2023屆河北省唐山市高三年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆河北省唐山市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解分式不等式求得集合，求函數(shù)的定義域求得集合，由此求得.【詳解】，，解得，所以.，所以，所以.故選：A2．已知函數(shù)，則其圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性及部分圖像最值判斷即可.【詳解】由函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，故函數(shù)為奇函數(shù)，因此A,B錯誤，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，函數(shù)有最大值1，所以C錯誤，故選：D.3．已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線對稱B．在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線對稱C．在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線對稱D．在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線對稱【答案】B【分析】化簡的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性確定正確答案.【詳解】，由于，所以在單調(diào)遞增，，所以不關(guān)于直線對稱.，所以關(guān)于直線對稱.故選：B4．的展開式共有七項，且常數(shù)項為20，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)展開式的項數(shù)得到，進(jìn)而由展開式通項公式得到，求出的值.【詳解】因為的展開式共有七項，故，且展開式通項公式為，令，解得：，故，解得：.故選：B5．直線與拋物線交于兩點，則（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得.【詳解】由，消去并化簡得，，設(shè)，則，所以.故選：A6．高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.小學(xué)進(jìn)行的求和運算時，他是這樣算的:，共有50組，所以，這就是著名的高斯法，又稱為倒序相加法.事實上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對稱性.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】對于A，利用函數(shù)的中心對稱性公式即可求解；對于B，利用倒序相加法求和及A選項的結(jié)論即可求解；對于C，利用B選項的結(jié)論及與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式即可求解；對于D，利用B選項的結(jié)論及裂項相消法求和即可求解.【詳解】對于A，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，令，所以，故A正確；對于B，因為所以因為，所以即，故B正確；對于C，由題可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，取時，，滿足此式，故的通項公式為.所以，而，所以.故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，因為，所以，即，故D正確.故選：C.7．已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，則該三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正三棱錐的特點及體積公式，結(jié)合三元基本不等式及正方體的體對角線為正三棱錐的外接球的直徑，然后利用球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)為底面的中心，延長交于，連接,如圖所示因為三棱錐是正三棱錐，所以平面，且是邊上的中線，設(shè)，則，在中，，所以三棱錐的體積為，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，正三棱錐體積取得最大，所以正三棱錐的側(cè)棱長為2，底面邊長為，由此可知，該正三棱錐的側(cè)面為等腰直角三角形，即側(cè)棱兩兩垂直，則該正三棱錐的外接球為棱長為2的正方體的外接球，所以該正三棱錐的外接球的直徑為正方體的體對角線，即，解得,所以外接球的表面積為.故選：C.8．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，，再利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，令，所以，因為，因為，所以，，故，所以在上單調(diào)遞減，又，所以所以，即，所以.由，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，綜上，.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造，，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可.二、多選題9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等知識確定正確答案.【詳解】A選項，，A選項正確.B選項，，B選項錯誤.C選項，，，若，則，解得，所以C選項正確.D選項，當(dāng)時，，所以D選項錯誤.故選：AC10．已知是三條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)線線、面面位置關(guān)系等知識確定正確答案.【詳解】A選項，若，則可能異面，A選項錯誤.B選項，若，則，B選項正確.C選項，若，則可能相交，C選項正確.D選項，若，則，D選項正確.故選：BD11．甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍?次由甲傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人.設(shè)第次傳球后球在甲手中的概率為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】結(jié)合全概率公式和遞推數(shù)列等知識求得正確答案.【詳解】表示第次傳球后球在甲手中的概率，所以，A選項正確.表示第次傳球后球在甲手中的概率，則，B選項錯誤.，即，C選項正確.，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以所以，，D選項錯誤.故選：AC12．已知圓，動點，直線，在上的射影為點，下列結(jié)論正確的有（

）A．若在圓上，則直線與圓相切B．若在圓內(nèi)，則直線與圓相交C．若過點，與圓相交于點，則四邊形面積的最小值為D．若在曲線上，則的軌跡所圍成區(qū)域的面積為【答案】ACD【分析】AB選項，由圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系；C選項，求出點和點到直線的距離，求出弦長，把面積表示出來，再判斷最小值；D選項，通過分類討論，得到曲線形狀，再求的軌跡，根據(jù)圖形計算面積.【詳解】圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，對于A選項，若在圓上，有，圓心到直線的距離，則直線與圓相切，A選項正確；對于B選項，若在圓內(nèi)，有，圓心到直線的距離，則直線與圓相離，B選項錯誤；對于C選項，若過點，則有，此時，，圓心到直線的距離，點到直線的距離，，弦長，，四邊形面積，當(dāng)時，有最小值，C選項正確；對于D選項，曲線等價于時，有，此時；時，有，此時；時，有，此時；時，有，此時；曲線表示的圖形為一個正方形，如圖所示，當(dāng)，時，直線過定點，由，直線傾斜角，在上的射影為點，則與直線垂直，此時點軌跡是以為直徑的右半圓，如圖所示，其余類型同理可得，所以點軌跡如圖所示，所以的軌跡所圍成區(qū)域的面積為，D選項正確；故選：ACD三、填空題13．已知是正項等比數(shù)列中的連續(xù)三項，則公比__________.【答案】【分析】根據(jù)等比中項的知識求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于是正項等比數(shù)列中的連續(xù)三項，所以且，解得（負(fù)根舍去），所以.故答案為：14．在中，分別為的中點，則__________.【答案】－4【分析】由向量的線性運算得，，然后計算數(shù)量積可得．【詳解】由已知，，．故答案為：．15．圓臺中,上、下底面的面積比為,其外接球的球心在線段上,若,則圓臺和球的體積比為__________.【答案】【分析】設(shè)上底面半徑為,面積為,下底面半徑為,面積為,,臺體的體積為,球的半徑為,球的體積為,則,,根據(jù)已知條件列出方程組,找到,,和的關(guān)系,再利用體積公式求解即可.【詳解】設(shè)上底面半徑為,面積為,下底面半徑為,面積為,,臺體的體積為,球的半徑為,球的體積為,則,,根據(jù)題意可得:,即,解得:,則,所以,,則.故答案為：16．函數(shù)，當(dāng)時，，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】當(dāng)時，，不合題意；若，當(dāng)時，可證得，，滿足題意.【詳解】，當(dāng)時，由，有.，時，；時，.，時，；時，.則當(dāng)時，不滿足.若，，設(shè)，，解得，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，∴當(dāng)時，，有，可得所以若，當(dāng)時，若，設(shè)，，解得，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以若，.綜上可得：若，當(dāng)時，恒成立.則的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3..證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.四、解答題17．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)．【分析】（1）由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到sinAcosB＝－2cosAsinB，再根據(jù)B＝，得到tanA，然后利用兩角和的正切公式求解.

（2）結(jié)合tanA＝－2tanB，由tanC＝＝，利用基本不等式求解.【詳解】（1）解：由.及正弦定理得cosA＝－，即cosAsinB＝－sinC，由sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，代入整理得sinAcosB＝－2cosAsinB，又B＝，則tanA＝－2tanB＝－2，所以tanC＝－tan（A＋B）＝＝．（2）由知，A為鈍角，B為銳角，即tanB＞0．由（1）知tanA＝－2tanB，所以tanC＝－tan（A＋B）＝＝＝，≤＝．

當(dāng)且僅當(dāng)2tan2B＝1，即tanB＝時，等號成立．所以tanC的最大值為．18．已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若集合，且，求中所有元素之和.【答案】(1)(2)242【分析】（1）結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識求得的通項公式.（2）根據(jù)已知條件列不等式，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式求得正確答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，解得，.所以.（2）設(shè)，即，即，因為，所以，即，由于，所以，解得，，所以中所有元素之和為.19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接、，證明出平面，可得出，利用勾股定理逆定理可證得，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接、．因為四邊形為菱形，則，，則為等邊三角形，為的中點，則，，，、平面，平面，平面，，設(shè)，則，，又因為，，，則，，、平面，平面，平面，所以，平面平面.（2）解：因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.20．為試驗一種新藥，某醫(yī)院把該藥分發(fā)給位患有相關(guān)疾病的志愿者服用.試驗方案為:若這位患者中至少有人治愈，則認(rèn)為這種新藥有效;否則認(rèn)為這種新藥無效.假設(shè)新藥有效，治愈率為.(1)用表示這位志愿者中治愈的人數(shù)，求的期望;(2)若位志愿者中治愈的人數(shù)恰好為，從人中隨機選取人，求人全部治愈的概率;(3)求經(jīng)試驗認(rèn)定該藥無效的概率（保留4位小數(shù)）;根據(jù)值的大小解釋試驗方案是否合理.（依據(jù):當(dāng)值小于時，可以認(rèn)為試驗方案合理，否則認(rèn)為不合理.）附:記，參考數(shù)據(jù)如下:345678910【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）利用二項分布的期望公式即可求解；（2）利用組合數(shù)及古典概型的計算公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件及參考數(shù)據(jù)，得出隨機變量的取值范圍并求出相應(yīng)的概率，然后進(jìn)行比較即可求解.【詳解】（1）將位患者服用新藥視為重伯努利試驗，在每次實驗中，每位患者治愈的概率為，且每位患者是否治愈相互獨立，則，故．（2）設(shè)“任選位志愿者全部治愈”，則．（3）設(shè)“經(jīng)過試驗該藥被認(rèn)定無效”，事件發(fā)生等價于，則.所以值小于，可以認(rèn)為試驗方案合理．21．已知橢圓的離心率為，點在上，不經(jīng)過點的直線與交于不同的兩點.(1)求的方程;(2)若直線與直線的斜率之和為0，求的值及的取值范圍.【答案】(1)(2)；的取值范圍為．【分析】（1）利用橢圓的離心率公式及點在橢圓上，結(jié)合橢圓中三者的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及已知條件，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線與橢圓相交的條件及韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，則由得，因為直線與橢圓相交，所以，所以，，

所以，

由于，于是，所以，所以．由，解得．因為直線不經(jīng)過點，所以．所以的取值范圍為．22．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若，證明:函數(shù)有兩個零點，且.【答案】(1)極小值為；沒有極大值(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的極值.（2）先求得，的大致范圍，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得.【詳解】（1