三角形的五心一次看個(gè)夠

三角形的五心一次看個(gè)夠三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的“五心”，在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在這里一、三角形外心的性質(zhì)外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，則有AOABC心．設(shè)⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，Op=(a+b+c)/2．BC1：(1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；(2)直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；(3)鈍角三角形的外心在三角形外.2：∠BGC=2∠A，(或∠BGC=2(180°-∠A).3：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是：GABCPABCG是⊿ABC外心的充要條件是：PG=((tanB+tanC)PA+(tanC+tanA)PB+(tanA+tanB)PC)/2(tanA+tanB+tanC).或PG=(cosA/2sinBsinC)PA+(cosB/2sinCsinA)PB+(cosC/2sinAsinB)PC.5：R=abc/4S⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。給定A(x,y),B(x,y),C(x,y)求外接圓心坐標(biāo)O(x，y)112233，列出以下方程：(xx)2(yy)2=(xx)2(yy)21122(xx)2(yy)2=(xx)2(yy)232221212211xxxyyyxyxy22323223312112112211xyxy22322322233即即11Ax+By=C;222③.最后根據(jù)克拉默法則：CBCBACACx=1221,y=1221ABABABAB221BOCCOAAOBBOCnrEOFAOCmrDOFAOBmnDOEBOCCOAAOB二、三角形的內(nèi)心心定理的證明：如圖，設(shè)∠A、∠C的平分線相交于I、過(guò)I作ID⊥BC，IE⊥AC，IFA⊥AB則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三AM內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．上述定理的證法完全適用于旁心定理，MFEKI設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為☉O(半徑r)，角A、B、CEKIBDHBDH2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r。BSOACSOBCcrbrarrp5、∠BOC=90°+∠A/2。AP2AP2PG2=7.在三角形112233證明：由正弦定理得inCdRsinBRsinC∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.CADBAD∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三、三角形的重心AA4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即EFEGBCDGBCD5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。39ABC中，過(guò)重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP+AC/AQ=3為P，則P均在以重心G為圓心，r=為半徑的圓周上ii18四、三角形的垂心證明垂心定理分析我們可以利用構(gòu)造外心來(lái)進(jìn)行證明。A'C'、A'B'的中垂線，由外心定理，它們交于一FBA'AECD1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；4、△ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且一—垂心組)。7、在非直角三角形中，過(guò)H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則BCO=∠HCA。10、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短(施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時(shí)期由海倫發(fā)11、西姆松定理(西姆松線)：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。必有平行四邊形)三角形ABC的垂心為H，則AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R(可引入有向距，推廣到任意三角形)16、等邊三角形的垂心把三角形的高分成2:1兩段，靠近頂點(diǎn)的那段長(zhǎng)度為高的三分17、垂心的重心坐標(biāo)反而比外心簡(jiǎn)單一點(diǎn)。先計(jì)算下列臨時(shí)變量(與外心一樣)：ddd另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。112233分別做高線:AH⊥BC;BH⊥AC; 123213解得:ym=211322133131122233122331211332132132122331xyy+xyy+xyy一xyy一xyy一xyy+x2x+x2x+x2x一x2x一x2x一x2xn=112223331113221332122331211332122331132132五、三角形的旁心與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2：旁心到三角形三邊的距離3：三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜邊上的旁切半徑等于三角形周長(zhǎng)的一半。I3KAI2FEIDNCDNMI1123AD,BE,CF分別是三條內(nèi)角平分線，AI交三角形外接圓于M，II交外接圓于K，AI232A2222ABBDBNACDCNC123AIIM=1；(稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)比定理)．IDMD1ABC221227：旁心與內(nèi)心的關(guān)系如圖，I為△ABC的內(nèi)心，I,I,I是△ABC的三個(gè)旁心。注意：II,II,II的中ABCABC121又因?yàn)镮、C、I、B四點(diǎn)共圓，故三BIC=(幾三BAC)AA21B21三AIB=(幾三ACB)這便是旁心張角公式C28：旁心于半周長(zhǎng)(p)形影不離AAA9：旁心與三角形三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三組三點(diǎn)共線ABC旁心，由于AI,AI是對(duì)頂角的平分線亦BC為反向延長(zhǎng)線，故I,A,I三點(diǎn)共線。BC向量與面積關(guān)系BOCCOAAOB111BOCnrEOFAOCmrDOFAOBmnDOEBOCCOAAOB說(shuō)明:此結(jié)論說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)O在ABC內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)O把ABC所分成的三個(gè)小三角形的面積之比等于從此點(diǎn)出發(fā)分別指向與三個(gè)小三角形相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的三個(gè)向量所組成的線性關(guān)之比。BOCCOAAOBABCOBC當(dāng)把這些點(diǎn)特定為三角形的“四心”時(shí)，我們就能得到有關(guān)三角形“四心”的一組統(tǒng)把編ABC的面積三等分.分析：內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，且易證S：S：S=a:b:c△BOC△COA△AOB分析：易證S：S：S=sin2A：sin2B：sin2C.△BOC△COA△AOB證明：∵對(duì)任意編ABC有OH=OA+OB+OC，其中O為外心，H為垂心，(y+z=sin2A(x=sin2B+sin2C-sin2A所以可得：應(yīng)用舉例：1515315sin2A=-,sin2B=,sin2C=，73分析：由結(jié)論4可得：323232通過(guò)這樣的思考、探究，不僅得到了與三角形的“四心”相關(guān)的有用結(jié)論，更為重要(psinb(p=xqcosa+yrcosb|x=qsin(a+b)必要性得證．同時(shí)還可得到以下結(jié)論1OABCBOC編AOC編AOB3編ABCAAFOCOC