小學數(shù)學應用題大全

PAGE74文檔來源互聯(lián)網(wǎng)整理，僅供參考小學數(shù)學應用題大全小學數(shù)學中把含有數(shù)量關(guān)系的實際問題用語言或文字敘述出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應用題的條件和問題，組成了應用題的結(jié)構(gòu)。

應用題可分為一般應用題與典型應用題。

沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。

題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。這本資料主要研究以下30類典型應用題：

1、歸一問題

2、歸總問題

3、和差問題

4、和倍問題

5、差倍問題

6、倍比問題

7、相遇問題

8、追及問題

9、植樹問題

10、年齡問題

11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數(shù)問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題

21、方陣問題

22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題

1

歸一問題【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量

另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

【解題思路和方法】

先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。

例1

買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？

例2

3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？

。例3

5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？

2

歸總問題

【含義】

解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量

總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)

總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1

服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

例2

小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？

例3

食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

3

和差問題

【含義】

已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝（和＋差）÷2

小數(shù)＝（和－差）÷2

【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。

例1

甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？

例2

長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。

例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

例4

甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

4

和倍問題【含義】

已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

例2

東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？

例3

甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？。

例4

甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？5

差倍問題【含義】

已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】

兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

例2

爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

例3

商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

例4

糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

6

倍比問題【含義】

有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù)

另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量

【解題思路和方法】

先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

例2

今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？

例3

鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

7

相遇問題【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關(guān)系】

相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）

總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？

例2

小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？

。

例3

甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。

8

追及問題【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。

【數(shù)量關(guān)系】

追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

例2

小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

例3

我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？

。

例4

一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

例5

兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？

例6

孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。

9

植樹問題【含義】

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

【數(shù)量關(guān)系】

線形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距＋1環(huán)形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距

方形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距－4

三角形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距－3

面積植樹

棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

例2

一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？

例3

一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？

例4

給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？

例5

一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

10

年齡問題【含義】

這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思路和方法】

可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

例1

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？

例2

母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

例3

3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？

例4

甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？

11

行船問題【含義】

行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】

（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（順水速度－逆水速度）÷2＝水速

順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2

【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？

例2

甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？

例3

一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？

12

列車問題【含義】

這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數(shù)量關(guān)系】

火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速

火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）

÷（甲車速－乙車速）

火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）

÷（甲車速＋乙車速）

【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

例2

一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？

例3

一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？

例4

一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？例5

一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？

13

時鐘問題【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。

【數(shù)量關(guān)系】

分針的速度是時針的12倍，

二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】

變通為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1

從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？例2

四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？

例3

六點與七點之間什么時候時針與分針重合？14

盈虧問題【含義】

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差

參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差

【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？

例2

修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？

例3

學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？15

工程問題【含義】

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】

解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。

工作量＝工作效率×工作時間

工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】

變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？

例2

一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？

例3

一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？

例4

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？

16

正反比例問題

【含義】

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數(shù)量關(guān)系】

判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應用題的關(guān)鍵。許多典型應用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應用比和比例的性質(zhì)去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

例2

張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？

例3

孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？例4

一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A

252036B16

17

按比例分配問題【含義】

所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。

總份數(shù)＝比的前后項之和

【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1

學校把植樹560棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？

例2

用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？。

例3

從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。

例4

某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

人

數(shù)

80人一共多少人？對應的份數(shù)

12－88＋12＋21

18

百分數(shù)問題

【含義】

百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常常可以通分、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只能表示“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】

掌握“百分數(shù)”、“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分數(shù)＝比較量÷標準量

標準量＝比較量÷百分數(shù)

【解題思路和方法】

一般有三種基本類型：

（1）

求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；

（2）

已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3）

已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1

倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

例2

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？

例4

紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？

例5

百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應用很廣泛，常見的百分率有：

增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%

合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應出勤人數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應出勤天數(shù)×100%

缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%

發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%

成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%19“牛吃草”問題

【含義】

“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數(shù)量關(guān)系】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)

【解題思路和方法】

解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。

例1

一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

例2

一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

20

雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：

假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】

解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。

例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

例2

2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

例3

李老師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？

例4

（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

例5

有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？21

方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關(guān)系】

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）－（內(nèi)邊人數(shù)）

內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。

例1

在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

例2

有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。

例3

有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人？

例4

一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？

例5

有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

21

方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關(guān)系】

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）－（內(nèi)邊人數(shù)）

內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。

例1

在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

例2

有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。

例3

有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人？

例4

一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？

例5

有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

22

商品利潤問題

【含義】

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。

【數(shù)量關(guān)系】

利潤＝售價－進貨價

利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%

售價＝進貨價×（1＋利潤率）

虧損＝進貨價－售價

虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

例2

某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？

例3

成本0.25元的作業(yè)本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？

例4

某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。

23

存款利率問題

【含義】

把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】

年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100%

利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率

本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。

例2

銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？

化學典型應用題

24

溶液濃度問題

【含義】

在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】

溶液＝溶劑＋溶質(zhì)

濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

例2

要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？

例3

甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。25

構(gòu)圖布數(shù)問題

【含義】

這是一種數(shù)學游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中。“構(gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。

【數(shù)量關(guān)系】

根據(jù)不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】

通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。

例1

十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。

例2

九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。

例3

九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。

例4

把12拆成1到7這七個數(shù)中三個不同數(shù)的和，有幾種寫法？請設(shè)計一種圖形，填入這七個數(shù)，每個數(shù)只填一處，且每條線上三個數(shù)的和都等于12。

26

幻方問題

【含義】

把n×n個自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。

【數(shù)量關(guān)系】

每行、每列、每條對角線上各數(shù)的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。

三級幻方的幻和＝45÷3＝15

五級幻方的幻和＝325÷5＝65

【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。

例1

把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和相等。

解

幻和的3倍正好等于這九個數(shù)的和，所以幻和為

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15

九個數(shù)在這八條線上反復出現(xiàn)構(gòu)成幻和時，每個數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數(shù)各用到三次，其余的四個數(shù)各用到兩次?？磥?，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。

設(shè)“中心數(shù)”為Χ，因為Χ出現(xiàn)在四條線上，而每條線上三個數(shù)之和等于15，所以

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4276951438

即

45＋3Χ＝60

所以

Χ＝5

接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置，它們

分別在四個角，再確定其余四個奇數(shù)的位置，它們分別

在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。

例2

把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)填到九個方格中，

使每行、每列、以及對角線上的各數(shù)之和都相等。

27

抽屜原則問題

【含義】

把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學中的抽屜原則問題。

【數(shù)量關(guān)系】

基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。

【解題思路和方法】

（1）改造抽屜，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屜；

（3）說明理由，得出結(jié)論。

例1

育才小學有367個1999年出生的學生，那么其中至少有幾個學生的生日是同一天的？

例2

據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？

例3

一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個。某人閉著眼睛從中取出若干個，試問他至少要取多少個球，才能保證至少有4個球顏色相同？。28

公約公倍問題

【含義】

需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。

【數(shù)量關(guān)系】

絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答。

【解題思路和方法】

先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。

例1

一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？

例2

甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發(fā)，問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇？

例3

一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？

例4

一盒圍棋子，4個4個地數(shù)多1個，5個5個地數(shù)多1個，6個6個地數(shù)還多1個。又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。

29

最值問題

【含義】

科學的發(fā)展觀認為，國民經(jīng)濟的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應用題叫做最值問題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般是求最大值或最小值。

【解題思路和方法】

按照題目的要求，求出最大值或最小值。

例1

在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？

例2

在一條公路上有五個卸煤場，每相鄰兩個之間的距離都是10千米，已知1號煤場存煤100噸，2號煤場存煤200噸，5號煤場存煤400噸，其余兩個煤場是空的?，F(xiàn)在要把所有的煤集中到一個煤場里，每噸煤運1千米花費1元，集中到幾號煤場花費最少？

例3

北京和上海同時制成計算機若干臺，北京可調(diào)運外地10臺，上海可調(diào)運外地4臺?，F(xiàn)決定給重慶調(diào)運8臺，給武漢調(diào)運6臺，

若每臺運費如右表，問如何調(diào)運才使運費最??？

30

列方程問題

【含義】

把應用題中的未知數(shù)用字母Χ代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式——方程，通過解這個方程而得到應用題的答案，這個過程，就叫做列方程解應用題。

【數(shù)量關(guān)系】

方程的等號兩邊數(shù)量相等。

【解題思路和方法】

可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗、答”六字法。

（1）審：認真審題，弄清應用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關(guān)系是什么。

（2）設(shè)：把應用題中的未知數(shù)設(shè)為Χ。

（3）列；根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。

（4）解；求出所列方程的解。

（5）驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。

（6）答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。

同學們在列方程解應用題時，一般只寫出四項內(nèi)容，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語。設(shè)未知數(shù)時要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗的過程不必寫出，但必須檢驗。

例1

甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？

例2

雞兔35只，共有94只腳，問有多少兔？多少雞？

例3

倉庫里有化肥940袋，兩輛汽車4次可以運完，已知甲汽車每次運125袋，乙汽車每次運多少袋？致家長：贊賞和激勵是促使孩子進步的最有效的方法之一。每個孩子都有希望受到家長和老師的重視的心理，而贊賞其優(yōu)點和成績，正是滿足了孩子的這種心理，使他們的心中產(chǎn)生一種榮譽感和驕傲感。激勵孩子積極向上的6句話贊賞和激勵是促使孩子進步的最有效的方法之一。每個孩子都有希望受到家長和老師的重視的心理，而贊賞其優(yōu)點和成績，正是滿足了孩子的這種心理，使他們的心中產(chǎn)生一種榮譽感和驕傲感。孩子在受到贊賞鼓勵之后，會因此而更加積極地去努力，會在學習上更加努力，會把事情做得更好。贊賞和激勵是沐浴孩子成長的雨露陽光。1、你將會成為了不起的人！2、別怕，你肯定能行！3、只要今天比昨天強就好！4、有個女兒真好！5、你一定是個人生的強者！6、你是個聰明孩子，成績一定會趕上去的。使孩子充滿自信的7句話自信心是人生前進的動力，是孩子不斷進步的力量源泉。因此，父母在教育孩子的過程中，一定要重視其自信心的培養(yǎng)?？梢哉f，許多學習落后或者逃學、厭學的孩子，都源于自