2022-2023學(xué)年重慶市萬州第二高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為等差數(shù)列，公差，，則（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】，，解得，，.故選：D2．已知，則在處的導(dǎo)數(shù)（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件可得出，即可得出的值.【詳解】，．故選：C3．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意整理得，構(gòu)建新函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性分析得，整理結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解．【詳解】由，則構(gòu)建函數(shù)，則∵，則當(dāng)時(shí)恒成立∴在上單調(diào)遞增，則，即∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選：C．4．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出切點(diǎn)坐標(biāo)以及切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則所求切線斜率為，且，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：C.5．已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，易得其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在上單調(diào)遞增，再分時(shí)和時(shí)兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即.因?yàn)楫?dāng)，有，即，故令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋躁P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以所以，?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以且，即無解.所以，不等式的解集是故選：A6．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用及換元法即可求得結(jié)果.【詳解】，令，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，故有最小值.故選：D.7．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，△的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將△的面積表示出來即可求出最大值.【詳解】因?yàn)橹本€直線恒過點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，圓的圓心，所以△的面積的最大值為：.故選：C.8．“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】對(duì)充分性和必要性分別取特殊值進(jìn)行否定即可.【詳解】充分性：取符合“x，y為無理數(shù)”，但是不符合“xy為無理數(shù)”，故充分性不滿足；必要性：當(dāng)“xy為無理數(shù)”時(shí)，可以取，但是不符合“x，y為無理數(shù)”，故必要性不滿足.故“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D二、多選題9．下面選項(xiàng)中，變量是變量的函數(shù)的是（

）A．表示某一天中的時(shí)刻，表示對(duì)應(yīng)的某地區(qū)的氣溫B．表示年份，表示對(duì)應(yīng)的某地區(qū)的GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)C．表示某地區(qū)的學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，表示該地區(qū)學(xué)生對(duì)應(yīng)的考試號(hào)D．表示某人的月收入，表示對(duì)應(yīng)的個(gè)稅【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷【詳解】ABD均滿足函數(shù)的定義，C選項(xiàng)，同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以對(duì)應(yīng)多個(gè)考試號(hào)，不滿足對(duì)于任意的x，都有唯一的y與其對(duì)應(yīng)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD10．已知正數(shù)，，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)，由指數(shù)運(yùn)算法則，可得A對(duì)B錯(cuò)；由兩邊取對(duì)數(shù)，可判斷C正確；由兩邊取對(duì)數(shù)，可判斷D正確.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，，滿足，由，所以，即A正確，B錯(cuò)；由兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù)，可得，即C正確；由兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù)，可得，即D正確；故選：ACD.11．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：向量，，所以，故A正確；對(duì)于B：，，所以，故B正確；對(duì)于C：，所以，故C不正確；對(duì)于D：，所以，又，所以與的夾角為，故D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù).B．函數(shù)在上單調(diào)遞增.C．若，則的最小值為.D．當(dāng)?shù)闹涤蚴?【答案】AC【分析】根據(jù)題意求出表達(dá)式，對(duì)于A選項(xiàng)：求出表達(dá)式判斷奇偶性即可；對(duì)于B選項(xiàng)：求出單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)：分析可知最小值為半個(gè)周期，即可求解；對(duì)于D選項(xiàng)：利用換元法令求出的范圍即可得到函數(shù)值域；【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，時(shí)，，，對(duì)于A選項(xiàng)：,，，為奇函數(shù)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由，得，當(dāng)時(shí)，在當(dāng)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：若，則最小值為半個(gè)周期，即，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，令則，結(jié)合正弦函數(shù)圖像知，的值域是，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題13．集合的元素個(gè)數(shù)是______．【答案】11【分析】應(yīng)用列舉法寫出所有符合集合描述的元素，即可知元素個(gè)數(shù).【詳解】時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；∴集合為共11個(gè)元素.故答案為：1114．已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），關(guān)于的方程（且）有且只有個(gè)不同的根，則能推出下列正確的是___________（請(qǐng)?zhí)顚懻_的編號(hào)）.①函數(shù)的周期②在單調(diào)遞減③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱④實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】②③④【分析】根據(jù)函數(shù)基本性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】由知，所以，周期，令，則，所以，解得，即當(dāng)時(shí)，，,所以，即，①錯(cuò)誤；所以當(dāng)時(shí)，是個(gè)減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，，，是個(gè)減函數(shù)，；可知在單調(diào)遞減，②正確；當(dāng)時(shí)，，，得，，所以在區(qū)間上，，又，得，即的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由周期性可知在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故③正確；由題意知與(且)有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，有極大值點(diǎn)，7，11，…，極小值點(diǎn)，5，9，…，極大值為2，極小值為，為減函數(shù)時(shí)不合題意，所以為增函數(shù)，由得，由題意知且，即且，所以，④正確.故答案為：②③④15．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，邊AB的中點(diǎn)為D，邊BC上有兩動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，若，則的取值范圍是______．【答案】【分析】取線段EF的中點(diǎn)P，將表示為，再求出的取值范圍即可作答.【詳解】如圖，取線段EF的中點(diǎn)P，連DP，則有，，在正中，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，，，則，此時(shí)，即，點(diǎn)E從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C移動(dòng)，線段DP長(zhǎng)逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)F與C重合時(shí)，，，則，則，，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及定長(zhǎng)的線段兩端點(diǎn)向量數(shù)量積，取線段的中點(diǎn)，借助向量數(shù)量積的計(jì)算公式求解是關(guān)鍵.16．已知O是內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，又，則的面積為______.【答案】【分析】由，可知O為的重心，則，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合三角形面積公式求解即可.【詳解】由及得，所以，所以.又，且O在內(nèi)，所以O(shè)為的重心，所以.故答案為：四、解答題17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且角A為銳角.(1)求角B；(2)若的面積為，求b的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先化簡(jiǎn)可得：，由角A為銳角，所以，即可的得解；（2）由，可得，由，代入即可得解.【詳解】（1）由可得：，由角A為銳角，所以，所以，又，所以；（2），所以，由余弦定可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，滿足角A為銳角，所以由，可得b的最小值為.18．設(shè)函數(shù).(1)若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線為，所以，所以；所以把點(diǎn)代入得：.即a，b的值為：，.（2）由（1）知：.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個(gè)方程，可解切線相關(guān)問題.19．已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）或；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解；（2）由分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，所以或；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).20．如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點(diǎn)．(1)求CE的長(zhǎng)；(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)由條件證明，解三角形求即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PAD和平面PBC的法向量，結(jié)合向量夾角公式求平面PAD和平面PBC夾角余弦值，利用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值.【詳解】（1）取PA的中點(diǎn)G，連接DG，EG，如圖所示：則，且，，所以四邊形CDGE為平行四邊形．因?yàn)?，所以為直角三角形，，在中，因?yàn)?，所以，所以所以CE的長(zhǎng)為；（2）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)A作BC的平行線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖所示，則，，以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取AD的中點(diǎn)為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，在平面PMN內(nèi)過點(diǎn)P作，垂足為F，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，由已知可得，則，設(shè)．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，為線段的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以．設(shè)平面PAD的法向量，則令，則．設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋瑒t令．則，所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面PAD和平面PBC的夾角為，則．令，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)二面角的平面角的定義確定二面角的平面角，結(jié)合所建坐標(biāo)系確定點(diǎn)的坐標(biāo).21．已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由在上單調(diào)遞增，得恒成立，討論的單調(diào)性，求的最小值大于等于恒成立，建立不等關(guān)系，求得答案.（2）利用分析法轉(zhuǎn)化需要證明的結(jié)論為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可判斷函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合重要不等式對(duì)式子進(jìn)行放縮，結(jié)論得證.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，所以恒成立，令恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，所以h（x）在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以解得.綜上，的取值范圍是.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，要證，即證，只需證，即證令，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故存在使得所以，即在時(shí)遞增，在時(shí)遞減.令，則二次函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)圖象開口向下，且，故當(dāng)時(shí)，，又∴，又，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，使得.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因?yàn)槿〉忍?hào)的條件不一致，故.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，記四邊形的內(nèi)切圓為，過橢圓上一點(diǎn)T引圓的兩條切線（切線斜率存在且不為0），分別交橢圓于點(diǎn)P、Q．(1)試探究直線TP與TQ斜率之積是否為定值，并說明理由；(2)記點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：P、O、Q三點(diǎn)共線．【答案】(1)直線TP與TQ斜率之積為定值，理由見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）先求出：，不妨取，則，利用點(diǎn)到直線距離等于半徑，得到，得到，將代入可得直線TP與TQ斜率之積為；（2）設(shè)直線，得到，直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到，同理設(shè)出直線，聯(lián)立后得到，從而，同理可得，證明出P、O、Q三點(diǎn)共線．【詳解】（1）由題意得：，直線方程為，即，原點(diǎn)到直線的距離為，故內(nèi)切圓的半徑為，由對(duì)稱性可知圓心為，所以：，不妨取，則，此時(shí)切線