平面向量高考試題(含詳細答案)

平面向量高考試題精選（一）

選擇題（共14小題）

1.（2015?河北）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，BC=3CD-則（）

A.AD=--1AB+-1ACB-AD^1AB--|AC

C-AD^|AB+|ACD-AD=^AB--^AC

2.（2015?福建）已知標正，I疝I」，IAC|=f若P點是△ABC所在平面內(nèi)一點,

且江好駕，則而?正的最大值等于（）

|AB||AC|

A.13B.15C.19D.21

3.（2015?四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，I同=6,|標i|=4,若點M、N滿足麗=3記,

DN=2NC>則標-M=（）

A.20B.15C.9D.6

_—?—?*'■.—?—?

4.（2015?安徽）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，K蕭足/2。AC=2寸b，

則下列結(jié)論正確的是（）

—?—?—?—?—?—?—?.

A.|b=lB.a±bC.a?MlD.（4講b）±BC

5.（2015?陜西）對任意向量W、b-下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.|a-U<ldlHB.'-亦|誦-而

C.（a+b）2=la+bl2D.（a+b）?（：-'p=a?-b2

6.（2015?重慶）若非零向量W，下茜足值=2乎g，且±（3「25），則W與4的

夾角為（）

A.—B.—C.衛(wèi)D.n

424

7.（2015?重慶）已知非零向量a，b滿足/XIab且a，（2a+b）則a與b的夾角

為（）

A.-B.-.C.空D.^―

3236

8.（2014?湖南）在平面直角坐標系中，O為原點，A（-1,0）,B（0,丁5），C（3,0）,

??，，??

動點D滿足|CD=1，則I0A+0B+0口的取值范圍是（）

A.[4,6]B.1719-1-V1^1]C.[273,2訴D.[b-1,b+1]

9.（2014?桃城區(qū)校級模擬）設(shè)向量百谷曲足仁|=|山=1，a，b=-^<

a-c,b-c>=60%則啟的最大值等于（）

A.2B.5/3C.72D.1

10.（2014?天津）已知菱形ABCD的邊長為2,NBAD=120。，點E、F分別在邊BC、DC

上，BE=ABC.DF=kDC>若標?屈1='CE?CF=-則入+尸（）

3

A.1B.2C.至D.二

23612

11.（2014?安徽）設(shè)』，己為非零向量，市=2百，兩組向量五，三，E，三■和元，

可，口均由2個嬴2個例列而就若京?元+石?豆+耳?可+京?城所有可能取值

中的最小值為41m2,則￡與E的夾角為（）

A.空B.—C.-D.0

336

12.(2014?四川)平面向量^=(1,2),fc=(4,2),(m€R),且3與W的夾角等

于c與b的夾角，則m=()

A.-2B.-1C.1D.2

13.(2014?新課標I)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點，則函啟

A.ADB.IADC.BCD.1BC

14.（2014?福建）設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平

面內(nèi)任意一點，則贏+而+優(yōu)+'55等于（）

A.0MB.2QMC.3QMD.4QM

二.選擇題（共8小題）

15.（2013?浙江）設(shè)不、=*為單位向量，非零向量5*￡*+丫不，x、y€R.若不、「*的

夾角為30。，則單的最大值等于

Ib|

16.（2013?北京）已知點A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面區(qū)域D由所有滿足

AP=XAB+klAC（1^2,0<n<D的點P組成，則D的面積為.

17.（2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP_LBD,垂足為P,且AP=3,則

AP-AC=.

18.（2012?北京）己知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點.則正?瓦的值

為.

19.（2011?天津）已知直角梯形ABCD中,ADIIBC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的動點，則|血+3麗|的最小值為.

20.（2010?浙江）已知平面向量五，-p五#E）滿足I/1=1，且五與

E-五的夾角為120。，則|五|的取值范圍是.

21.（2010?天津）如圖，在△ABC中，AD±AB,前而，IAD|=1.則

AC'AD=

C

RD

22.(2009?天津)若等邊△ABC的邊長為2?,平面內(nèi)一點M滿足加=」而+2以，則

63

MA-MB=.

三.選擇題(共2小題)

23.(2012?上海)定義向量而=(a,b)的"相伴函數(shù)"為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)

=asinx+bcosx的"相伴向量"為而=(a,b)(其中O為坐標原點).記平面內(nèi)所有向量的“相

伴函數(shù)"構(gòu)成的集合為S.

(1)設(shè)g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求證：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)6S,求其“相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bxO)為圓C：(x-2)2+y2=i上一點，向量祈的"相伴函數(shù)"f(x)

在x=xo處取得最大值.當(dāng)點M在圓C上運動時，求tan2xo的取值范圍.

2C

24.(2007?四川)設(shè)6、F2分別是橢圓工+丫區(qū)1的左、右焦點.

4丫

(I)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且呵?呵=-弓，求點P的作標；

(口)設(shè)過定點M(0,2)的直線1與橢圓交于不同的兩點A、B,且NAOB為銳角(其中

O為坐標原點)，求直線1的斜率k的取值范圍.

平面向量高考試題精選（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共14小題）

1.（2015?河北）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，BC=3CD.貝！I（）

A.AD=-^AB+^ACB-AD=^AB--1AC

C-AD^AB+|ACD-AD=^AB--1AC

解：由已知得到如圖

SiAD=AB+BD=AB+^BC=^(AC-AB)=-《標+1記

JJJJ

故選：A.

2.（2015?福建）已知屈J_正，|屈|二，|AC|=t＞若P點是△ABC所在平面內(nèi)一點,

國尚崎,則麗?玩的最大值等于（

)

A.13B.15C.19D.21

解：由題意建立如圖所示的坐標系,

可得A(0,0),B(10),C(0,t),

.?.研A：十A=B*+4=A二C,?-.…p(1I'A4)，

IABI|AC|

PB=(工-1,-4),PO(-bt-4),

t

PB-PC=-1)-4(t-4)=17-(l+4t),

tt

由基本不等式可得<+4t22A.4t=4,

17-(l+4t)<17-4=13,

t

當(dāng)且僅當(dāng)工4t即t=1時取等號,

t2

???麗?慶的最大值為13,

3.（2015?四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB=6,IADI=4,若點M、N滿足而=3元,

DN=2NC，則（）

A.20B.15C.9D.6

解：??,四邊形ABCD為平行四邊形，點M、N滿足麗=3元，DN=2NC.

二.根據(jù)圖形可得：Aii=AB+-|BC=AE-H|AD-

AN=AE+^DC=AE+1AB-

NM=AN-處|，

AM<AN-訕)=AK2-AN-AH

222

AM=AB4^?AT+-^ADJ

AM'AN=|AB2宿+|AE?AD)

IABI=6,而=4,

???AM.而，冠--AAE?=12-3=9

316

故選：C

-?*.?.—?—?

4.（2015?安徽）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b?商足汾2。AC=2寸b，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.|bl=lB.a±bC.a-b=lD.（4^b）±BC

解：因為已知三角形ABC的等邊三角形，a，甘蔭足屈=2&AC=2^-b,又菽=■正+前，

所以a《AB，b=BC>

所以|b|=2,a*bplx2xcosl200=-1,

4a*b=4xlx2xcosl20°=-4,鏟=4,所以—兀+鏟=。,即（4a+b）?b=0,即

（4a+b）-B^0'所以（4a+b）1BC;

故選D.

5.（2015?陜西）對任意向量』、b-下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.Ia-W<ldiuB.'-亦|誦-湎

C.（a+b）2=1a+bl2D.（a+b）?（；-"p=a?-b2

解：選項A正確，la-H=ldlUlcos<a<b>l-

X|cos<a，E>|sl,?正方西恒成立；

選項B錯誤，由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義可得I；-司洲力-IUI：

選項C正確，由向量數(shù)量積的運算可得（Z+E）2=|a+U2；

選項D正確，由向量數(shù)量積的運算可得（a+b）?-p=a2-b2.

故選：B

6.（2015?重慶）若非零向量W，E滿足|1警H，且（a-k>）-L（33^2b）>則a與b的

夾角為（）

A.—B.-C.空D.n

424

解：(a-b)-L(33^-2b)?

?e-(a一l>)?(3"2b)=0，

即3a之-2b?-a*LFO,

即a*tr=3a2-

cos<a，b>=返

iTTibT嗎2盜

即<a，b>=->

4

故選：A

7.(2015?重慶)已知非零向量@,b滿足1小=41J，且a，(2a+b)則a與b的夾角

為()

A.—B.—c..22LD.

3236

解：由已知非零向量a，b滿足且a，(2a+b"設(shè)兩個非零向量a，b的

夾角為0.

所以a“2a+b)=°,即2a2+|a||b|cos0=。，所以cos6=-J，峭0,可,所以0=2；；

故選C.

8.(2014?湖南)在平面直角坐標系中，。為原點，A(-1,0),B(0,V3)>C(3,0),

動點D滿足|而=1,則|贏+無+而的取值范圍是()

A.[4,6]B.[V19-l>A/1^1]C.[273,277]D.[仟1,77+1]

]解：?.?動點D滿足|而=1,C(3,0),

二可設(shè)D(3+cosO,sin0)(0G[O,2n)).

又A(-1,0),B(0,y/3),

???OA+OB+OD=(2+cos6,遙+sin8).

I0A+0B+OD^(2+COS6)2+(V3+sin6)M^cos6+2V3sin6-

V8+2V7sin(e+$)'(其中sin巾嗡巾第

,/-l<sin(0+4))<1,

(V7T)2=8-2V7<8+2V?sin(9+4))<8+277-(4+1)2-

?,.I贏+黃麗的取值范圍是W7-l，V7+11.

故選：D.

9.（2014?桃城區(qū)校級模擬）設(shè)向量之，百,足|二|二后|=1，a，b=-^<

c,b-c>：=60O）則前的最大值等于（）

A.2B.盯C.&D.1

解：：信|=|b|=1-

??.Z,E的夾角為120。，

設(shè)0A=a,0B=b,0C=c?lJcA=a-c;CB=b-c

如圖所示

則NAOB=120°；ZACB=60°

ZAOB+ZACB=180°

A,O,B,C四點共圓

..—?―*一

,AB=b.a

.—?2-?2—?—?—?2

1-AB=b_2a?b+a=3

AB=V3

由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=一絆—=2

sinZACB

當(dāng)OC為直徑時，模最大，最大為2

故選A

10.（2014?天津）已知菱形ABCD的邊長為2,NBAD=120。，點E、F分別在邊BC、DC

上，BE=ABC-DF=kDC-若標?屈=1，CE?CF=---則入+尸（）

3

A.1B.c.也D.J-

23612

解：由題意可得若標?正=（AB+BE）?（AD+DF）=AB-AB-DF+BE-AD+BE-DF

HABF-2+4口+4入+入p<2x2xcosl20°

=4入+4口-2入口-2=1,

4入+4日-2人“=3①.

CE?CF=-EC*(-FC)=EC-FC=(1-X)BC?(1-n)DC=(1-A)AD*(1-k)AB

=(1-A)(1-(i)x2x2xcos120°=(1-X-u+人口)(-2)=--.

3

即-入-n+Xn=-2②.

3

由①②求得入+尸2

故答案為:互

11.(2014?安徽)設(shè)之，己為非零向量，市=2;，兩組向量三，石，京和元，,，

W，刁均由2個獲2個百非列而成，若京?亍/可可+可可+總?重所有可能取值

中的最小值為41m2,則W與E的夾角為()

A.22LB.--C.—D.0

336

解：由題意，設(shè)￡與芯的夾角為a,

分類討論可得

①京?元+三?五+石?號V方寸京a*a^b?b+b?510|￡，不滿足

(2)T[,y7+7^,^+x^,y^+'x^*y^=a*寸a,9b寸匕b=5|￡+4|H2cosa,不滿足；

③f?元+司*五+同?可+京?第=4a?b=8|]cosa=4舊2,滿足題意，此時cosa=-1

??.W與E的夾角為二.

3

故選：B.

12.(2014?四川)平面向量U(1,2),b=(4,2),c=m^+-b(mGR),且M與W的夾角等

于當(dāng)b的夾角，則m=()

A.-2B.-1C.1D.2

解：?.?向量F（i,2）,b=（4,2）,

crrnar^b^（m+4,2m+2）,

又???3與w的夾角等于3與己的夾角，

c.a=c-b

IcHIaIIcHIb|

.c-ac-b

一百面

,irri~4+2（2nri2）=4（m+4）+2（2/2）

VB2V5

解得m=2,

故選：D

13.（2014?新課標I）設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點，則函?同=

（）

A.ADB.JADC.BCD.F

【解答】解：:D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點,

........-1.?，.

EB+FO（EF+FB）+（FE+EC）=FB+EC=上（AB+AC）=AD，

故選：A

14.（2014?福建）設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，0為平行四邊形ABCD所在平

面內(nèi)任意一點，則贏+通+江+而等于（）

A.0MB.20MC.30MD.40M

解：:。為任意一點，不妨把A點看成0點，則水+而+無+而=1+蒜+菽+75,

???M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，.,?o+AB+AC+AD=2AC=40M

故選：D.

選擇題(共8小題)

15.(2013?浙江)設(shè)%；、￡為單位向量，非零向量E=xg；+yZ；,x、yeR.若看；、言的

夾角為30。，則」式的最大值等于2.

Ib|一

解：.?.T、『為單位向量，T和T的夾角等于30。，.?.？?W=lxlxcos3(r=返.

c]c2仁[c2c?c2g

■,非零向量贏fy￡，???藤后SP說不奇=廬扃彳，

|x[周一]*2=11YI12=

?b?7x2+V3xy+y2VX2+V3xy+y21+???+(?)?J+1

故當(dāng)星，斗取得最大值為2,

X2|b|

故答案為2.

16.(2013?北京)已知點A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面區(qū)域D由所有滿足

AP=XAB+HAC(1<A<2,0<n<l)的點P組成，則D的面積為3

解：設(shè)P的坐標為(x,y),則

AB=(2,1),A5=(1，2),AP=(X-1,y+1),-.1AP=XAB+|IAC，

)211

1

『7=2入+W,解之得,曾一望

y+l=入+2N心-￡x號也

l<|x-^y~l<2

oJ

1<A<2,0印41,.?.點P坐標滿足不等式組，

。4

O

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部

其中C(4,2),D(6,3),E(5,1),F(3,0)

'''ICF|=7(4-3)2+(2-0)

點E(5,1)到直線CF：2x-y-6=0的距離為d=12乂5/二6|=

V55

.-?平行四邊形CDEF的面積為S=|CF|xd=V5x2&3,即動點P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積為

5

3

17.（2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP_LBD,垂足為P,且AP=3,則AP?AC=

【解答】解：設(shè)AC與BD交于點O,則AC=2AO

/AP±BD,AP=3,

在RtAAPO中，AOcosZOAP=AP=3

/.IAQcosZOAP=2|A0lxcosZOAP=2|API=6,

由向量的數(shù)量積的定義可知，AP-A^IAPIAOcosZPAO=3x6=18

18.（2012?北京）己知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點.則正?連的值

為1.

【解答】解：因為口后,。為口￡加=|而|?|DA|cos<DE-DA^DA2"1-

故答案為：1

D

19.(2011?天津)己知直角梯形ABCD中，ADIIBC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的動點，則I市+3痛I的最小值為5.

解：如圖，以直線DA,DC分別為x,y軸建立平面直角坐標系，

則A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)

設(shè)P(0,b)(0<b<a)

則五=(2，-b),PBF(1,a-b),

PA+3PB=⑸3a-4b)

IPA+3PB1=^25+(3a-4b)2-5-

故答案為5.

20.（2010?浙江）已知平面向量五，百（五井五，五戶百）滿足IE1=1，且五與

E-五的夾角為120%則「值的取值范圍是（0,空與.

3

解：令用ABFCI、AO6，如下圖所示：

則由BC=E-五，

又「五與E-五的夾角為120°,

/.ZABC=60°

又由AC=|T|=1

由正弦定理??B!得:

sinCsin60

庫季田竽

21.（2010?天津）如圖，在^ABC中，AD±AB,前力^而，I訕1=1，則正'AD=_V3_.

【解答】解:AC-AD=|ACI-?IcosZDAC.

|AD|=1，

AC-AD=|AC|,|標Icos/DAC二|ACl-cosZDAC.

ZBAC=y+ZDAC>

cosZDAC=sinZBAC,

AC-AD=|AC1-lADlcosZDAC=|AC|?cos/DAC=|ACIsinZBAC.

在^ABC中，由正弦定理得1^1：=_匝J_變形得|AC|sinNBAC=|BC|sinB,

sinBsinZBAC

正?標=I菽I?I麗|cos/DAC=IAC|,cos/DAC:|ACIsinZBAC.

=|BC|sinB=|BC|.MLV3，

故答案為遮.

22.（2009?天津）若等邊△ABC的邊長為2?,平面內(nèi)一點M滿足而=工而+2日，則

63

忌語-2.

解：以C點為原點，以AC所在直線為x軸建立直角坐標系，可得

C（0,0）,A（2V3.0），B（V3.3）,

CB=（V3-3）1CA=（273，0）,

,行寺H以=（挈》

M挈》

MA=（哼，-之）'MB=（-日‘微）’

MA'MBF（立，-1）?（-近,至）=-2.

2222

故答案為：-2.

三.選擇題（共2小題）

23.（2012?上海）定義向量旅（a,b）的"相伴函數(shù)"為f（x）=asinx+bcosx,函數(shù)f（x）

=asinx+bcosx的"相伴向量"為而=(a,b)(其中O為坐標原點).記平面內(nèi)所有向量的“相

伴函數(shù)"構(gòu)成的集合為S.

(1)設(shè)g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求證：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)GS,求其"相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bM)為圓C：(x-2)2+y2=i上一點，向量贏的〃相伴函數(shù)〃f(x)

在x=xo處取得最大值.當(dāng)點M在圓C上運動時，求tan2xo的取值范圍.

【解答】解：(1)g(x)=3sin(x+—)+4sinx=4sinx+3cosx,

2

其‘相伴向量'5=(4,3),g(x)GS.

(2)h(x)=cos(x+a)+2cosx

=(cosxcosa-sinxsina)+2cosx

=-sinasinx+(cosa+2)cosx

函數(shù)h(x)的'相伴向量'0M=(~sina,cosa+2).

則(一sina)2+(cosCL+2)*.5+4cosa.

(3)成的‘相伴函數(shù)'f(x)=asinx+bcosx=^a2+2sin(x+巾),

其中cos4>=—==2=,sin<|>=—==^=.

當(dāng)x+4)=2kjr+ZLkWZ時，f(x)取到最大值，故xo=2kn+工-巾，keZ.

22

TT"

tanxo=tan(2kn+——-4))=cot(b=-2,

2b

2X

2tanXQT2

tan2xo=---------------——:

1-tan2X2_b__a'

Q1-(中

bab

也為直線OM的斜率，由幾何意義知：生,0）U（0,

aa3

me[-近，0)U(0,

令m=-則tan2xo=--------)

ID—-3

當(dāng)-義Ism<0時，函數(shù)tan2xo=■―Jr單調(diào)遞減，,O<tan2xo<V3；

3