2016考研強化高數(shù)高等數(shù)學(xué)講義

第一 函數(shù)、極限與連 函 ysinx,ycosx:T2πytanx,ycotx,ysinx,ycosx:Tπsinx1,cosx1,x(,arctanxπ,0arccotxπ2

x(,常值函 冪函 yxα（α常數(shù)

yax（a＞0，a≠1常數(shù)yexylogax（a＞0，a≠1常數(shù)ylog10xlgxylogexlnxysinxycosxytanx.ycotxysecxycscx.yarcsinx;yarccosx;yarctanx;yarccotf1( x f xfyf

2(

，x

y

xFxy0yyx或xxyFxyz0zzxy或yyzx，或xxyzxyψ

,αtβyyf(x)φ(x),f(x)xyafx

φ(y fylimfxnylimftxf(xlim(1x2n)x

t n1 設(shè)Fxfx，則fx為奇函數(shù)Fx為偶函數(shù)例 xf(t2dt0

xf2t)dt0 0t[f(t)f(t)]dt (D)0t[f(t)f(t)]dt 例 設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，滿足f(x)f(x)，且f(x)f(x1)。f(3)f(3),f(3) (B)f(3)f(3),f(3)(C)f(3)f(3),f(3) (D)f(3)f(3),f(3)ex例 設(shè)f(x)

x,x

g(x)2x2

x，則f[g(x)] x

極 1limxan

ε0N0，當(dāng)nN時，有xn－aε2limf(xA

ε0X0，當(dāng)|x|X時，有|f(xA|ε

f(x)A，

f(x)A定義3

fxA：對于ε0δ0，當(dāng)0|xx0|δ時，有|f(xA|εf(x00)0xx0

f(x)A，f(x00)0xx0

f(x)A 1（極限的惟一性）設(shè)limfxAlimfxBAB2（極限的局部有界性）limfxA，則δ0,M00fxM

x

δ時性質(zhì)3（極限的局部保號性）limfxA0，則δ

0xx0δ時，恒fx0自變量其他變化情形類1）fx0,limfxAA02）limfxAlimgxBABδ0,0x0

fxgx).fxg(x，且limfxAlimgxBAB 1（極限四則運算法則）設(shè)limfxAlimgxB（1）limfxgxAB（2）limfxgxAB（3）limfxAB0g limfxgxABA01）和差情形，若極限limfx存在，limgx不存在，則limfxgx必不存在；若極限limfxgxlimgx都存在，則limfx必存在；若極限limfxlimgx都不存在，則limfxgx可能存在，也可能不存在。若極限limfx存在，limgx不存在，或者兩者都不存在，但極限limfxg設(shè)limf(x)limg(xB，則lim[f(xg(xB0lim[f(xg(xlimf(x)(B0定理2（復(fù)合函數(shù)極限運算法則）u

fuA,limφxu0且φxu0

fφuA

f(x)0(或limfx)0)f(xxx(x) fx(或limf(x))f(xxx(x) f(x

fx窮小，且f(x)0， f(x

設(shè)limα(x0limβ(x0，若

αβ(

0或或c(c0，則稱α(x分別是β(x低階，同階無窮小量（c1時為等價無窮小量。若limαβk

c0，則稱α(x

β(x

性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì) 若α α1x,β β1x，limα(xf(x)limα(x)f(xlimαx)fxlimα1x)f(x β( β(1性質(zhì)4（和取大原則）α(x)β(x)~max(α(x),β(x))，其中max(α(x),β(x))表示α βx0sinx～x，arcsinx～x，tanx～x，arctanx～x，ex1～x，ax1～xlna(a0) 1cos x 2

(1

α1～αxα為任意實數(shù))，ln(1x～x，

(1x)～(1/lna)x性質(zhì)1 性質(zhì)2 .性質(zhì) 有界函數(shù)

但（有界函數(shù)）定理 limf(x)A

f(xAαlimα0 見到已知一個極限等式條件limf(x)A，要去掉極限號找f(x)的表達(dá)式，就用“關(guān)系ln(12x)xf( 2f( 已知(

1cos

2，則

x 設(shè)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且 f 1，則x0處fx0ln(1x2(A)不可導(dǎo) (B)可導(dǎo)且f(0)0 準(zhǔn)則 設(shè)有數(shù)列xnxnxn1xnm，則limxnA存在Am設(shè)有數(shù)列xnxnxn1xnm則limxnA存在Am準(zhǔn)則2 定理）設(shè)gxfxhx，若limgxAlimhxA，則limfxA 若limαx0，則

sinα(α

lim1α(x)α(x

0ex1xx2xno(xn xx x2 2xxsinxx (1)

(2nxx n xxcosx

(1)

(1x)m1mxm(m1)x2 m(m1)(mn1)xnoxn ；ln(1x)xx2x3o(x；

ln(1x)xx2x3o(x。 。arctanxxx3o(x3) tanxxxo(x3)（注意，后項無此規(guī)律3 arcsinxxx3o(x3)（注意，后項無此規(guī)律！P axnaxn1 x a0b0 mlim lim n mn xQm xb0x bm1x m（2）limα1(x ml(α1,, αβxx時均是無窮小，xx0β1(x)βm xx0max(β1,, max(α1,,αn與max(β1,βm若limf(x)g(x)a（存在），且limf(x，則limgx0。若limf(x)a（存在且limgx0，則limf(x)0；此時，若a0，則由limf(x)0，可得limgx0（1）ex

x，xx

ex

xxxex

，x

ex, x,,,

x

x π,x

arc π π

x x xarccotx

arc

x

x子或因子就有理化；見到非零極限因子就“淡化”（先計算之。0型0xx0arcsin(11x例 求極限

1(1x)x 例 已知limln(12x)xf(

2，則lim2f(x)

1cos

ln(1f練 已知 tanx2,(a0,a1)則limf(x) ax （2）4x4x2x1x x2sin 例 求極限limxx2ln(11)x x a)cosx例 設(shè)lim a)cosx

1，則常數(shù)a ，b xx 練 lim

x x 0)例 limln(13x)ln(12 _)例

2lim

。ln(x x例 求極限limxe(11)x （5）1，0，00對于11limuvlim[(1u1)u1](u1)velim(u1)v解題定式見到1型未定式limuv的客觀題就直接寫答案 x2 例9 （1）lim(3ex212)x

（2）limx2exx 例 設(shè)

f(x)

3，且當(dāng)x0時f(x)~cxk，則c ，k x(ex例 當(dāng)x0時，無窮小量αln(1+x)-xx2,βex2cosxx3，γ

3x1 δ1cosxtan3tdtx30(A) (B) (D)x2例 確定a,b,c的值，使得x1時，f(x)a(x1)2bx2

c是比(x1)2高階 例 設(shè)數(shù)列xn滿足xn1

(x ),x00n12。證明xn極限存在n nln(11 ln(1 ln(1例 求極限 n n n] n1 n1

nn

f(x)x0處連續(xù)

f(x)f(x0)lim[f(x)f(x0)]lim[f(x0x）f(x00limy000

f(x)

f(x00) y0

00

f(xf(x00) y0若函yfxx0處連續(xù)，則fxx0處既左連若fx在（a,b）內(nèi)每一點連續(xù)，則稱fx在（a,b）內(nèi)連續(xù)；又fxxa處右連續(xù)x處左連續(xù)，則fx在a,b上連注 fxgx在點x0處連 fx、gx在x0處是否連續(xù)fx與gx在點x0 續(xù)，一個不連續(xù)fxgx在點x0處不連續(xù)fx與gx在點x0處都不連 fxgx在點x0處是否連續(xù)fx與gx在點x0 續(xù)，一個不連續(xù)或都不連 fxgx在點x0處是否連續(xù)定義limf(x)

f(x0，則x0f(x）

f(x00)f(x0f(x00),f(x00)都存在f(x0)fx f(x00),f(x00)f(x00),f(x00)f(x00),f(x00至少有一個上最值性質(zhì)有界介值性質(zhì)最值的介值 零點定理（方程式實根存在定理）f(xx0處連續(xù)與間斷問 2exsinx,x例 設(shè)f(x) 4 |x 1 x(A)極限存在但不連續(xù) (B)僅左連續(xù)(C)僅右連續(xù) (D)連續(xù)ln例 設(shè)f(ln

sinxf(x (B)1個可去間斷點，1個無窮間斷點 (D)2個無窮間斷點(1cos xxx例 設(shè)f(x)sin2x

et2,

x f(xx0f(xx0f(x例 設(shè)f(x)

arcsinxenx

，則f(x)在x0 確定x的變化范圍，求出極限得f(x)的表達(dá)式（一般是分段函數(shù)再討論。例 設(shè)f(x)在（a，b）內(nèi)連續(xù)，且xi(a,b),i1,2,,n。證明至少存在一點ξ(a,b)，f(ξ）2[f(x12fx2）+nf(xnn(n例 設(shè)f(x)在區(qū)間[0,1]上可微，當(dāng)0x1時，恒有0f(1)f(x)，且fxfx。證在（0，1）內(nèi)存在唯一的點ξ，使得fξ

ξf(t)dtξ

第二 一元函數(shù)微分．f(xf(x0f(x的圖形是凸的

fxlimylimfx0xfx0

fx0hfx0

fxfxlim 00 x0 x0左導(dǎo)fxlimfxfx0limfx0xfx0

x

右導(dǎo)fxlimfxfx0limfx0xfx0

x

推廣：若limαx0，則limfx0αxfx0fxα 12 f(cosh12h01lim

f(hsinhh0limhf(eh1)定義設(shè)函數(shù)yfxx0處有增量x時，若相應(yīng)函數(shù)的增量可表yfx0xfx0Axox0A與x無關(guān)，ox是x0時比x高階的無窮小fxx0處可微，并稱y中的線性Ax為fxx0處的微分，即dy|xxAx。0幾何上fx0表示曲yfx在點x0，fx0處的切線方y(tǒng)fx0fx0xx0法線方程：yfx xx,fx0 fx0 設(shè)物體作直線運動時路程S與時間t的函數(shù)關(guān)Sft，如ft0存在ft0表示物在時刻t0時的瞬時速度，ft0表示物體在時刻t0時的瞬時加速度。yfx0xfx0是曲yfxx0處相應(yīng)于0變量增量x的縱fx0的增量，微分dy|xx是與曲y0在點M0x0，fx0處切線的縱坐標(biāo)相

f 設(shè)fx在點x0處可導(dǎo)，且fx00，則當(dāng)x0時，fx在點x0處的微分與增量的(dyy(A)比x，y都低階的無窮小 (B)比x，y都高階的無窮小(C比x階的低無窮小，比y高階的無窮?。?D比x高階的無窮小，比y如果函數(shù)yfx的導(dǎo)yfxx0處仍可導(dǎo)，則把yfx在點x0處的導(dǎo)數(shù)稱yfxx0y

fx0

x

等，也fx

處二階d2 fxd2 fx0

x類似地，如果fxn1階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)為fxn階導(dǎo)數(shù)，記為 y，f x，

f(n1)xf(n)xhf(n1).h3.導(dǎo)數(shù)與微分計算（1）導(dǎo)數(shù)與微分基本c dcxaaxasinxcos

a實常數(shù) dxadsinxcos

a實常數(shù)cosxsintanxsec2cotxcsc2secxsecxtancscxcscxcot

dcosxsinxdxdtanxsec2dxdcotxcsc2dsecxsecxtanxdxdcscxcscxcotlogax lnx

a0，a d

x

a0，axaxaxln

ex

1a0，aarcsin1x2dlnx1xdaxaxdexexdxdarcsinx

a0，a1111arccosx darccosx11arctan

1

darctanx 1arccotx 1

darccotx 1x2lnx dlnx x2a2x2x2x2x2x2lnx x2a2 dlnx x2x2x2x2fxgxfxgfxgxfxgxfxg

dfxgxgxdfxfxdgfx

fxgxfxg fx

gxdfxfxdg gx

g2 dgx

g2 gx yfu，uφxφxx處可導(dǎo)，fu在對應(yīng)點u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yfφxx處可導(dǎo)，且dydydu du

fφxφx；dyfudufφxφxdx由 dydydxdx 參數(shù)方程

確定的函數(shù)yy

方法： ψt Fxy0y方法：1）方程兩邊對x求導(dǎo)，解出

φt F3）法： xF Fy分段函 冪指函數(shù)yfxgx,fx 方法：先“指數(shù)對數(shù)”化，即yegxlnfx，再求導(dǎo)x yafd

ftdtfx；

φ

ftdtfφxφxdx dxx 例設(shè)函fx連續(xù)Fxxx0fx在點x0處可導(dǎo)的充要條fx0方法：yy,L，找規(guī)律，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。常用的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)如下。（1） （2）ax （2）ax （3）（4）sincos（5）

sin 2 2x d2 y，即dydy；xdy2 ) ()dy dy參數(shù)方

yyd2 dψtdx2dxdxdxφtFxy0y兩個函數(shù)乘積的n u uv萊布尼茲法：[u(x)v(x)](n)u(n)vC1u(n1)vC2u(n2)v n1( u uv f(x存在，若limux0limfx0u(x)f(x0f(x f(xx處連續(xù)，則limf(x)af(x0f(xa0xx0x f a，且k＞1fx0f( 0(xx0可導(dǎo)可微連續(xù)limf(xf(x0f(xf(0)f(0)0

f(x0，其中Tf(xkf(xg(x)xx0g(xx0f(xx0處可導(dǎo)g(x00特別地，當(dāng)kf(x)(xx0)kxx0x0處k階可導(dǎo)，但k1 函數(shù)f(x)(x2x2)|x3x|不可導(dǎo)點的個數(shù)(A) (B) (C) (D) x y 1上點（x0,y0）處的切線方程：0 x y 1點（x0,y0）處的切線方程：0 1 例1 設(shè)f(u)可導(dǎo)，yf(x2)當(dāng)自變量x在x1處取得增量x0.1時，相應(yīng)函數(shù)增量y的線性主部為0.1，則f(1) 例2 設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)0，f(x)0，x為自變量x在點x0處的增量，y與dy分別為f(x)在點x0處對應(yīng)的增量與微分，若x＞0，則必有（A）0＜dy＜y （B）0＜y＜dy（C）y＜dy＜0 （D）dy＜y＜01cosx x1例 設(shè)函數(shù)f(x)=1

2x x20

fx)x0 （C）可導(dǎo)但f(0)0 （D）可導(dǎo)且f(0)0g(x)cosx例 設(shè)f(x)

x

x確定afx)x0f(xf(xx0練 設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，且 1，則f(0) x0lnf(x)例5 設(shè)f(x)可導(dǎo)且滿足關(guān)系式f(1x)2f(1x)3xo(x)其中o(x)是當(dāng)x0時比x高階的無窮小，則曲線yf(x)在x1處的切線方程為 例 設(shè)yy(x)由參數(shù)方程xarctan2y tty

yy(x在相應(yīng)于t0 例 已知曲線的極坐標(biāo)方程是r1cosθ，求該曲線上對應(yīng)θ

6例 已知兩曲線yf(x)與y arctanxet2dt在點(0,0)處的切線相同，求此切線方程，并求極0limnf2 例 設(shè)y(1sinx)x，則 x例 設(shè)yf(x1)，f(x)arctanx2，求y'(0)xxsint2例 設(shè)yy(x)由參數(shù)方程

2

dyd2 2y0uecosu dx dxd2例 設(shè)yelnx， dy

2(x0 羅爾定 設(shè)函數(shù)f(x)滿則至少存在一點ξa，b，使得fξ0。推論1fx在[ab上的最值在開區(qū)間內(nèi)x0處取得f(x0存在fx0 設(shè)函數(shù)fx滿（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間a，b內(nèi)可導(dǎo)fbf則至少存在一點ξa，b

b

fξ fbfafξba fx0xfx0fξxfx0θxx,0θ推論2fx在a，b內(nèi)可fx0fx在a，b內(nèi)為常推論3fx，gx在a，b內(nèi)都可fxgxa，b內(nèi)，fxgxc，其中c為任意常數(shù)。 設(shè)函數(shù)fx和gx滿在閉區(qū)間a，b上都連續(xù)；（2）在開區(qū)間a，bgx0，則至少存在一點ξa，b，使得fbfagbg

fξ.gξ.定理1（皮亞諾余項的n階泰勒設(shè)fxx0的某鄰域Uδx0內(nèi)具n階導(dǎo)數(shù)，則對xUδx00fxfxfxxxfx0xx2 fnxxxnRx0 Rxoxxnxx稱為皮亞諾余項 定理2（拉格朗日余項的n階泰勒設(shè)fx在包含x0的區(qū)a，b內(nèi)具n1階導(dǎo)數(shù)a，b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則xa，b，0fxfxfxxxfx0xx2 fnxxxnRx0 0Rnxfn1ξx0n

n1（ξ

與x之間）稱為拉格朗fxf0

0x

f0x2

fnnxn

Rxn

xo(xn)Rxfn1ξxn1 n1 nex1xx2xno(xn xx x2 2xxsinxx (1)

(2nxx n xxcosx1

(1x)m1mxm(m1)x2 m(m1)(mn1)xnoxn 1111

1xx2x3 (1)nxno(xn1xx2 xno(xn n ln(1x)x n

xn ln(1xx

n解題定 1例 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(1)kkxe1xf0

存在一點ξ(0,1，使f(ξ)1ξ1)f(ξ2f(x在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)f(0)0(（1）存在η ,1)，使得f(η)η2

11,f(1)02對任意的k(,)，存在ξ(0,η，使得f(ξk[f(ξ)ξ]1 例3 設(shè)f(x)在[0,π]上連續(xù)，且0f(x)dx0,0f(x)cosxdx0。試證在(0,π)內(nèi)至少存在兩個不同的點ξ1,ξ2，使f(ξ1)f(ξ2)0.例 設(shè)f(x)在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且2f(0)02f(x)dxf(2)f（1）證明存在η(0,2f(ηf(0（2）證明存在ξ(0,3)f(ξ例 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)使eηξf(ηf(η

f(b1。試證存在ξ,ηab例 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0。若極限

f(2xa)xa

（1）在（ab）f(x)0（2）存在ξ(a,b)，使(b2a2bf(x)dx2ξ 在(ab內(nèi)存在與（2）中ξ相異的點ηf(η)(b2a22ξbfξa例 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]二階可導(dǎo)，且f(0)f(0)f(1)0,f(1)1。求證存在ξ(0,1)，|f(ξ|4例 設(shè)函數(shù)f(x)在[1,1]具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(1)0,f(1)1,f(0)0,求證存ξ(1,1)f(ξ 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究定理 設(shè)fxCa,b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若對xab,fx0fx在區(qū)間(ab)內(nèi)單調(diào)增加；若對xab,fx0fx在區(qū)間(ab)內(nèi)單調(diào)減少。推 若xa,b,f(n)x0（或0，則f(n1)x在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加（或減少注1）單調(diào)區(qū)間的分界點只有可能在兩類點處取得：駐點與fx不存在的若在區(qū)間(abfx0fx0的點只有有限個fx在(ab)定理2若函fxx0(ab處取得極值fx00fx0不存2）x0為fx的駐點不能推x0是函數(shù)的極值點，反之亦然。3（第一充分條件）fxx0處連續(xù)，且fx00fx0不存在。fxx0左、右異號，則x0必為fx的極值點，且左增（fx0）右減（fx0）取極大值；左減（fx0）右增（fx0）fxx0x0fx的極值點。定理4（第二充分條件 設(shè)函數(shù)fx在x0處有二階導(dǎo)數(shù)，且fx00，fx00，則fx00fx0為極大x0為極大值點；當(dāng)fx00fx0為極小x0為極小值f(xfx0f(x判斷：看每個子區(qū)間內(nèi)fx設(shè)fx在區(qū)I上連續(xù)，若對任意不同x1x2，恒fx1x21fxfxfx1x21fxfx 212 212

fx上任意兩點的割線在曲線下（上）面，則yfx是凸（凹）的。定理5設(shè)函fx在a，b內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，若在a，b內(nèi)的每x都有fx0，則曲yfx在a，b內(nèi)是凹的；若在a，b內(nèi)的每一xfx0則曲yfx在6（必要條件）若點x0fx0為曲y

fx的拐點，則fx00或fx0存在定理7（充分條件若函f(x在連續(xù)x0fx異號，則點x0fx0必為曲yfx的拐點fx00fx00，則x0,fx0必是曲yfx的拐點f(xfx0f(xlimf(xlimfxlimfxxx0yf(x00 0若limf(xclimf(x)climf(x)cycyf(x f f

若

a0limfxaxb或

a0，limfxaxb

limfxa0limfxaxbyaxbyf(x 若當(dāng)x時，函數(shù)有水平漸近線，則必沒有斜漸近線；但是，若當(dāng)x（或x）函數(shù)有水平漸近線，則x（或x）時，函數(shù)可能有斜漸近線。yf(x求出fx，令fx0求出駐點，確定導(dǎo)數(shù)不存在的點．再根據(jù)fx的符號找出函數(shù)的單fx，確fxfx不存在的點，再根fx的符號找出曲線的凹凸標(biāo)軸的交點)，依據(jù)表中性態(tài)作出函數(shù)yf(x)的圖形。

1y2

y若k0Ryk

為點Mxy x1例 求函數(shù)f(x)1

(x2t)

dt的單調(diào)區(qū)間例 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則f(x)以x0為極大值點的一個充分條件f(x)flim f(x具有二階導(dǎo)數(shù)，且fxfxf0f0eff(xf0f0f00,f(40f(x具有二階導(dǎo)f00

f(x)x0sin練習(xí)（1）已知fx在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且 f2

x0ln(1x （B）可導(dǎo)且f00 fxax

2xafxxafxafa是曲yfx的拐xafx的極a,fa也不是曲yfx的拐點例 設(shè)yfx是滿足微分方程yyesinx0的解，且fx0，則fx0（A）x0的某鄰域內(nèi)單增 （B）x0的某鄰域內(nèi)單減（C）x0處取極小值 （D）x0處取極大值例4 設(shè)yyx是由方程2y32y22xyx21所確定的函數(shù)，求yx的駐點，并判別它是否5fx二階連續(xù)可導(dǎo)f00limfx1x0exf0fx的極大值。f0fx的極小值。（C（0（D）f0fx的極值點，（0f0）yfx的拐點xt33t1確定，求曲線yyx的凹徑區(qū)間與拐點。例6 設(shè)函數(shù)yx由方程例 求曲線y1ln1ex的漸近線x解題定 例 設(shè)fx在a,b上連續(xù)，fafb0，fafb0證明方程fx0在a,例 試就a＞0時的不同取值情況，確定方程x33axa0在開區(qū)間（0,1）內(nèi)實根的個數(shù)練 討論曲線y4lnxk與y4xln4x的交點個數(shù)

第三 一元函數(shù)積分

定 若在區(qū)間I內(nèi)，恒有F'(x)f(x)或dF(x)f ，則稱F(x)為f(x)在區(qū)間f(x)dxF(xC1）不要丟C若fx在區(qū)間a,b上連續(xù)，則fx必有原函數(shù)xfxdxaftdtx

ftdta3）不定積分ex2dx

1ex

，sinx2dx，cosx2dx，

1

，cos

sindx dxcosxdx， ln

等不存在初等函數(shù)形式的原函數(shù)，不必計算。

k1f(x)k2g(x)dxk1f(x)dxk2g(x)dxd f(x)dx)

f(x，或d(f(x)dx)f(x)dxf(x)dxfxC，或df(x)f(xC（1）xudx 1xu1C,(u1)u

1dx1

dx C，1dxln

C1xx 1xx axC，特例exdxexadxlnsinxdxcos cosdxsinxtanxdxlncosx cotxdxlnsinxsecxdxlnsecxtanxC，cscxdxlncscxcotx dxcos2

sec2xdxtanxC

dxsin2

csc2xdxcotxsecxtanxdxsecx cscxcotxdxcscx a2x2dxaarctanaC，特例1x2dxarctanx dx1

C

dx1 11aaa211aa

2dxarcsinaC,特例

dxarcsinx2a 1x2 dxln(x x2a2x2xa2xa2a2x2dx arcsin a2a2

x2a2a2x2a2a22x2a2dx

xx2x2axx2x2a思想方法g(x)dxfφx)φ(x)dxf(φ(x)dφ(x)f(u)duF(uCFφ(x)1①f(axb)dxaf(axb)d(ax1 (2x3)100dx1(2x3)100d(2x3)

(2x3)101②xn1f(axnb)dx

f(axnb)d(axn 2x3 2x31d(2x31) (2x31)32x3 ③f(ex)exdxf(ex d(1ex 1exdxex(1ex)1 ln(1e)④f(x)dx2f(x x(1

2 1(x ⑤x2f(x)dxf(x)d(x x2sinxdxsinxd(x)cosxCf(lnx)⑥ dxf(lnx)d(ln 例x例

dxx

d(lnx)x

ln⑦sinxf(cosx)dxf(cosx)dcosx，cosxf(sinx)dxf(sinx)dsin4 sinxcos3xdxcos3xdcosx1cos4x41 ⑧f(arcsinx)dx f(arcsinx)d(arcsinx)，f(arctanx)dx f(arctan1 1 (1x2)arctanxlnarctanx f df f f

f(x) x(4cos2x1tan2（1） （2）(1x(4cos2x1tan2xφ思想方法：f φ(t)

f[φ(t)] F(t)適用對象：被積函數(shù)一般含有根式。但有根式不一定用第二換元積分法，如

1x2dxa2a2 ，xasint,t(,)2π,πa2，xatant,ta22x2x2 xt④負(fù)變換x

，xasec

t(0, xatb,a,b為常數(shù)ax2ax2bx

x2(2x)1x2(2x)1思想方法udvuv u,v選取原則——常見形式uPnx,dvekxdx,sinaxdx,cosaxdx.ekxcosaxdxekxsinaxdx，誰u誰vPn(x)lnxdx,Pn(x)arcsinxdx,Pn(x)arctan

1arctanxdx

cos(lnx)dxMxNdx 2xppdx x2px 2x2px x2px d(xp d(xpxq)dx(NMp 22 x2px

(x

p)2q 例 設(shè)a,b是常數(shù)，且a1，則下列各式中正確的f(axb)dxf(axb)C.

df(axb)af(axb)dxf(axb)dxf(ax （D）df(axb)dxaf(ax例 已知非負(fù)函數(shù)Fxfx

fx的一個原函數(shù)，且滿足fxxFx1

F01例 設(shè)f(lnx) 0x1，且f(0)1，計算2f(x x 例 (2x21)x2（1） e2 dx （2） (2x21)x2

dx,(xx例 已知 是f(x)的一個原函數(shù)，求x2f(x)dx1例 設(shè)f(sin2x) 1sin

f1 1例 F(0)0f(x

f(x)f(t)dt(2

1)

0 0 afxdxafuduaft n 若fx在區(qū)間0,1上可積，則0f(x)dx f( baf(x)dxabyf(xxxaxbbAafx變力做功，f(x)bf(x)dx路程，f(x)a

質(zhì)量，f(x)b必要條件：若定積分af(x)dx存在，則函數(shù)f(x)在ab上有baf(x在ab上連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點，則定積分bf(x)dx·線性性 af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx akf(x)dx=k

f(x)dxk af(x)dx0，af(x)dxbf(x)dx，akdxk(ba)，adxba af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx·比較性bbf(x)g(xxab，則f(x)dxg(x)dxbb bf(x0,x[abxab，則af(x)dx0 afx)dx ·估值性f(x)dx（abba若在區(qū)間ab上有mf(xM，則m(baba

f(x)dxM(ba（abbb若函f(x)在區(qū)間ab上連續(xù)，則至少存在一點ξab，使得af(x)dxf(ξ)(baf(ξ bf(x)dxf(x在區(qū)間abb 此ξ可在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取到xFxaftdt，由拉格朗日中值定ξa,b，使xaFbFaFξ(ba，即bf(x)dxf(ξ)(baξa,ba定理 若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積，則函數(shù)F(x)

x f(t)dtab上 ax2（原函數(shù)存在定理）f(x在區(qū)間abF(xaf(t)dt（xab）x區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且F(x) x

f(t)dtf(xF(xf(t)dtf(x在區(qū)間abxax定理3(牛頓-萊布尼 )設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，baf(x)dxFb

bF(bF(aaaαbf βfφ(t)φ(t)dtaα udv

b b 積分區(qū)間兩類被積函數(shù)

t設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,上連續(xù)，若極限limaf(x)dx存在，則稱反常積分 f(x)dx收t 記為

f(x)dx f(x)dx。否則 f(x)dx發(fā)散 t類似地，可定義f(x)dxlimtf(x)dxtc設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,c

f

f(x)dx都收斂，則稱反常積c f(x)dx收斂，記為f(x)dxf(x)dx f(x)dx。否則，稱之發(fā)散 若F(x)f(x)，abb

f(x)dxFf(x)dxFf(x)dxF

limF(x)F(a) F(b)limF(x) limFxlimFx f(x在區(qū)間(a,b

ε a

f(x)dx存在，則稱反常積分

f ε收斂，記為af(x)dxlimaεf(x)dx。否則稱af(x)ε

b

f(xdx

fx=

f(x)dx f(x)在區(qū)間[acU(c,b上連續(xù)，且limf(x)，若af(x)dx和cf(x)dx 積分af(x)dx收斂，記為af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx，否則af(x)dx 1）若F(x)f(x)， bf(x)dxF(x)bF(b)limF(x)；bf(x)dxF(x)blimF(x)F(a) bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dxF(x)cF(x)blimFxF(aF(blimF(x

收斂,p axp發(fā)散 p1(a0) axlnp q

收斂,p p1(a1)1dx

ex2dx ex2dx 0

q

xxf(x)f(x)為偶函數(shù)，則0f(t)dtf(x)f(x)的f(x在區(qū)間[aaa。f(x)dx 若f(x)a。 若fx)為奇f(x)是以Tf(x的任意原函數(shù)是以T為周期的偶函數(shù)。但是，一般的f(x是以Ta T f(x)dx0f(x)dxT2f(x)dx T f(x)dxn0f(x)dxnT2f(x)dx 函數(shù)fx與其原函數(shù)Fx的單調(diào)性間無必然的聯(lián)系 否具有奇偶性或利用af(x)dx0f(xf(x)]dx。見到被積函數(shù)為周期函數(shù)的定積分問題，就要 πsin π1π12

cos4xdx，N 2(sin3xcos4x)dx，P2

2(x2sin3xcos4x)dx2比較MNP sin4xsin6xdx0 f(xg(x在區(qū)間ab上連續(xù)，則(bfxgx)dx)2bf2x)dxbg2x bf(x在區(qū)間abf(x0f(x不恒等于零，則af(x)dx0b xx0時，0sin 2

x 0tan 2 0ln(1 2 x

x x0arcsinx

x，020

， 例x0時，α

arctan0

(1cost)dt，β

sin 0利用定積分定義求nba b 1 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則 f(a k)af(x)dx；limnf(n)0f(x)dxa

π

a

π

π（1）

a2x2dxa2

a2x2dxa a

a2x2dxa42a2axx2dxπa2

2axx2dxπa2 , 4,

2a2axx2dxπa2 n為奇 I 2sinnxdx 2cosnxdx n n1n 31π，n為偶 n 42πsinnxdx2I，πcosnxdx2In n n 0 00，n2πsinnxdx 2πcosnxdx4In n為偶

n為奇π n

sinnxsinmxdx

sinnxsinmxdx

。n π n0cosnxcosmxdx

n 0sinnxcosmxdx πsinnxcosmxdx0a 例 設(shè)I1

xf(x)dx，I2

xfx)dx,(a0)（A）2I1I2 （B）I1I2 （C）I1I2 （D）I1I21n11n1n1n例 求極限 nn 1arctanx例 計算定積分I

0(1x2)3 1 x例 設(shè)f(x)1

，求

f(x1)dx

x1方 1例 計算0xxa方法一般采用分部積分法——xsin 例 設(shè)f(x)0πtdt，計算0f 例 設(shè)α(x)2sinx(et21)dt，β(x) 2(1cosx) 例 確定常數(shù)a,b,c的值，使 ax xln(1t)

c(c0)1t 例 設(shè)f(x)g(x dt，其中g(shù)(x)cosx(1sint2)dt，求f1t 20例 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f10，1f2(x)dx200（1）求1xfxfxdx0 （2）證明1fx2dx1x2f2xdx 例 設(shè)f(x)在a,a上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)0，證明至少存在一點ξa,a，aa

f(x)dx3

f(ξ 選變量定區(qū)間：選擇積分變量，找出其變化范圍，從而確定積分區(qū)間，如xa,b取近似，找微元：在a,b內(nèi)任取一小區(qū)間x,xdx，在此小區(qū)間上利用以直代曲，以勻代變，以不變應(yīng)萬變的思想，得到微元dIdIfxdxxxxdx； IadIafxdx b基本模型 y1(x)dx，其中y2( y1(x), a，bad基本模型Ⅱ

x2( x1(y)dy，其中x2( x1(y), c y

αtβ，x(α)a，x(β)b，x(t在α，β上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) a， b和x軸所圍成Abydxβytxt dA1r2θdθ，A

βr2θdθ

d，dA12r2θr2θ2θd，

A β1r2θr2θdθ α 設(shè)平面圖形由曲線yfx（0）與直線x a，x b（0ab）和x軸圍成，則繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為vbπf2xdx；繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為vb2πxfxdx sABsAC ds ，sads ，a直角坐標(biāo)：設(shè)曲線方程為yyx,xab，其中y(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則2sbdsb1y(x)]dx2 y

αtβx(ty(t)在α，β上有連續(xù)βsβ

x(t)2y(t)2dt極坐標(biāo)：設(shè)曲線rrθ,θαβr(在α，β上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，βsβ

r(θ)2r(θ)2dθ設(shè)平面曲線 f(x)，axb， bf(x) (x)2dxa r()，αθβ， r( r() r( 2d x(t)， y(t)，axb， A x y dt 例 求星形線x y a3所圍圖形的面積及其周長a

acos3t, asin3 3面積 0

a2

t(3acostsint)dt 82周長l2周長ldt2sintcostdt6asin2t26a 例2求曲線y 01例3 設(shè)直線yax（0＜a＜1）與拋物線yx2所圍成圖形的面積記為S，它們與直線x1所圍成的圖形面積為S2。1確定a的值，使S1+S2 例4 過點P1,0作拋物線y 設(shè)x是產(chǎn)品的產(chǎn)量，已知邊際成本MC(x)Cx)，則總成本函xC(x)C00MC(t)dt，其中C0是產(chǎn)品的固定成本（即C(0)C0xx是產(chǎn)品的銷售量，已知邊際收益MR(x)R'(x)xR(x)0MR(t)dt(R(0)0)x已知某產(chǎn)品的總產(chǎn)量Qf(tt為時間變量，則從ta到tbbQ(bQ(aaf(t)dtbbθF(x對質(zhì)點M所作的功為WaF(xcosθdxb設(shè)有一個面積為A的平薄板水平地放置在深為h處的均勻靜止液體中，則平板一側(cè)所受的液體靜壓力FpA

a

ρgxf(x)dx，此處原點建立在 m質(zhì)量分別為m,m，相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為（萬有引力定律）F 12，其中k r

第四 常微分方y(tǒng)(n)f(x),yf(xy),yf(yy． y(n)fx,y,y,,y(n1)或Fx,y,y,,y(n)0 yfx,y yfx,y,y 標(biāo)準(zhǔn)形式： 例 已知函數(shù)yy(x)在任意點x處的增量yx(12y)xo(x)，且y(0)0，1y(x) x u，則yux u ，代人原方程得u φu φuu例 求解初值問題

。xx2y2dxxdy

x標(biāo)準(zhǔn)形ypxyq yep(x)dx[q(x)ep(x)dxdx p(y)xq( xep(y)dy[q(y)ep(y)dydy 標(biāo)準(zhǔn)形ypxyqxyn,(n解法：令zy1nz1np(x)z1n)q(x標(biāo)準(zhǔn)形PxydxQxydy0PQ在單連通區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且PQ 由于dux,ypx,ydxQx,ydy及曲線積分與路徑無關(guān)，xu(x,y)

P(x,y0)dx

Q(x,y)dy；或ux,

Q(x0,y)dy

P(x,y)dxx y

y x此時，通解為ux,yC xPxyx積分uxyPxydxC 再 Qx,y Px,ydxCyCy，再回代ux,y中即可 y f(xy),fxy),f(x2y2f

, uxy,xy,x2y2,y,x x xsinxy0，令uxy

例 設(shè)非齊次線性微分方程yP(x)yQ(x)有兩個不同的解y1(x),y2(x)，若常數(shù)C1,C2C1y1(x)C2y2(x)是該方程的解，C1y1(x)C2y2(x)是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，則 (A)C1,C1 (B)C1,C1 (C)C1,C2 (D)C2,C1 例 已知曲線yy(x)經(jīng)過點(1線方程為y

e 例 設(shè)fu,v具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足fu,vfu,vuv，求yxe2xfx,x所 例 已知y cosx 。例7 設(shè)有連接兩點A0,1與B1,0且位于弦AB上方的一條上凸的曲線，Px,y為曲線上任一點。已知曲線與弦AP之間的面積為P點橫坐標(biāo)的立方，求曲線方程。例 設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間[1,)上連續(xù)，若yfx與x1，xtt及x軸所圍平面圖x2繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為Vπ[t2f(t)f(1)]，求fx滿足的微分方程，并求滿足初值x2 1ynfxyf(x,y) py，原方程化為一階方程dp

f(x,p)yf(y,y) pyydpdpdypdppdpfyp dy 例 （1）1x2yxy0y00,y011（2）y y10設(shè)函yxx0二階可導(dǎo)yx0,y01過曲yyx上任Pxy作該曲線的切線x軸的垂兩直x軸所圍成的三角形面積記為S1，區(qū)間0,xyyx為曲邊的曲邊梯形面積記為S22S1S21yyx的方程。二階非齊次線性微分方程：ypyqyf ypyqy y1x,y2x是方程②的兩個解，則C1y1(xC2y2xy1xy2xy1(xy2xy(x,y(xy(xy(xy1xy2xC1y1(xC2y2x(5)若y(x),y(x)是方程②的兩個線性無關(guān)解， 1 2(x)是方程①(5)若y(x),y(x)是方程②的兩個線性無關(guān)解， 1 2y(x)(6)（疊加原理）y1xy2xypyqyf1xypyqyf2(x)的解，y1(xy2(x為方程yp(xyq(xyf1(xf2(xypyqy0λ2pλq0為r1,兩個不等的實根r1yCer1xCer2 兩個相等的實根r1y(CC 一對共軛復(fù)根r1,2αyeαx(CcosβxCsin fxpnx y*xkQxe0xk0n fxpnxeαx y*xkQxeαxn

k

fxAsinβx，或Bcosβx iβ不是特征根 xAcosβxBsinβx，iβ是特fxpnxeαxsinβx，或pnxeαxcosβxQnxeαxAcosβxBsinβ αiβ不是特征 αiβ是特 標(biāo)準(zhǔn)形式：ynpyn1... yp0 解法：特征方程法，λnpyn1pn1λpn01 n個相異實根λ,λ,,λ，通解為yCeλ1xCeλ2x Ceλnx 若λ是k重實根，則通解中含有CCx xk1eλ0x0

k標(biāo)準(zhǔn)形式：xnynaxn1yn1 xy'ayf 特別地，二階情形，x2ypxyqyfx p qyfed2 例 求方程y2ye2x0滿足y0y01的特解例 設(shè)常系數(shù)線性微分方程yayby0的通解為yexCcosxCsinx，其中C,是任意常數(shù)，則ab

(A)2 (B)0 (C)2 (D)4例 利用變換y

cos

將方y(tǒng)cosx2ysinx3ycosxex化為關(guān)于ux的方例 設(shè)yyx在,內(nèi)二階可導(dǎo)，且y0,xxy是yyx的反函數(shù)d2 dx xxydy2ysinx

0，變換yyx滿足的例 設(shè)yx,yxe2x,yx1e2x為二階常系數(shù)非齊次線性方程的三個特解 例 設(shè)常系數(shù)線性微分方程yαyβyγex的一個特解為ye2x1xex，試求常α,β,γ，并求方程的yx1ayxfx)(a0)yxyx1ayxxx

a

f(xy之和，即

y

y yx1ayxf(xx a當(dāng)f(x)c時（c為常數(shù)，yx1 cx a bx b 當(dāng)f(x)cb時（c,b1為常數(shù)，yb cxbx1 b B0B1x af(x)cx時（c為常數(shù)yxx(BBxBxn), yBB,By 例 差分方程yt1ytt2t的通解 齊次差分方程yt1yt0的通解為ytCtyatb)2t，代入原方程得a1b2，因此，原方程的通解為ytC(t2)2t．t例 差分方程2yt110yt5t0的通解 5 yt15yt2tytC(5)t

a1yatb，代入方程得a5b5t

C(5)t5(t1) 例 若以Wt表示第t年的工資總額（單位：百萬元，則Wt滿足的差分方程 由題設(shè)，有Wt(10.2)Wt12即得Wt所滿足的差分方程Wt1.2Wt12例 長度的倒數(shù)（Qx軸的交點，且曲線在點(11)x 設(shè)所求曲線為yy(x)(y0)，其在任一點P(x,y)處的切線方程Yy1Xxx軸的交點是(xyy0)PQyy)2y2y1y2|y

(1y2)

．y1y0，方程化簡為yy1y2y(11,y(10xpyypdpypdp1p2，分離變量得pdpdy，兩邊積分 Cy， Cy 1

1 1

yy

y21 dxy2 y21xCy(1)1得C1 y21)(x1)， y1(ex1e1x)2例2 設(shè)單位質(zhì)點在水平面內(nèi)作直線運動初速度vt0v0已知阻力與速度成正比(比例常數(shù)為1)，問t為多少時質(zhì)點的速度為v0？并求到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程．3 設(shè)質(zhì)點的運動速度為v(t)，由牛頓第二定律得阻fmdv(t)v(tv(t)v(t)

v(t)

即

t

，解此方程得v(t) 。由3 ，得tln3t0到tln3S ln3vetdt2v 3例 設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為rr(θ)，M(r,θ)為L上任一點，M0(2,0)為L上一定點，若極 θr2θ)dθ=1 r2θr2(θ)dθ兩邊對θ求導(dǎo)，2 2r2 ，即r

r21

r2

dθarcsin1Cθ，代入條件r(0)2，得Cπ 1故所求曲線L的方程為r sin(θ6

3y2例

kx(Nx)，x(0)x0 NCekN x(NNx0ekN

x 1CekNxekN xxekNN 例5 阻力和浮力的作用．設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海 為ρ，儀器所受的阻力與下沉速度成正比比例系數(shù)為k(k0)y與vyy(v 取沉放點為原點o，oy軸正向鉛直向下，則有牛頓第二定律d2ymgBρkv，其中vdymdt d2y

v

mv

dt

dy

dymgBρkv dy mgBρ

dvymvm(mgBρ)ln(mgBρkv)C

k代入初始條件

y

0，得Cm(mgBρ)ln(mgBρk m(mgBρ mgBρ v k mg例 設(shè)yy(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任一點(x,y)處的曲率

11

因曲線向上凸，故y0，又由已知，|y|

y(1y21 py，得p(1p2)，分離變量并積分得arctanpC1x，即arctanyC1x，代入初始條件y(0)1,y(0)1，得C1π，4 y4

lnln1

x)C2y(0)1，得C212ln2ylncos(πx)11ln2 ylncosx)14

2ylncos(πx)11ln2x(π,3π) xπ)x(π)y π 當(dāng)x 時，y取到極大值，極大值為y1 例 6

，流入湖泊內(nèi)不含A的水 V 設(shè)從2000年初（令此時t0）開始，第t年湖泊中污染物A的總量為m(t)，濃度為V

時間間隔[ttdtAm0dtm0dtmVdtmdt 此在時間間隔[ttdtm(tdm(m0m)dt 分離變量并積分得m2

t3，代入初始條件m(0)5m09得C 9

，于是m

m0(1

3) mm0，得t6ln3，即至多需經(jīng)過6ln3A的含量才能降至m02(x2y2例 設(shè)有一高度為h(t)（t為時間的雪堆在融化過程中其側(cè)面滿足方程zh(t) （長度單位為厘米，時間單位為小時(0.9)，問高度為 記V為雪堆的體積，S為雪堆的側(cè)面積， h(t) dxdyh(t)1π[h2(t)h(t)z]dzπh3(t)0x2y2

1[h(t)h(t)z]1

16(x2y2S x2y21h22

1z2z2dxdy x2y21h2 2

h2

h(t h(t)

2[h2(t)16r2]2rdr

h2(t)dV0.9S(t)， 3πh2(t)dh(t)0.913πh2(t)

13

h(t)13tC

代入h(0130，得h(t)10t130令h(t0，得t100（小時例 設(shè)位于第一象限的曲線y

f(x過點(2) )

QPQx軸平分yf(xysinx在[0,π上的弧長為l，試用lyf(x的弧長s(1)yf(xP(xy處的法線方程為Yy1Xxx其中(X,Y)為法線上任意一點的坐標(biāo).令X0，則Yy ，故Q點的坐標(biāo)為(0,yx

x 1(yy2

x)0

2ydyxdx0 x22y2C(C為任意常數(shù)yx2

1知C1y2

f(x的方程為x22y2 l

1cos2xdx20

1cos2yf(xxcos yπ

2

0t 2 1 s2

sin2t cos2tdt 2

21sin2tdt02 0 2 令t u，則s 2

1cos2u(du)

21cos2udu 2

l4例10 有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線xφ(y)(y0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，容器的底面根據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與φ(y)求曲xφy)方程解(1)t時刻，液面的高度為y，則由題設(shè)知此時液面的面積為πφ2y4ππttφ2(y)40πφ2y6φy)φy，即πφy)6φyπφyCe6，其中C為任意常數(shù)，由φ(0)2知C2π故所求