高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識點(diǎn)祥解

08年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識點(diǎn)祥解

廣州中大附屬雅寶學(xué)校劉繼虎2008年12月

一、集合：

一、理解集合中的有關(guān)概念

(1)集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性。

(2)集合與元素的關(guān)系用符號巨，發(fā)表示。

(3)常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集:正整數(shù)集、；整數(shù)集:有理數(shù)集、實(shí)數(shù)

集o

(4)集合的表示法：列舉法，描述法，韋恩圖。

注意：區(qū)分集合中元素的形式：如：A={x\y=x2+2x+\]；B={y\y=x2+2x+\\；

C={(x,y)\y=x2+2x+l}：

(5)空集是指不含任何元素的集合。({0}、。和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系)

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：條件為AqB,在討論的時候不要遺忘了A=</>的情況。

如：A={x\ax2-2x-l=0},如果40火+=。，求a的取值。

二、集合間的關(guān)系及其運(yùn)算

(1)符號“e,e”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體兒何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線(面)的關(guān)系；

符號“u,<Z”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體兒何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。

⑵Ar\B={}：A(JB={}：CVA={

(3)對于任意集合48,貝IJ:

①HUB_BU4；/PIB_8n/；AHB_4UB；

②/n§=/=；/uB=/0；

CuA\jB—U=：Cv/fl8=°o；

③c°zncL：B=；=Cu(1n8)；

④/n8=/=/U8=8=AJBOCUBJCUAO^nCLB=0?(Q^)U5=7?

三、集合中元素的個數(shù)的計算：

(1)若集合Z中有〃個元素，則集合/的所有不同的子集個數(shù)為——所有真子集的個數(shù)是

所有非空真子集的個數(shù)是.

(2)/1J8中元素的個數(shù)的計算公式為:Card(A\3B)=；

四.集合運(yùn)算的分析方法——

(1)列舉法(用于離散集合，如當(dāng)xeZ,xeN時)

(2)文氏圖法(用于抽象集合或離散集合)

(3)數(shù)軸分析法(用于數(shù)集)

二、函數(shù)

一、映射與函數(shù)：

(1)映射的概念：(2)函數(shù)的概念：(3)函數(shù)的表示方法：列表法，圖象法，解析法。

如：若Z={1,2,3,4},B={a,b,c}；問：4到B的映射有個，B到A的映射有個；A

到3的函數(shù)有個，.

函數(shù)y=0(x)的圖象與直線x-a交點(diǎn)的個數(shù)為個。

二、函數(shù)的三要素：,,°

相同函數(shù)的判斷方法:①：②(兩點(diǎn)必須同時具備)

(1)函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊義②換元法:③待定系數(shù)法:④賦值法:

(2)函數(shù)定義域的求法：

?V=Z?,則；②y=20/(x)(〃eN**iJ；

g(x)

③y=[/(x)『，則---------------：④如：y=log/.g(x),則------------：

⑤對于實(shí)際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來確定。如：已知扇

形的周長為20,半徑為F,扇形面積為S,則s=/(r)=：定義域為.

(3)函數(shù)值域的求法：

①直接法.

②配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：/(》)=依2+bx+C,X

的形式；

③逆求法(反求法):通過反解，用N來表示X，再由X的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；常用

…,,ax+b,、

來解，型如：y--------,xe；

cx+d

④換元法:通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化以思想；

⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；

k

⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如：y=x+—(左>0),利用平均值不等式公式來求值域；

x

⑦單調(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的兒何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

⑨分離變量法：

無論用什么方法求都必須考慮函數(shù)的定義域。

(x+l)2.(x<l)

(4)分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用：設(shè)函數(shù)/(X)=《_____則使得/(X)=l的自變量X的取值是_

4-Vx^l.(xNl)

三、函數(shù)的性質(zhì)：

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。)單調(diào)性定義的變式：設(shè)X?刀2那么

(.v,-x2)[/(x,)-/(x2)]>0O/(4-/(?)>0。/(x)在[a,句上是增函數(shù)；

X]一馬

(x,-x2)[/(x,)-/(x2)]<0=也).二絲]<0o/(X)在口㈤上是減函數(shù).

判定方法有：定義法(作差比較和作商比較)，復(fù)合函數(shù)法(同增減異)和圖像法。

應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性:定義:注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，比較f(x)與f(-x)的關(guān)系。f(x)-f(-x)=o=f(x)=f(-x)Of(x)

為偶函數(shù)；f(x)+f(-x)=0U>,Of(x)為奇函數(shù)。

奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這

個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)。

奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

判別方法：定義法，圖像法，復(fù)合函數(shù)法

應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。f(x)=f(-x)=/(|x|),f(x)=-f(-x),/(0)=0

周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。

其他:若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x—a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.

應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。

四、反函數(shù)：

(1)定義：

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件:；

(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：；

(4)求反函數(shù)的步驟:①將夕=/(X)看成關(guān)于X的方程,解出X=/7(y),若有兩解,要注意解的選擇；

②將互換，得y=/T(x)；③寫出反函數(shù)的定義域(即y=/(x)的值域)。

(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：；.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)

系：/⑷=6=尸9)=。.

(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它?定不存在反函數(shù)。

五.常用的初等函數(shù)：

(1)一元一次函數(shù)：y=ax+b(a^0),當(dāng)“〉0時，是增函數(shù)；當(dāng)。<0時，是減函數(shù)；

(2)■-元二次函數(shù)：

一般式：y-ax2+hx+c(a0)；對稱軸方程是；頂點(diǎn)為；

兩點(diǎn)式：y=a{x-xx)(x-x2)；對稱軸方程是:與x軸的交點(diǎn)為；與y軸的交點(diǎn)為

頂點(diǎn)式：y——k)"+h；對稱軸方程是；頂點(diǎn)為:

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

當(dāng)4〉0時：為增函數(shù)；—為減函數(shù)；當(dāng)。<0時1為增函數(shù)；為減函數(shù)；

②二次函數(shù)求最值問題:首先要采用配方法，化為y^a(x-k)2+h的形式，

I、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則

a>0時：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

a<0時：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得：

II、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則

。>0時：最小值在距離對稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

a<0時：最大值在距離對稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

有三個類型題型：

(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如：y-x2+x+\,xG[-1,1]

(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。

(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù).y=x2+x+\,xe[a,a+l]

③二次方程/(x尸/+及+<尸0(a>0)的實(shí)根分布及條件.

⑴方程,危)=0的兩根中一根比r大，另一根比「小=/(r)<0;

\-b2-4ac>0,

b

(2)二次方程40=0的兩根都大于rO<~—>r,

2a

/(r)>0

\-b2-4ac>0,

b

"一丁<4，

(3)二次方程;(x)=0在區(qū)間(p,g)內(nèi)有兩根=<2a

/(4)〉0,

J(P)>o；

(4)二次方程/(x)=0在區(qū)間S，g)內(nèi)只有一根0/S)?/⑷<0,或/。)=0(檢驗)或加)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)

內(nèi)成立.

。?/(p)<o

(5)方程加)=0兩根的一根大于p,另一根小于,

,a/(9)>0

注意：若在閉區(qū)間[加,〃]討論方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間(〃?,〃)上實(shí)根分布的情況,

得出結(jié)果，在令X=〃和X=“2檢查端點(diǎn)的情況。

(3)反比例函數(shù)：y=@(x工0)=>y=aH--—(a,bxo,)

xx-h

分?jǐn)?shù)指數(shù)累

(1)。7=叱(.根式的性質(zhì)

(1)(標(biāo))"=Q.(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時，\[a^=a：當(dāng)〃為偶數(shù)時，47=|4|=<"'"一°

有理指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+s[a>0,r,5GQ)；⑵(o')'>0,r,sw0)；

(3)(ab/=abr(a>0,/)>0,rG0

指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

log”N=boab=N(a>G,a手1,N>0)

對數(shù)的換底公式

logN=嚏加N(。>0,且。wl,加>0,且mwl,N>0).

log,"a

n

推論log,,,b"=—log”6(。>0,且。>1,且加wl,N>Q).

對數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWLM>0,N>0,則

n

(DlogJMM)=log.M+log.N;(2)log”—=logaM-logaN；⑶log”M=nloguM(nGR).

,且〃>1)；(2)?"(a>0,且〃>1)

a"

(4)指數(shù)函數(shù):y=ax(a>0,a*1)

指數(shù)函數(shù)：y=4Zr(a>o,aKl),圖象恒過點(diǎn)(0,1),單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>l和

0<a〈l兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。

(5)對數(shù)函數(shù):y-log?x(a>0,<7#1)

對數(shù)函數(shù)：y=loguX(a>o,aXl)圖象恒過點(diǎn)(1,0),單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>l

和0〈a〈l兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。

注意：①y=與y=log“x的圖象關(guān)系是；

②比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或

對數(shù)，還要注意與1比較或與0比較。

騫函數(shù)。所有的塞函數(shù)在都\尸

(5)y=xa(a0)(I)(0,+8)2--IW/9/

有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；(IDa>0時，幕函數(shù)的圖象通\x2--\，心/二:

過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).特別地，當(dāng)時，嘉\~X1…一招紇不X?

函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<a<1時，括函數(shù)的圖象上凸；\、:"

(III)a<0時，鼎函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).在第一—~?~~?：一

象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在丁軸右方無限地逼近y軸—//--

正半軸，當(dāng)x趨于+8時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.'///.L-

(6)函數(shù)的零點(diǎn)：/\..

①概念：方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸/［\,2._

有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。/

②判斷：如果函數(shù)夕=/(x)在區(qū)間［a)］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(。)/(力)<0,那么函

數(shù)歹=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點(diǎn)。既存在CG(a,6),使得/(c)=0,這個c也就是方程的根。

如果函數(shù)歹=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點(diǎn)，并不意味就一定有/(。)/(6)<0。

③.二次函數(shù)y=ax2+^c+c(aHO)的零點(diǎn)個數(shù)：l)△>o,方程ax?+bx+c=0有兩不等實(shí)根，二

次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個零點(diǎn)：

2)A=o,方程辦2++c=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與X軸有?個交點(diǎn)，二次函

數(shù)有一-個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);

3)A<o,方程ax?+bx+c=O無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)。

三.立體幾何

1.柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)柱

棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由

這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)

面：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓

柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面

的母線。

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；

(2)錐

棱錐：一般的有?個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱

錐：這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱

錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……

圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐;

旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。

(3)臺

桂臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做

棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。

圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做

圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。

(4)球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球

的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

(5)組合體

由柱、錐、臺、球等兒何體組成的復(fù)雜的兒何體叫組合體。

2.空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個兒何體，畫出的空間兒何體的圖形。

具體包括：

(1)正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的高度和長度：

(2)側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的高度和寬度；

(3)俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖：

它能反映物體的長度和寬度；

3.空間幾何體的直觀圖

(1)斜二測畫法

①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX,0Y,建立直角坐標(biāo)系；

②畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的03,0’丫，使△￥。7'=45°（或135°）,它們確

定的平面表示水平平面；

③畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X.軸，且長度保持不變；在已知圖形

平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y,軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。

（2）平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。

4.多面體的面積和體枳公式

名稱側(cè)面積（SQ全面積（S全）體積（V）

棱棱柱直截面周長XIS底?h二S五極面?h

S?+2Stt

柱直棱柱chS底?h

極錐各側(cè)面積之和

棱1

Sw+S成-S就?h

錐正極錐_ch，3

2

楂臺各側(cè)面面積之和1

—h（S卜底+S卜底

棱3

臺1S則+St?+S卜帳

正棱臺一(c+cf)h'

+Js下底,S下底）

2

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h'表示斜高，1表示側(cè)棱長。

5.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

名稱圓柱圓錐圓臺球

SM2Hrlnrl%(ri+r2)l

22

S全2nr(1+r)nr(l+r)n(ri+r2)l+n(ri+r%)4nR

1z■

22Z2

Vnrh(B[Jnrl)—nr'h—nh(ri+rir2+r2)

333

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，以分別表示圓臺上、下底面半徑，R表

示半徑。

平面概述

（1）平面的兩個特征：①無限延展②平的（沒有厚度）

（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面

（3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母a、/、？等表示，如平面a、平面夕：用表示平行四邊形的兩

個相對頂點(diǎn)的字母表示，如平面AC。

6.四公理三推論：

公理1：若?條直線上有兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)：

Ae/,Be/,Aea,Bea=>/ua

公理2：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是?條過這個公

共點(diǎn)的直線。

公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。

推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面。

推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。

推論三：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有個平面。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行；

7.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)。

8.空間線線，線面，面面的位置關(guān)系：

1)平行：

(1)空間兩條直線的位置關(guān)系：

相交直線——有且僅有一個公共點(diǎn)；

平行直線一在同?平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線一不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也稱為共面直線。

異面直線的畫法常用的有下列三種：

(2)平行直線：

在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。即公理4：平行于同

一條直線的兩條直線互相平行。

(3)異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線。推理模

式：與0是異面直線。

(4).直線和平面的位苴關(guān)系

(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點(diǎn))；

(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點(diǎn))；

(3)直線和平面平行(沒有公共點(diǎn))一用兩分法進(jìn)行兩次分類。

它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為aua,aV\a-A,alia.

線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面

平行。推理模式：a<za,bua,aHb=aHa.

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交

線平行。推理模式：

a//a,aa/3,ar\fi=b=>a//b.

a

b

a

（5）.兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點(diǎn)）

（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

au。

定理的模式：bup

a(yb=P0aHe

alla

b1/a

推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。

推論模式：aC\b=P,aua,bua,a，C\b,=P',a'u°,b'u（3,alla\hllb'=aH0

（2）兩個平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么其中?個平面內(nèi)的直線平行于另?個平面；（2）如

果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

2）垂直：

1.線線垂宜

判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼

它也和這條斜線的射影垂直。

POLa.O

推理模式：PA=A>=>a1.AOo

aua.aJ_AP

注意：⑴三垂線指PA,PO,AO都垂直□內(nèi)的直線a?其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條

直線垂直的判定和性質(zhì)定理?⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。

2.線面垂直

定義：如果?條直線/和一個平面a相交，并且和平面a內(nèi)的任意?條直線都垂直，我們就說直線/和平面

a互相垂直?其中直線/叫做平面的垂線，平面a叫做直線I的垂面，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線/與平面a

垂直記作:7±ao

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直

線垂直于這個平面。

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。

3.面面垂直

兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。

兩平面垂直的判定定理：（線面垂直=>面面垂直）

如果?個平面經(jīng)過另個平面的?條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直n線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交

線的直線垂直于另一個平面。

垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：

1.平行轉(zhuǎn)化：線線平行=線面平行=面面平行:

z垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直=線面垂直=面面垂直;

8.空間的夾角和距離：

1.距離

空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面

距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離.因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理

解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重

要的。

求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個點(diǎn)

到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。

(1)兩條異面直線的距離

兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條

異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。

(2)點(diǎn)到平面的距離

平面外一點(diǎn)P在該平面上的射影為P',則線段PP'的長度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：一找二證三求”,

三步都必須要清楚地寫出來。?等體積法。

(3)直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平

面的距離：

(4)平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的尺度，叫做兩個平行平面的距離。

求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為

點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段：②證明它符合定義；③歸到

解某個三角形.若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，

如果兩條異面直線a、6所成的角為，它們的公垂線4r的長度為"，在a上有線段，E=m,b上有

線段力尸=n,那么EF=+田+/土？〃〃小。(“土”符號由實(shí)際情況選定)

2.夾角

空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范

圍，其范圍依次為(0°,90°］、［0°,90°］^［0°,180°］.

(1)兩條異面直線所成的角

求法：合先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求

7T

得；②通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是(0,'］，向量所成的角

范圍是［0,乃］,如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。

(2)直線和平面所成的角

求法：”一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，

根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。

(3)二面角的度量是通過其平面角來實(shí)現(xiàn)的

解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作

法有；(I)定義法；(II)利用三垂線定理或逆定理；(HI)自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截：面角得兩條射線所

S'

成的角，俗稱垂面法.此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之，cos=——，其中S為斜

S

面面積，s'為射影面積，為斜面與射影面所成的二面角。

總之，對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角。并把它置于一個平面圖形，而

且是一個三角形的內(nèi)角來解決。

求距離的關(guān)鍵是化歸。各種具體方法如下：

（1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形。

（2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的

輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法。

8.常用定理：（學(xué)生自己看上面的整理）

（1）線線平行：（2）線面平行：：（3）面面平行：（4）線線垂直：（5）線面垂直：（6）面面垂直：判定與性質(zhì)

四.解析幾何：

I.傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為[0,乃）。

2.斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是90°時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tana；當(dāng)直線的傾斜角等于90°

時，直線的斜率不存在。過兩點(diǎn)PG1M），P2（X2U2）（X|W》2）的直線的斜率公式:k=sny,（若工1=M，則直線

a-———

Qi

P1P2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°）。

3.直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各

種形式的直線方程的適用范圍。

名稱方程說明適用條件

k-----斜率傾斜角為90。的直線不能用

斜截式y(tǒng)=kx+b

b---縱截距此式

Go，Vo）------直線上傾斜角為90°的直線不能用

點(diǎn)斜式片Yo=k(x?xo)

已知點(diǎn)，k—斜率此式

y-y,%-%1（xpy）（x以）是直線上兩與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能

兩點(diǎn)式｝f2f

歹2f/一項個已知點(diǎn)用此式

Xya—直線的橫截距過（0,0）及與兩坐標(biāo)軸平行

截距式—=1

ahh——直線的縱截距的直線不能用此式

ACC

----,-----,-----分別為

一般式Ax+By^rC=^BAB

4、8不能同時為零

斜率、橫截距和縱截距

直線的點(diǎn)斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x軸）的直線；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的

直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線。

4.兩直線的位置關(guān)系：

（1）若L，b均存在斜率且不重合：

①1|〃12=k[=k2；②k|k2=—le

（2）若/[：4x+8]V+G=o,I]:+臺2^+。2=0

若小、4、B]、&都不為零。

ARC

/2B]C2

AR

③h與k相交o

A2B2

④h與12重合o4=2=J;

“2B]C2

注意：若4或B?中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與R0的情況。兩條直線的交點(diǎn):兩條直線的交點(diǎn)的個數(shù)取

決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。

5.距離公式：

⑴兩點(diǎn)間距離：若A(X|,y)B(X2，y2)，則|/同=[g-西.+(必

特別地：AB〃x軸,M|AB|=|%]-x21,AB〃y軸,則|AB|=|yx-y2\<>

(2)平行線間距離：若4:4c+故+G=04:〃x+加+。2=°，貝小

|C,-C2|

d='=.注意點(diǎn)：x,y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。

VA2+B2

IAx+By+Cl

(3)點(diǎn)到直線的距離：P(x0,y。)，1:Ax+By+C=0,則P到1的距離為：d=^~~/?

VA2+B2

6.圓的方程

圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—a)2+(y—6)2=尸2代〉0)。特殊地，當(dāng)a=b=G

時，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：x2+y2=r2o

DEYID2+E2-4F

圓的一般方程x+y~+Dx+Ey+F=0,圓心為點(diǎn)(——,——),半徑r=--------------------,

其中2

Z)2+E-4F>0?

二元二次方程+的+02+￡)x+Ey+F'=o,表示圓的方程的充要條件是：①、Xz項y2項

的系數(shù)相同且不為0,即/=。N0；②、沒有孫項，即8=0；③、D2+E2-4AF>0?

7.直線和圓的位置關(guān)系：

直線4c+圾+C=0與圓(x—a)2+(y-b)2=r~的位置關(guān)系有三種

\Aa+Bb+C\上一

(1)若d=-~廠」,d>r=相離=△<0；

J4+爐

(2)d=r=相切=△=()：

(3)d<r=相交。A>0。

Ax+By+C-0

還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組《，，求解，通過解的個數(shù)來判斷：

x2+y2+Dx+Ey+F=0

（1）當(dāng)方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點(diǎn)），直線與圓相交；

（2）當(dāng)方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點(diǎn)），直線與圓相切；

（3）當(dāng)方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點(diǎn)），直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為A,圓心C到直線1的距離為d,則直線與

圓的位置關(guān)系滿足以卜一關(guān)系：

相切=d=r=A=0；

相交u>d<rOA>o；

相離Od>r<=>A<0o

8.兩圓位置關(guān)系的判定方法：

設(shè)兩圓圓心分別為01,02,半徑分別為r-=

d〉八+々<=>外離<=>4條公切線；

d=八+々=外切03條公切線；

|r（-r2|<J<r,+r2<=>相交o2條公切線；

"=h-々Io內(nèi)切o1條公切線；

0<d<h-々I=內(nèi)含<=>無公切線；

判斷兩個圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解決。

五.算法初步與統(tǒng)計:

1.程序框圖

(1)程序框圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示

算法的圖形；

(2)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

表示?個算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框

起止框

圖不可缺少的。

表示?個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中

輸入、輸出框

任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算。算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式

處理框等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

判斷某?條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明

判斷框“是”或“Y”；不成立時在出口處標(biāo)明則標(biāo)明“否”

O或"N"。

流程線算法進(jìn)行的前進(jìn)方向以及先后順序

V

一

>循環(huán)框用來表達(dá)算法中重復(fù)操作以及運(yùn)算

0連結(jié)點(diǎn)連接另一頁或另?部分的框圖

—注釋框幫助編者或閱讀者理解框圖

(3)程序框圖的構(gòu)成

?個程序框圖包括以下兒部分：實(shí)現(xiàn)不同算法功能的相對應(yīng)的程序框；帶箭頭的流程線；程序框內(nèi)必要的說

明文字。

2.算法的三種基本結(jié)構(gòu)：

(1)順序結(jié)構(gòu)

順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的。它是由若干個依

次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何?個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

V

.T*r.

不思

見示意圖和實(shí)例：

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而卜,地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意

圖中，4框和8框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完力框指定的操作后，才能接著執(zhí)行8框所指定的操作。

（2）條件結(jié)構(gòu)

如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個條件結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中含有一個判斷柩，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件P是否成

立，選擇不同的執(zhí)行框（A框、B框）。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行4框或B框之一，不可能既執(zhí)行《框又

執(zhí)行8框，也不可能4框、8框都不執(zhí)行。/框或8框中可以有個是空的，即不執(zhí)行任何操作。

見示意圖

（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)

在一些算法中要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。即從算法某處開始，按照一定條件重復(fù)執(zhí)行某一

處理過程。重復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。

循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)。

①當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如左下圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行X框，/（框執(zhí)行完畢后，返回來

再判斷條件尸是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行4框，如此反復(fù)執(zhí)行4框，直到某一次返回來判斷條件P

不成立時為止，此時不再執(zhí)行《框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。

②直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復(fù)執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，

如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行/框，再判斷條件P是否成立。以次重復(fù)操作，直到某?次給定的判斷條

件P時成立為止，此時不再返回來執(zhí)行/框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。

見示意圖

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)