-ilnjt.

依題意，>0,又尢>1,：.1<分<e.

綜合①，②得，實數(shù)方的取值范圍是0<上<e.

(in)；^(x)=，(x)+/(—x)=e*+eT

x+Xi

：,qM+打+e?M+M)+/-與+e-M+$>e^+屋5+$)+2>e'+2,

:尸⑴尸㈤〉e*+】+2,

尸(2)F(%—l)>e*+i+2

F(?)F(l)>e"+1+2.

由此得，【F⑴尸⑵…F(喇尸⑴尸⑸][儀2*5-1)]…宙⑸尸0)]>(e*+】+2)*

X

故F(1)F(2)…F&)>(e"1+2)[?eN*.

第17題(2007年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(湖南卷))

題目

19.如圖4,某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點尸和居民區(qū)0的公路，點P所在的山坡面與山

,c2

sin8_

腳所在水平面cs所成的二面角為0(O'<G<90。，且5，點P到平面儀的距離PH=04(km).

a

沿山腳原有?段筆直的公路可供利用.從點0到山腳修路的造價為a萬元/km,原有公路改建費用為2萬

元/km.當(dāng)山坡上公路長度為1km(1</<2)時，其造價為H+l)a萬元.已知1AB,PB1AB,

A3=1,5(km),O4=^(km).

(i)在上求?點。，使沿折線PZMO修建公路的總造價最小;

(ID對于(I)中得到的點。，在D4上求一點使沿折線PQEO修建公路的總造價最小.

(in)在幺8上是否存在兩個不同的點77、Ef,使沿折線產(chǎn)。'下'(9修建公路的總造價小于(ID中得到的

最小總造價，證明你的結(jié)論.

圖4

答案

解：(I)如圖，PH>a,HRua，PB1AB,由三垂線定理逆定理知，AB1HB,所以/兩笈

是山坡與a所成二面角的平面角，則=0，

PB=-=\

sin0

設(shè)必=x(km),0<x<1,5,則即==J/+le[1,2).

記總造價為人(力萬元,

.1111

力(x)=(PD2+l+-AD+ACf)a=Q一±x+上+的r)a

據(jù)題設(shè)有224

x=-BD=—(km)//、

當(dāng)4,即4時，總造價力(x)最小.

(ID設(shè)月E=y(km),,‘I,總造價為力8)萬元，根據(jù)題設(shè)有

243

力。)=PD+1+7773+—々+—a

1I-”)H際-d16.

y

。)=

K,由力'(>)=得

則0,y=l

當(dāng)ye(0，D時，/；(>)<0,人8)在(0，D內(nèi)是減函數(shù);

5

當(dāng)W3時，>0,力8)在J,a

'內(nèi)是增函數(shù).

67

故當(dāng)y=L即45=1(如)時總造價為8)最小，且最小總造價為16萬元

(III)解法一：不存在這樣的點77,Ef.

事實上，在力B上任取不同的兩點Z7,Ef.為使總造價最小，顯然不能位于Z7與9之間.故可設(shè)名,位于Z7

與工之間，且3"=M(km),一々十乃一5,總造價為S萬元，則

S=|x；一■/亞+3?■9+彳卜xf—

12V24).類似于(I)、(II)的討論知，216,

也；+3-—^―Xj=—1

v22,當(dāng)且僅當(dāng)4,%=1同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時

BD'