泰勒公式在證明不等式中的幾個應用

泰公證不中幾個用

泰勒公在證明不等中的幾應用摘要泰勒公作為種重要數學工具，論對科還是在證明計算等方面，都起著很重的作用特別在高等學范疇，靈活運用勒公式對不等問題進行分、構造轉化、放縮是解決等式證明問的常用法與思。本文主要過對各典型不等式明問題分析處理，納了用勒公式證明有關定分不等問題、含有等函數冪函數的不式和一不等式題，以及泰公式在元函數、二函數不式中的推廣證明與用關鍵詞泰勒公式；導數；等式引言泰勒公是高等數學的重點也是一個難，它貫于高等數學始終。勒公式重點就在于用一個次多式p(x),逼近一個已的函數f而且這逼近有很好性質：p(x)與f點具有相的直到的導數3]

.以泰勒公式很好的中體現高等學中的逼近”這一想精髓泰勒公式難點就在于的理論比較強，一很難接，更不用說用了。泰勒公無論在科研域還是證明、計算用等方，它都起著重要的用文獻3-6]紹了運用泰公式，不等式問題行分析構造轉化、縮是解不等式證明題的常方法與基本想.本擬在前文獻研究的礎上通舉例歸納，結泰勒式在證明不式中的用方法.1泰勒式知識的回：定理

[1]

設函數f

x

在點x處的某鄰內具有n階導數對該鄰內異的任意x，在x與x間至少存一點，得：f)+

f''2!

)2+

f

n!

-)n+其中R

f((1)!

稱為余，上式稱為階泰勒式；若x則上述泰勒式稱為克勞林公式即

f''2!

f2+x+(n).n!2泰勒式在證明不式中的用不等式高等數學和代數學析的重要內之一，反映了各變之間很重要一種關系即們之間大小關系。等式的容也極其豐，證明法很多而泰勒公式證明不式問題中起舉足輕的作用。2.1泰勒公在證明關定積分不式問題應用F點處（一根據右表達式確定開點）行0

bb泰勒展或直接寫出f展式，后根據題意展開式余項）作適處理（般是利用介定理或縮技巧例

[2]

設f

加且f''

x

，證明：f

f

f2

.題設條告知導且f''不對tf

在點處展開泰勒公，再令t，而找出f與.證明

對t處的一階勒展開為：f

f''2!

中t與間，∵f''

∴'

<1>將t分別代〈1并相加，f

f

'

xxf

'

x

<2>對〈2的兩邊，則

aa

'

ba

f

—2

xf2

f故

f

x

f2

.在證明關定積分不式問題，有時還需造函數然后通過泰公式與介值理的結合使，可以不等式證明題中達事半功倍結明朗化效果例

[3]

設f可微，其中a＜0b則在該間上存一個，使得：1

bxtx1bxtx1所以fxdx=bf(b—a)—[f—2'af]+(b-.a

1f=bf(b)—af()—[bf'—af']+(b2!3!

-

)f''

題設條告知微，且中含f''用泰勒公證明.又因為有f''F過程中介值定理的合使用

f二階勒公式，注證明證明

令

fF

(a≤t≤)展成二階泰公式：+Ft)

1t)+2!3!

與t間，即

x

F(t)+f

x

+f'tx+f''2!3!

〉令x,則有〈3可得：F(0)()+fa（-af'a+f2!3!〉－〈4得

〈4〉1

b2f'''令mmin｛f''

M｛f

并且a

＞

則有

f''

f''

≤M(b

),為f續(xù)，由值定理知存使得

3

f

3

f''

''

b2'3a2!3!泰勒公不但在證明續(xù)函數不等式問題起重要用，同樣在明某一定點不等式問題也發(fā)揮很大作用.例

設其中數f(x)[0具有二導數，且滿條件f(x≤a，f''()≤b其中a，都是非負，是（0）上任意點，試明：f'(c)≤2a.由于f()在，1]有二階導數，可慮利用f()在x的階泰勒公式證明

由于f(x)[0具有二導數f(x)在的一階勒公式2

11f(x)(c)'()(x)

f

)

()

2

<5>其中+

(),0<<1，在5>令

=0,有:(0)f()f'(c)

f''(1(0(<<<1)在5>令x=1，則有ff()f'(c)

f

)2(1

2

(0<<2將上述式相減,f(1)(0)'(c)

1

)(1)2f''(22于是f'(c)f(1)f(0)

12!

f)(1)2f21

2

f(1)f(0)

12

f''(

2

)(1)

2

1f2

1

2

b≤)222

，又因.故f'(c)≤2

≤1從上述例可以看出使用泰公式去證明于定積不等式問題我們可以遵以下幾個步：〉高階（二及二階以上導數的在是提示使泰勒公最明顯的特之一；）找一個函f()，選一個開點，然后寫f)在x處的泰公式；00）對a,)行放縮或與介值定結合使.2.2泰勒公在證明于初等函數冪函數等式的應用對于欲不等式中含初等函、三角函數超越函與冪函數結的證明問題要充分利用勒公式x時的麥克林展式，選適當的基本數麥克林的的展開，對題進行分析、材、構利用.例

[1]

1證明不式：x6

3

≤sin.不等式邊是三次二式的初函數，右邊三角函，兩邊無明的大小關系。這時我可用在的二麥克勞公式表示出，然后行比較判斷者的大小關。證明

f)sinx

113,,'(xxx,'(0)6f''(xx,f,f'''(x),

1當時，)的泰勒式為：(x)(1

)

3

x

3

)

f()

16

(1cos

)x(x3(x≥0,≤

,0＜

＜1)3

所以x，有

16

3≤.在含有理函數與冪數結合不等式證明題中，們之間沒有顯的大小關。如果用常方法（縮法、比較，代換等，我很難較它們之間的小關系，但時用泰公式卻能輕解答.例

[1]

x2證明不式：1＜＞028對于此，若我們對等式兩同時平方，可以去根號，x的次數卻高了次這還是難以較他們間的大小關但若用勒公式可以輕易解.證明

設f(x)，則f(0),f'()

12

)

,f'(0),3f''(x)(1)2,f''(0),f'''(x))48代入x=0二階泰公式，

x2=1+-+2816

)

(0＜∵x∴

x)

所以

x21＜1（x＞0）.2對于含超越函數lnx與函數結合的等式證，由我們接很少看不出它之間的大小系，更知如何去分比較，這時泰勒公將是對這類題最有效武器例

[5]

證明不式：x-

x2

＜，中＞0.證明

令f克勞林公知：ln

ln1+

1+12!(1

)

x

，(

x)所以ln有二階克勞林式知：

111x+2+12!(13!(1

)

x3,其中

x)4

從而

ln

x2＞，故x

x2

＜ln（x在不等的證明問題，若題中出現了一導數、階導數、初函數、三角函或超越函數與冪函結合時，可先考慮勒公式在x=0的麥克0勞林表式。當然能好此類的前提條件要對一基本函數的克勞林達式熟.2.3泰勒公在證明般不等式中應用對題設件中函數f(x)具有二階和階以上數，且最高導數的小或上下界知的命題，們一般過以下三個驟證明〕寫出比最階導數低一的泰勒開式；恰當選等式兩邊x與x不要認為展點一定x為最合適，有時以為0佳〕根據所給最高階導數大小或界對展開式行放大縮小.例

[8]

設x)在，（，）可導且有fx)，f(a)0。試證：

2(b)

f().題目已告知f()連續(xù)可導，且高階導有界故可用勒公式證之.證明

由泰勒式及f有f(x(x－ff'(

()，

由于fx)，可得f(x)≤M()于是

f()≤M

)

12

M(x)

ba

M()

ba

f(dx

≤

f(x)dx故

ba

f()≤

M2

()2，即M≥

2(b)

f(x)dx.但有些目卻從反方來考查勒公式在證一般不式問題時，數所具備的高階導數的界性，不給出最高導數的界，讓我們過題目件去證最高階導數邊界.例

[1]

證明：函數f)在二階導，且f'(a)f'(b，在（a，b）內存在一點使得f''(≥

4(b

f(bfa).5

題目告函數()二階導數存在欲證最階導數有界所以可泰勒公式證明a證明將f分在和處展開階泰勒式，并利用f)f'(b)0，2有：af((+2

f

b2

2

，a＜＜,<6>af(f(b)2

f''(

b)2,＜＜,<7>2由〈－，：令f｛f

),f''(

)則：(b8

f(bf)≤f

)f''(

)f''(

)故有

4f''(≥f(b)(a).(b)2從上述例我們可以出，若證明的不等或題設，含有一階上的導數時一般用泰勒式證明較方便.3泰勒開式在一元數、二函數不等式的推廣用與明泰勒展式在一元函二元函不等式也扮演著重角色只要f(x)附近二階導，那泰勒展開式以推廣以下兩種類：0定理

設函數yf(x)在點x附近二階可導則0〉〉

若f''(x，具有f()≥(f'()若f''(x，具有f()≤('()等號在x時成立.0對于定1證明，用一元函數泰勒展式，結論顯成立。下面我利用定理，對下面?zhèn)€初等等式作出證.例[8]證：設nN，

n

nn≤2n證明

設f，則f'

1

，f''

n

x

1nn

，有定理1：f6

12，n212，n200f兩式相即得結論。例

[9]設xi

，i，，

x

i

，≥2。ix求證：11

+

x22

+

x33

+

xn≥(nn證明

作函數(0x),則f'

，f

x

())x

，注意到0,有''用定理1，x0

0，有nfx≥2n+f2nnfx≥2+f2nn………

xxnxx1n

，fx≥12n+f'12nn以上式相加即結論

xx12

.上述是勒公式展開在一元數不等式中應用，然對于二元數，我們也以下類似的理：定理[10]若函數f(,y)，D具有連的二偏導數且滿足：f

ff，

則：fx,)≥xy)+

f()證明

二元函的泰勒公式fff因為，—所以

0

f2

fyxyy

0

f

≥7

kx2fkx2f2

f

y

，故有

f,y)≥()

x

yy

f()在定理2，若令

1

x

x

1

y

y可很容易到如下推論

推論

如果函f(x,)在D上有連續(xù)的二偏倒數且滿足：f

ff，

則對于Dx,任意取x，x，，，，121f

nxn

y≤f,0k

例

設x，x，為實數y，y，正數，則121222+yy2n

≥121

n證明

設f，則fy

2x2xf,f,ffy2y3

x且

f

>0，f

2

,xxyyxy

0

滿足條,所22y2

x+yn

≥

x1n12n

nn

2

≥1212

n推論不在證明函數等式問中可以使用,在一般含有母或數不等式的明問題中也以使用只是在證明過程要造一個二元數fy),然后再用推論.例

設a,為正數,且滿足1,求證

+

+

c

3≥8

證明

分子變?yōu)?=a

b

c

bcca,右邊，構造與是上例abba同函數(x,y)

y

，它滿推論條件，是有左邊

3ca≥2b2c2=，2故此題證.利用上兩個定理和論，一要構造合適一元函f(x或二元數f)，然后觀察所構的函數題目中條件是否滿上述定理和論所具備的條.結論泰勒公是高等數學一個非重要的內容它象一根絲連接著等數的許多識版塊和知點，且許多方面有廣泛的用。本文主通過論與舉例闡述了如何活地運泰勒公式，解決一不等式證明用其它法較難決的問題。在運用勒公式時需注意一問題是：將數展開多少項可以呢？從上面所的例題不難看出，要展開比題目所給函數的導階數少一次然后根題設條件恰選擇展點即可。由本人知掌握的不夠全面系，僅能結歸納出以幾個方，在今后的習與探研究過中，還可能發(fā)現利泰勒公式來決其他型不等式的子。參考文[1]華東師大學數系.數學分（第三[M].京高等教育出版2001.[2]王三寶泰勒公式的用例舉等函授學（自然學版，19（3：32.[3]徐香勤張小勇關于泰勒公的幾點用[J].河教育學學報（自然學版，2005，14（2[4]