求解數(shù)列通項(xiàng)公式常用方法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——求解數(shù)列通項(xiàng)公式常用方法求解數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問題中特別重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

一．

觀測法例例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）9，99，999，9999，（2）

,17164,1093,542,211

（3）

,52,21,32,1

（4）

,54,43,32,21

解：（1）變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，

通項(xiàng)公式為：

110nna

（2）

;122nnnan

（3）

;12nan

（4）1)1(1nnann.觀測各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。

二、定義法

例例2：

已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，a3－a1=d2－(d－2)2=2d，d=2，an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，2213)2(bb=q2，由qR，且q1，得q=－2，bn=bqn－1=4(－2)n－1

當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。

三、、

疊加法

例例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。

解

易知,121naann∵,312aa

,523aa

,734aa

,121naann

各式相加得)12(7531naan)(52Nnnan

一般地，對于型如)(1nfaann類的通項(xiàng)公式，只要)()2()1(nfff能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。

四、疊乘法例例4：

：在數(shù)列｛na｝中，1a=1,

(n+1)1na=nna，求na的表達(dá)式。

解：由(n+1)1na=nna得11nnaann，1aan=12aa23aa34aa1nnaa=nnn11433221

所以nan1

一般地，對于型如1na=f(n)na類的通項(xiàng)公式，當(dāng))()2()1(nfff的值可以求得時(shí)，宜采用此方法。

五、公式法

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和nS與na的關(guān)系，求數(shù)列na的通項(xiàng)na可用公式211nSSnSannnn求解。

例例5：已知以下兩數(shù)列}{na的前n項(xiàng)和sn的公式，求}{na的通項(xiàng)公式。

（1）13nnSn。

（2）

12nsn

解：

（1）

11111Sa

na=1nnSS=1)1()1()1(33nnnn=3232nn

此時(shí)，112Sa。na=3232nn為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）

011sa，當(dāng)2n時(shí)

12]1)1[()1(221nnnssannn

由于1a不適合于此等式。

)2(12)1(0nnnan

注意要先分n=1和2n兩種狀況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。

例例6.設(shè)數(shù)列na的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系

),4,3,2,0(3)32(31nttSttSnn求證：數(shù)列na是等比數(shù)列。

解析：由于)1(),4,3,2,0(3)32(31nttSttSnn

所以)2(),4,3,2,0(3)32(321nttSttSnn

得：

)2()1(

所以，數(shù)列na是等比數(shù)列。

六、階差法

例例7.已知數(shù)列na的前n項(xiàng)和nS與na的關(guān)系是

nnnbbaS)1(11

，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且1b。

求出用n和b表示的an的關(guān)系式。

解析：首先由公式：211nSSnSannnn得：

)2()1(1)1(1121nbbabbabbannn12221)1()1(1nnnbbabbabb133322)1()1()1(nnnbbabbabb111122)1()1()1(nnnnbbabbabb

1121113211)1()1()1(1nnnnnnnnbbbbbbbbbbbabba12)1(nnnbbbba1)1)(1(12111bbbbbbnnnn利用階差法要注意：遞推公式中某一項(xiàng)的下標(biāo)與其系數(shù)的指數(shù)的關(guān)系，即其和為n。

),2(3320)32(3),4,3,2,0(0))(32()311211NnnttaaattantSStSStnnnnnnnn（

七、待定系數(shù)法

例例8：

：設(shè)數(shù)列}{nc的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項(xiàng)公式cn

解：設(shè)1)1(nnbqdnac

132211121237242nnncabdqbqdabqdabqdaba點(diǎn)評：用待定系數(shù)法解題時(shí)，常先假定通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式為某一多項(xiàng)式，一般地，若數(shù)列}{na為等差數(shù)列：則cbnan，cnbnsn2（b、ｃ為常數(shù)），若數(shù)列}{na為等比數(shù)列，則1nnAqa，)1,0(qAqAAqsnn。

八、

輔助數(shù)列法

有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。

例例9.在數(shù)列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na。

解析：在nnnaaa313212兩邊減去1na，得)(31112nnnnaaaannaa1是以112aa為首項(xiàng)，以31為公比的等比數(shù)列，11)31(nnnaa，由累加法得na=112211)()()(aaaaaaannnn

=2)31(n3)31(n11)31(=311)31(11n=1])31(1[431n

=1)31(4347n例例10.設(shè)0a為常數(shù)，且1123nnnaa（*Nn），證明：對任意n1，02)1(]2)1(3[51aannnnn

證明：設(shè)，)3(2311nnnntata

用1123nnnaa代入可得51t

53nna是公比為2，首項(xiàng)為531a的等比數(shù)列，

10)2()5321(53nnnaa（*Nn），即：012)1(52)1(3aannnnnn型如an+1=pan+f(n)(p為常數(shù)且p0,p1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等.(1)f(n)=q(q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an+1+k=p(an+k)，得{an+k}是以a1+k為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列。

例例11：

：已知數(shù)}{na的遞推關(guān)系為121nnaa，且11a求通項(xiàng)na。

解：∵121nnaa

)1(211nnaa

令1nnab

則輔助數(shù)列}{nb是公比為2的等比數(shù)列11nnqbb即nnnqaa2)1(111

12nna

例例12：

已知數(shù)列｛na｝中11a且11nnnaaa（Nn）

，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：∵11nnnaaa

11111nnnnaaaa，

設(shè)nnab1，則11nnbb

故｛nb｝是以1111ab為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

nnbn)1(1

nbann11

例例13.設(shè)數(shù)列{}na的首項(xiàng)113(01)2342nnaaan，，，，，，．（1）求{}na的通項(xiàng)公式；

解：（1）由132342nnaan，，，，，

整理得111(1)2nnaa．

又110a，所以{1}na是首項(xiàng)為11a，公比為12的等比數(shù)列，得

1111(1)2nnaa注：一般地，對遞推關(guān)系式an+1=pan+q(p、q為常數(shù)且，p0，p1)可等價(jià)地改寫成)1(11pqappqann則{pqan1}成等比數(shù)列，實(shí)際上，這里的pq1是特征方程x=px+q的根。

(2)f(n)為等比數(shù)列，如f(n)=qn

(q為常數(shù))，兩邊同除以qn，得111nnnnqapqaq，令bn=nnqa，可轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn+q的形式。

例例14.已知數(shù)列{an}中，a1=65，an+1=31an+（21）n+1，求an的通項(xiàng)公式。

解：an+1=31an+（21）n+1

乘以2n+1

得

2n+1an+1=32(2nan)+1令bn=2nan

則bn+1=32bn+1

易得bn=3)32(341n

即

2nan=3)32(341n

an=nn2332

(3)f(n)為等差數(shù)列例例15.已知已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2n，求an的通項(xiàng)公式。

解：∵

an+1+an=3+2n，an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2

因此得，a2n+1=1+2(n-1),a2n=4+2(n-1),

an=是偶數(shù)是奇數(shù)nnnn,2,。

注：一般地，這類數(shù)列是遞推數(shù)列的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，要理解把握。

(4)f(n)為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列例例16.在數(shù)列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；解：由11(2)2()nnnnaanN，0，可得111221nnnnnnaa，

所以2nnna為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故21nnnan，所以數(shù)列na的通項(xiàng)公式為(1)2nnnan．這種方法類似于換元法,主要用于已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。

九、歸納、猜想

假使給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。

例例17.已知點(diǎn)的序列*),0,(NnxAnn，其中01x，)0(2aax，3A是線段21AA的中點(diǎn)，4A是線段32AA的中點(diǎn)，，nA是線段12nnAA的中點(diǎn)，（1）

寫出nx與21,nnxx之間的關(guān)系式（3n）。

（2）

設(shè)nnnxxa1，計(jì)算321,,aaa，由此推測na的通項(xiàng)公式，并加以證明。

（3）

略：

解析：（1）∵nA是線段32nnAA的中點(diǎn)，)3(221nxxxnnn（2）

aaxxa0121，2122322xxxxxa=axx21)(2112，3233432xxxxxa=axx41)(2123，猜想*)()21(1Nnaann，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明01

當(dāng)n=1時(shí)，aa1顯然成立；02

假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即*)()21(1Nkaakk