多維隨機變量及其分布

多維隨機變量及其分布第一頁，共九十八頁，2022年，8月28日從本講起，我們開始第四章的學(xué)習(xí).一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第三章內(nèi)容的推廣.第一講多維隨機變量及其分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)

第二頁，共九十八頁，2022年，8月28日

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標(biāo))來確定的.飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標(biāo)）來確定的等等.第三頁，共九十八頁，2022年，8月28日若是定義在同一個樣本空間S上的n個隨機變量，e∈S,則由它們構(gòu)成的一個n維向量（）稱為n維隨機變量，或n維隨機向量，簡記為二維隨機變量用（X，Y）表示下面著重討論二維r.v(X，Y),多維隨機變量可類推。第四頁，共九十八頁，2022年，8月28日二維隨機變量（X,Y）X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)

X的分布函數(shù)一維隨機變量X兩事件同時發(fā)生第五頁，共九十八頁，2022年，8月28日類似一維r.v的分布函數(shù)，定義二維r.v的分布函數(shù)如下：定義：設(shè)（X，Y）二維隨機變量，x,y為任意實數(shù)，則二元函數(shù)稱為（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。第六頁，共九十八頁，2022年，8月28日幾何意義：如將(X，Y)看成是平面上隨機點的坐標(biāo)，則F(x,y)就是(X，Y)落在以點(x,y)為頂點的左下方無窮矩形域內(nèi)的概率。xoy(x,y)第七頁，共九十八頁，2022年，8月28日利用分布函數(shù)，對任意實數(shù)則xoy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)第八頁，共九十八頁，2022年，8月28日分布函數(shù)性質(zhì)：1.對任意實數(shù)x,y有0≤F(x,y)≤1;即F(x,y)對每個自變量都是單調(diào)不減的；2.3．對任意x,y有第九頁，共九十八頁，2022年，8月28日4．即F(x,y)對每個自變量都是右連續(xù)的。5．對任意實數(shù)，有若F(x,y)滿足上述性質(zhì)，則其必為某一二維r.v(X,Y)的分布函數(shù)。第十頁，共九十八頁，2022年，8月28日如果二維r.v(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)已知，可以分別求r.vX和Y的分布函數(shù)即：稱為分布函數(shù)F(x,y)的邊緣分布函數(shù)，或二維r.v(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)。第十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日第二講二維離散型隨機變量定義1：若二維隨機變量(X,Y)所有可能取值是有限對或可列無限多對，則稱(X,Y)為

二維離散型隨機變量。定義2：設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機變量，所有可能取值為i,j=1,2,…,令則稱為(X,Y)的分布列，或稱為X和Y的聯(lián)合分布列。第十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日

二維離散型聯(lián)合分布列i,j=1,2,…隨機變量（X,Y）k=1,2,…一維離散型k=1,2,…分布列隨機變量X第十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日分布列的性質(zhì)：分布列的表示方法：公式法第十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日列表法：1p.1p.2…

p.j…p.Jp1.p2.pi.pi.p11p12…p1j…p21p22…p2j…pi1pi2…pij…x1

x2

Xxi

Yy1y2…yj…第十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的聯(lián)合分布列.解：（X,Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下第十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日二維聯(lián)合分布列全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布列.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?

從表中不難求得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意這兩個分布正好是表2的行和與列和.第十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日如下表所示我們常將邊緣分布列寫在聯(lián)合分布列表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.

第十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.第十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日一般，對離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布列為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布列為X和Y的聯(lián)合分布列為第二十頁，共九十八頁，2022年，8月28日二維離散型隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示如下：其中和式是對所有滿足的i,j求和。第二十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日

一維連續(xù)型隨機變量X的概率密度二維連續(xù)型隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度第三講二維連續(xù)型隨機變量第二十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日.概率密度與邊緣概率密度定義：設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負函數(shù)f(x,y),使得對任意實數(shù)

x,y有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，稱f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱為X與Y的聯(lián)合概率密度。第二十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日不難得出，對連續(xù)型r.v(X,Y)，其概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系如下：在f(x,y)的連續(xù)點第二十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日概率密度性質(zhì)：設(shè)G是xOy平面上的一個區(qū)域，則點(X,Y)落在G中的概率為：計算性質(zhì)第二十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)1:表示Z=f(x,y)在xOy平面上方的曲面；性質(zhì)2:表示Z=f(x,y)與xOy平面所夾空間區(qū)域的體積為1。性質(zhì)3:表示P{(X,Y)∈G}的值等于以曲面Z=f(x,y)為頂，以平面區(qū)域G為底的曲頂柱體的體積。幾何意義：第二十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日對連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為第二十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日例2設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個邊緣概率密度。=5c/24=1,c=24/5(1)由確定C解：第二十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)兩個邊緣概率密度.注意積分限注意取值范圍xy01y=x第二十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)兩個邊緣概率密度.注意積分限注意取值范圍xy01y=x第三十頁，共九十八頁，2022年，8月28日即第三十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日

在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時應(yīng)特別注意積分限.下面我們介紹兩個常見的二維分布.第三十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點的坐標(biāo)（X,Y）在G上服從均勻分布.例均勻分布第三十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日例3.二維r.v(X,Y)在由y=1/x,y=0,x=1和x=e2所形成的區(qū)域D上服從均勻分布，求(X,Y)的邊緣概率密度。如圖解：xoye211第三十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日第三十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設(shè)X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.兩隨機變量獨立的定義是：第四講隨機變量的獨立性第三十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.

它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積.第三十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日其中是X,Y的聯(lián)合密度，則稱X,Y相互獨立.對任意的x,y,有

若(X,Y)是連續(xù)型r.v，則上述獨立性的定義等價于：分別是X的邊緣密度和Y的邊緣密度.第三十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日

若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即第三十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日例1設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解：x>0

即：對一切x,y,均有：故X,Y獨立y

>0第四十頁，共九十八頁，2022年，8月28日若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨立.第四十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日隨機變量獨立性的概念不難推廣到兩個以上r.v的情形.1.分布函數(shù)設(shè)為n維隨機變量，為任意實數(shù)，則n元函數(shù)稱為的分布函數(shù)。第四十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日2.概率密度設(shè)為n維隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)對任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量，稱為n維隨機變量的概率密度。第四十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日3.n個隨機變量的獨立性設(shè)為n維隨機變量的分布函數(shù)，的分布函數(shù)（一維邊緣分布函數(shù)），若對任意實數(shù)有則稱是相互獨立的。第四十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日第五講二維隨機變量 函數(shù)的分布在第三章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)Y=g(X)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論二維隨機變量函數(shù)Z=g(X,Y)的分布。具體說，已知(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的分布。第四十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日例1若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的分布列.解:

=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性此即離散卷積公式r=0,1,2,….離散型隨機變量和的分布Z=X+Y第四十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日依題意例2若X和Y相互獨立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布.由卷積公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…解：第四十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日由卷積公式即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1，…第四十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日例3設(shè)X和Y相互獨立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.回憶第二章對服從二項分布的隨機變量所作的直觀解釋:我們給出不需要計算的另一種證法:同樣，Y是在n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.

若X~B(n1,p),則X

是在n1次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p.第四十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日

故Z=X+Y是在n1+n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p，于是Z是以（n1+n2，p）為參數(shù)的二項隨機變量，即Z~B(n1+n2,p).第五十頁，共九十八頁，2022年，8月28日下面介紹求Z=g(X,Y)概率密度的通用方法分布函數(shù)法：設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，其概率密度為f(x,y),

Z=g(X,Y)。為求Z的密度，設(shè)Z的分布函數(shù)為，則二.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布第五十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日例4設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.解:

Z=X+Y的分布函數(shù)是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}是直線x+y=z左下方的半平面.二.連續(xù)型隨機變量和的分布Z=X+Y第五十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日化成累次積分,得固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序第五十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.第五十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日特別，當(dāng)X和Y獨立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:這兩個公式稱為卷積公式.下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度第五十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例5若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式也即第五十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域如圖示:也即于是第五十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日教材上例4請自已看.注意此例的結(jié)論：

此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論.

若X和Y獨立,則

有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地,可以證明:第五十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日例6.設(shè)r,vX，Y相互獨立，X在[0，1]上服從均勻分布，Y服從參數(shù)λ=1的指數(shù)分布，求

Z=2X+Y的概率密度。解法1：分布函數(shù)法由獨立第五十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日yz=2x+y12當(dāng)z<0時，當(dāng)時，第六十頁，共九十八頁，2022年，8月28日當(dāng)時，第六十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日解法2：利用公式：zz=2x12第六十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日例7.設(shè)X~N（0，σ2），Y~N（0，σ2），且相互獨立，求的分布函數(shù)。解：第六十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日此分布稱為瑞利分布。第六十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).第六十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日又由于X和Y相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:即有FM(z)=FX(z)FY(z)

FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)第六十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日

類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進行推廣:

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)第六十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日設(shè)X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=0,1，…,n)第六十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日用與二維時完全類似的方法，可得特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……第六十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日若X1,…,Xn是連續(xù)型隨機變量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)后，不難求得M和N的密度函數(shù).留作課下練習(xí).當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n第七十頁，共九十八頁，2022年，8月28日需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.第七十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日下面我們再舉一例，說明當(dāng)X1,X2為離散型r.v時，如何求Y=max(X1,X2)的分布.第七十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日解一:

P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1≤n-1)記1-p=q例8設(shè)隨機變量X1,X2相互獨立,并且有相同的幾何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.n=0,1,2,…第七十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日解二:

P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)=P(max(X1,X2)≤n)-P(max(X1,X2)≤n-1)=P(X1≤n,X2≤n)-P(X1≤n-1,X2≤n-1)n=1,2,…第七十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日那么要問，若我們需要求Y=min(X1,X2)的分布，應(yīng)如何分析？留作課下思考第七十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日這一講，我們介紹了求隨機向量函數(shù)的分布的原理和方法，需重點掌握的是：請通過練習(xí)熟練掌握.

1、已知兩個隨機變量的聯(lián)合概率分布，會求其函數(shù)的概率分布；2、會根據(jù)多個獨立隨機變量的概率分布求其函數(shù)的概率分布．第七十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日

在第二章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機變量設(shè)有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.第六講條件分布第七十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機抽取一個學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布第七十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.第七十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日一、離散型r.v的條件分布列實際上是第二章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).定義1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布列.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布列.作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.第八十頁，共九十八頁，2022年，8月28日條件分布列是一種概率分布列，它具有概率分布列的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…第八十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日例1一射手進行射擊，擊中目標(biāo)的概率為

p，(0<p<1)，射擊進行到擊中目標(biāo)兩次為止.以X表示首次擊中目標(biāo)所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布列及條件分布列.解：依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).{X=m}表示首次擊中目標(biāo)時射擊了m次n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中第八十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的聯(lián)合分布列為不論m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為pP(X=m,Y=n)=？第八十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布列是：m=1,2,…第八十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日Y的邊緣分布列是：n=2,3,…第八十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布列邊緣分布列第八十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時，第八十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日

二