概率論第七章參數(shù)估計(jì)2區(qū)間估計(jì)課件

第三節(jié)區(qū)間估計(jì)譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問(wèn)題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作，這里是一個(gè)很小的正數(shù).一.置信區(qū)間與置信度區(qū)間估計(jì)要求根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的范圍，并保證真參數(shù)以指定的較大概率屬于這個(gè)范圍。定義：設(shè)總體含一待估參數(shù)對(duì)于樣本找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量使得：稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間；給出該區(qū)間含真值的可靠度?？赡苄浴１硎驹搮^(qū)間不包含真值的區(qū)間⑶由解出等價(jià)的不等式是θ的置信度為的置信區(qū)間。⑵對(duì)于給定的置信水平，找a,b使得二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)為總體的一個(gè)樣本設(shè)已知方差且是的一個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)，置信度下，來(lái)確定的置信區(qū)間⑴已知方差，估計(jì)均值μ又對(duì)于給定的置信度查正態(tài)分布表，找出臨界值使得：由此可找出無(wú)窮多組通常我們?nèi)?duì)稱使：且區(qū)間由上點(diǎn)的定義式,所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為簡(jiǎn)記為例

若取查表得值算得樣本均值的觀察值則得到一個(gè)置信度為0.95的μ的置信區(qū)間，若由一個(gè)樣本注：

μ的置信水平1－α的置信區(qū)間不唯一。

上例中同樣給定,可以取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上α分位點(diǎn)-Z0.04和Z0.01，則也有則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為但對(duì)稱時(shí)的區(qū)間長(zhǎng)度最短。194頁(yè)例1：已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5~6歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：115,120131,115,109,115,115,105,110cm;假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差置信度為95%;試求總體均值的置信區(qū)間解：已知由樣本值算得：查正態(tài)分布表得由此得置信區(qū)間：例3：設(shè)總體問(wèn)需要抽取容量為多大的樣本,才能使的置信水平為0.95的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于0.49?解:設(shè)需要抽取容量為的樣本,其樣本均值為查表得于是的置信水平為0.95的置信區(qū)間為該區(qū)間長(zhǎng)度要使只要即?、品讲钗粗?，估計(jì)均值μ所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為簡(jiǎn)記為例4：用儀器測(cè)量溫度,重復(fù)測(cè)量7次,測(cè)得溫度分別為:115,120,131,115,109,115,115cm;設(shè)溫度在置信度為95%時(shí),試求溫度的真值所在范圍。解：設(shè)是溫度的真值，是測(cè)量值已知由樣本值算得：得區(qū)間：查表查表得由于總體方差未知,因此的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:即:由3）方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)為總體的一個(gè)樣本是的無(wú)偏估計(jì)并且樣本函數(shù)：由于分布無(wú)對(duì)稱性即：由分布表的構(gòu)造置信區(qū)間：即例6：在某班級(jí)中,隨機(jī)抽取25名同學(xué)測(cè)量其身高,算得平均身高為170cm,標(biāo)準(zhǔn)差為12cm.假設(shè)所測(cè)身高近似服從正態(tài)分布,求該班學(xué)生平均身高和身高標(biāo)準(zhǔn)差的0.95置信區(qū)間。解：設(shè)身高由題設(shè)得(1)的0.95置信區(qū)間為(2)即:的0.95置信區(qū)間為即:的0.95置信區(qū)間為所以設(shè)某機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度16個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度（單位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度為95%時(shí)，試求總體方差的置信區(qū)間例7：今抽查解:已知查得查得由此得置信區(qū)間:所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為⑵未知所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為作業(yè)210頁(yè)14、15、1819、20分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)若總體X的分布律其中為未知參數(shù)，則設(shè)為總體的一個(gè)大樣本由中心極限定理（近似）整理從中解得的范圍上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了.這時(shí)，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.五、單側(cè)置信區(qū)間于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信下限.又若統(tǒng)計(jì)量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信上限.設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.例8從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，解：的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值選取統(tǒng)計(jì)量為對(duì)給定的置信水平

，確定分位數(shù)使即于是得到的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間為

將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為的單側(cè)置信下限為即例9為估計(jì)制造某種產(chǎn)品所需要的單件平均工時(shí)（單位：小時(shí)），現(xiàn)制造5件，記錄每件所需工時(shí)如下10.511.011.212.512.8假設(shè)制造單位產(chǎn)品所需工時(shí)試求平均工時(shí)的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限.解由于,其中未知