泰勒公式在證明不等式中的幾個(gè)應(yīng)用

泰公證不中幾個(gè)用

泰勒公在證明不等中的幾應(yīng)用摘要泰勒公作為種重要數(shù)學(xué)工具，論對(duì)科還是在證明計(jì)算等方面，都起著很重的作用特別在高等學(xué)范疇，靈活運(yùn)用勒公式對(duì)不等問(wèn)題進(jìn)行分、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、放縮是解決等式證明問(wèn)的常用法與思。本文主要過(guò)對(duì)各典型不等式明問(wèn)題分析處理，納了用勒公式證明有關(guān)定分不等問(wèn)題、含有等函數(shù)冪函數(shù)的不式和一不等式題，以及泰公式在元函數(shù)、二函數(shù)不式中的推廣證明與用關(guān)鍵詞泰勒公式；導(dǎo)數(shù)；等式引言泰勒公是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)也是一個(gè)難，它貫于高等數(shù)學(xué)始終。勒公式重點(diǎn)就在于用一個(gè)次多式p(x),逼近一個(gè)已的函數(shù)f而且這逼近有很好性質(zhì)：p(x)與f點(diǎn)具有相的直到的導(dǎo)數(shù)3]

.以泰勒公式很好的中體現(xiàn)高等學(xué)中的逼近”這一想精髓泰勒公式難點(diǎn)就在于的理論比較強(qiáng)，一很難接，更不用說(shuō)用了。泰勒公無(wú)論在科研域還是證明、計(jì)算用等方，它都起著重要的用文獻(xiàn)3-6]紹了運(yùn)用泰公式，不等式問(wèn)題行分析構(gòu)造轉(zhuǎn)化、縮是解不等式證明題的常方法與基本想.本擬在前文獻(xiàn)研究的礎(chǔ)上通舉例歸納，結(jié)泰勒式在證明不式中的用方法.1泰勒式知識(shí)的回：定理

[1]

設(shè)函數(shù)f

x

在點(diǎn)x處的某鄰內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)對(duì)該鄰內(nèi)異的任意x，在x與x間至少存一點(diǎn)，得：f)+

f''2!

)2+

f

n!

-)n+其中R

f((1)!

稱為余，上式稱為階泰勒式；若x則上述泰勒式稱為克勞林公式即

f''2!

f2+x+(n).n!2泰勒式在證明不式中的用不等式高等數(shù)學(xué)和代數(shù)學(xué)析的重要內(nèi)之一，反映了各變之間很重要一種關(guān)系即們之間大小關(guān)系。等式的容也極其豐，證明法很多而泰勒公式證明不式問(wèn)題中起舉足輕的作用。2.1泰勒公在證明關(guān)定積分不式問(wèn)題應(yīng)用F點(diǎn)處（一根據(jù)右表達(dá)式確定開(kāi)點(diǎn)）行0

bb泰勒展或直接寫出f展式，后根據(jù)題意展開(kāi)式余項(xiàng)）作適處理（般是利用介定理或縮技巧例

[2]

設(shè)f

加且f''

x

，證明：f

f

f2

.題設(shè)條告知導(dǎo)且f''不對(duì)tf

在點(diǎn)處展開(kāi)泰勒公，再令t，而找出f與.證明

對(duì)t處的一階勒展開(kāi)為：f

f''2!

中t與間，∵f''

∴'

<1>將t分別代〈1并相加，f

f

'

xxf

'

x

<2>對(duì)〈2的兩邊，則

aa

'

ba

f

—2

xf2

f故

f

x

f2

.在證明關(guān)定積分不式問(wèn)題，有時(shí)還需造函數(shù)然后通過(guò)泰公式與介值理的結(jié)合使，可以不等式證明題中達(dá)事半功倍結(jié)明朗化效果例

[3]

設(shè)f可微，其中a＜0b則在該間上存一個(gè)，使得：1

bxtx1bxtx1所以fxdx=bf(b—a)—[f—2'af]+(b-.a

1f=bf(b)—af()—[bf'—af']+(b2!3!

-

)f''

題設(shè)條告知微，且中含f''用泰勒公證明.又因?yàn)橛衒''F過(guò)程中介值定理的合使用

f二階勒公式，注證明證明

令

fF

(a≤t≤)展成二階泰公式：+Ft)

1t)+2!3!

與t間，即

x

F(t)+f

x

+f'tx+f''2!3!

〉令x,則有〈3可得：F(0)()+fa（-af'a+f2!3!〉－〈4得

〈4〉1

b2f'''令mmin｛f''

M｛f

并且a

＞

則有

f''

f''

≤M(b

),為f續(xù)，由值定理知存使得

3

f

3

f''

''

b2'3a2!3!泰勒公不但在證明續(xù)函數(shù)不等式問(wèn)題起重要用，同樣在明某一定點(diǎn)不等式問(wèn)題也發(fā)揮很大作用.例

設(shè)其中數(shù)f(x)[0具有二導(dǎo)數(shù)，且滿條件f(x≤a，f''()≤b其中a，都是非負(fù)，是（0）上任意點(diǎn)，試明：f'(c)≤2a.由于f()在，1]有二階導(dǎo)數(shù)，可慮利用f()在x的階泰勒公式證明

由于f(x)[0具有二導(dǎo)數(shù)f(x)在的一階勒公式2

11f(x)(c)'()(x)

f

)

()

2

<5>其中+

(),0<<1，在5>令

=0,有:(0)f()f'(c)

f''(1(0(<<<1)在5>令x=1，則有ff()f'(c)

f

)2(1

2

(0<<2將上述式相減,f(1)(0)'(c)

1

)(1)2f''(22于是f'(c)f(1)f(0)

12!

f)(1)2f21

2

f(1)f(0)

12

f''(

2

)(1)

2

1f2

1

2

b≤)222

，又因.故f'(c)≤2

≤1從上述例可以看出使用泰公式去證明于定積不等式問(wèn)題我們可以遵以下幾個(gè)步：〉高階（二及二階以上導(dǎo)數(shù)的在是提示使泰勒公最明顯的特之一；）找一個(gè)函f()，選一個(gè)開(kāi)點(diǎn)，然后寫f)在x處的泰公式；00）對(duì)a,)行放縮或與介值定結(jié)合使.2.2泰勒公在證明于初等函數(shù)冪函數(shù)等式的應(yīng)用對(duì)于欲不等式中含初等函、三角函數(shù)超越函與冪函數(shù)結(jié)的證明問(wèn)題要充分利用勒公式x時(shí)的麥克林展式，選適當(dāng)?shù)幕緮?shù)麥克林的的展開(kāi)，對(duì)題進(jìn)行分析、材、構(gòu)利用.例

[1]

1證明不式：x6

3

≤sin.不等式邊是三次二式的初函數(shù)，右邊三角函，兩邊無(wú)明的大小關(guān)系。這時(shí)我可用在的二麥克勞公式表示出，然后行比較判斷者的大小關(guān)。證明

f)sinx

113,,'(xxx,'(0)6f''(xx,f,f'''(x),

1當(dāng)時(shí)，)的泰勒式為：(x)(1

)

3

x

3

)

f()

16

(1cos

)x(x3(x≥0,≤

,0＜

＜1)3

所以x，有

16

3≤.在含有理函數(shù)與冪數(shù)結(jié)合不等式證明題中，們之間沒(méi)有顯的大小關(guān)。如果用常方法（縮法、比較，代換等，我很難較它們之間的小關(guān)系，但時(shí)用泰公式卻能輕解答.例

[1]

x2證明不式：1＜＞028對(duì)于此，若我們對(duì)等式兩同時(shí)平方，可以去根號(hào)，x的次數(shù)卻高了次這還是難以較他們間的大小關(guān)但若用勒公式可以輕易解.證明

設(shè)f(x)，則f(0),f'()

12

)

,f'(0),3f''(x)(1)2,f''(0),f'''(x))48代入x=0二階泰公式，

x2=1+-+2816

)

(0＜∵x∴

x)

所以

x21＜1（x＞0）.2對(duì)于含超越函數(shù)lnx與函數(shù)結(jié)合的等式證，由我們接很少看不出它之間的大小系，更知如何去分比較，這時(shí)泰勒公將是對(duì)這類題最有效武器例

[5]

證明不式：x-

x2

＜，中＞0.證明

令f克勞林公知：ln

ln1+

1+12!(1

)

x

，(

x)所以ln有二階克勞林式知：

111x+2+12!(13!(1

)

x3,其中

x)4

從而

ln

x2＞，故x

x2

＜ln（x在不等的證明問(wèn)題，若題中出現(xiàn)了一導(dǎo)數(shù)、階導(dǎo)數(shù)、初函數(shù)、三角函或超越函數(shù)與冪函結(jié)合時(shí)，可先考慮勒公式在x=0的麥克0勞林表式。當(dāng)然能好此類的前提條件要對(duì)一基本函數(shù)的克勞林達(dá)式熟.2.3泰勒公在證明般不等式中應(yīng)用對(duì)題設(shè)件中函數(shù)f(x)具有二階和階以上數(shù)，且最高導(dǎo)數(shù)的小或上下界知的命題，們一般過(guò)以下三個(gè)驟證明〕寫出比最階導(dǎo)數(shù)低一的泰勒開(kāi)式；恰當(dāng)選等式兩邊x與x不要認(rèn)為展點(diǎn)一定x為最合適，有時(shí)以為0佳〕根據(jù)所給最高階導(dǎo)數(shù)大小或界對(duì)展開(kāi)式行放大縮小.例

[8]

設(shè)x)在，（，）可導(dǎo)且有fx)，f(a)0。試證：

2(b)

f().題目已告知f()連續(xù)可導(dǎo)，且高階導(dǎo)有界故可用勒公式證之.證明

由泰勒式及f有f(x(x－ff'(

()，

由于fx)，可得f(x)≤M()于是

f()≤M

)

12

M(x)

ba

M()

ba

f(dx

≤

f(x)dx故

ba

f()≤

M2

()2，即M≥

2(b)

f(x)dx.但有些目卻從反方來(lái)考查勒公式在證一般不式問(wèn)題時(shí)，數(shù)所具備的高階導(dǎo)數(shù)的界性，不給出最高導(dǎo)數(shù)的界，讓我們過(guò)題目件去證最高階導(dǎo)數(shù)邊界.例

[1]

證明：函數(shù)f)在二階導(dǎo)，且f'(a)f'(b，在（a，b）內(nèi)存在一點(diǎn)使得f''(≥

4(b

f(bfa).5

題目告函數(shù)()二階導(dǎo)數(shù)存在欲證最階導(dǎo)數(shù)有界所以可泰勒公式證明a證明將f分在和處展開(kāi)階泰勒式，并利用f)f'(b)0，2有：af((+2

f

b2

2

，a＜＜,<6>af(f(b)2

f''(

b)2,＜＜,<7>2由〈－，：令f｛f

),f''(

)則：(b8

f(bf)≤f

)f''(

)f''(

)故有

4f''(≥f(b)(a).(b)2從上述例我們可以出，若證明的不等或題設(shè)，含有一階上的導(dǎo)數(shù)時(shí)一般用泰勒式證明較方便.3泰勒開(kāi)式在一元數(shù)、二函數(shù)不等式的推廣用與明泰勒展式在一元函二元函不等式也扮演著重角色只要f(x)附近二階導(dǎo)，那泰勒展開(kāi)式以推廣以下兩種類：0定理

設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x附近二階可導(dǎo)則0〉〉

若f''(x，具有f()≥(f'()若f''(x，具有f()≤('()等號(hào)在x時(shí)成立.0對(duì)于定1證明，用一元函數(shù)泰勒展式，結(jié)論顯成立。下面我利用定理，對(duì)下面?zhèn)€初等等式作出證.例[8]證：設(shè)nN，

n

nn≤2n證明

設(shè)f，則f'

1

，f''

n

x

1nn

，有定理1：f6

12，n212，n200f兩式相即得結(jié)論。例

[9]設(shè)xi

，i，，

x

i

，≥2。ix求證：11

+

x22

+

x33

+

xn≥(nn證明

作函數(shù)(0x),則f'

，f

x

())x

，注意到0,有''用定理1，x0

0，有nfx≥2n+f2nnfx≥2+f2nn………

xxnxx1n

，fx≥12n+f'12nn以上式相加即結(jié)論

xx12

.上述是勒公式展開(kāi)在一元數(shù)不等式中應(yīng)用，然對(duì)于二元數(shù)，我們也以下類似的理：定理[10]若函數(shù)f(,y)，D具有連的二偏導(dǎo)數(shù)且滿足：f

ff，

則：fx,)≥xy)+

f()證明

二元函的泰勒公式fff因?yàn)?，—所?/p>

0

f2

fyxyy

0

f

≥7

kx2fkx2f2

f

y

，故有

f,y)≥()

x

yy

f()在定理2，若令

1

x

x

1

y

y可很容易到如下推論

推論

如果函f(x,)在D上有連續(xù)的二偏倒數(shù)且滿足：f

ff，

則對(duì)于Dx,任意取x，x，，，，121f

nxn

y≤f,0k

例

設(shè)x，x，為實(shí)數(shù)y，y，正數(shù)，則121222+yy2n

≥121

n證明

設(shè)f，則fy

2x2xf,f,ffy2y3

x且

f

>0，f

2

,xxyyxy

0

滿足條,所22y2

x+yn

≥

x1n12n

nn

2

≥1212

n推論不在證明函數(shù)等式問(wèn)中可以使用,在一般含有母或數(shù)不等式的明問(wèn)題中也以使用只是在證明過(guò)程要造一個(gè)二元數(shù)fy),然后再用推論.例

設(shè)a,為正數(shù),且滿足1,求證

+

+

c

3≥8

證明

分子變?yōu)?=a

b

c

bcca,右邊，構(gòu)造與是上例abba同函數(shù)(x,y)

y

，它滿推論條件，是有左邊

3ca≥2b2c2=，2故此題證.利用上兩個(gè)定理和論，一要構(gòu)造合適一元函f(x或二元數(shù)f)，然后觀察所構(gòu)的函數(shù)題目中條件是否滿上述定理和論所具備的條.結(jié)論泰勒公是高等數(shù)學(xué)一個(gè)非重要的內(nèi)容它象一根絲連接著等數(shù)的許多識(shí)版塊和知點(diǎn)，且許多方面有廣泛的用。本文主通過(guò)論與舉例闡述了如何活地運(yùn)泰勒公式，解決一不等式證明用其它法較難決的問(wèn)題。在運(yùn)用勒公式時(shí)需注意一問(wèn)題是：將數(shù)展開(kāi)多少項(xiàng)可以呢？從上面所的例題不難看出，要展開(kāi)比題目所給函數(shù)的導(dǎo)階數(shù)少一次然后根題設(shè)條件恰選擇展點(diǎn)即可。由本人知掌握的不夠全面系，僅能結(jié)歸納出以幾個(gè)方，在今后的習(xí)與探研究過(guò)中，還可能發(fā)現(xiàn)利泰勒公式來(lái)決其他型不等式的子。參考文[1]華東師大學(xué)數(shù)系.數(shù)學(xué)分（第三[M].京高等教育出版2001.[2]王三寶泰勒公式的用例舉等函授學(xué)（自然學(xué)版，19（3：32.[3]徐香勤張小勇關(guān)于泰勒公的幾點(diǎn)用[J].河教育學(xué)學(xué)報(bào)（自然學(xué)版，2005，14（2[4]