切應(yīng)力公式推導(dǎo)

切應(yīng)力公式推導(dǎo)第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日3、梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(mn、pq）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榛【€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍保持垂直。由梁變形的連續(xù)性可知：在梁中一定有一層上的纖維既不伸長也不縮短，此層稱為中性層。中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。

圖6－2(b)(a)mnpqmnpqFFCD第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日4、根據(jù)表面變形情況，對純彎曲變形下作出如下假設(shè)：

（1）平面假設(shè)梁在純彎曲時(shí)，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持垂直。（2）單向受力假設(shè)梁的縱向纖維處于單向受力狀態(tài)，且縱向纖維之間的相互作用可忽略不計(jì)。第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、正應(yīng)力公式的推導(dǎo)1、幾何方面相應(yīng)的縱向線應(yīng)變?yōu)椋海?－1）弧線O1O2的長度為：

(a)距中性層為y處的縱向纖維ab的伸長為：(b)圖6?3(b)中性層中性軸abO1O2mnpq(a)dxmnpqdθρy(c)dxabO2O1第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日2、物理方面將式代入，得（6－2）此式表明，梁橫截面上的正應(yīng)力與其作用點(diǎn)到中性軸的距離成正比，并且在y坐標(biāo)相同的各點(diǎn)處正應(yīng)力相等，如圖5?4所示。

圖6－4梁的各縱向纖維均處于單向受力狀態(tài)，因此，在彈性范圍內(nèi)正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系為：(c)第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日3、靜力學(xué)方面

由圖6?4可以看出，梁橫截面上各微面積上的微內(nèi)力dFN=σdA構(gòu)成了空間平行力系，它們向截面形心簡化的結(jié)果應(yīng)為以下三個(gè)內(nèi)力分量，，

由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是該截面上的彎矩M，所以有(d)(e)(f)圖6－4第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日又因?yàn)椴坏扔诹?，所以?g)即梁橫截面對中性軸（z軸）的靜矩等于零。由此可知，中性軸通過橫截面的形心，于是就確定了中性軸的位置。(d)(e)(f)由式（e）可得因此(h)即梁橫截面對y、z軸的慣性積等于零，說明y、z軸應(yīng)為橫截面的主軸，又y、z軸過橫截面的形心，所以其應(yīng)為橫截面的形心主軸。第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日(d)(e)(f)最后由式（f）可得

上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。

將式（6?3）代入式（6?2），可得梁在純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力的計(jì)算公式為（6－4）（6－3）即有第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日yzOdAyzhb應(yīng)用此式時(shí)，如果如圖中那樣取y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中y的正負(fù)，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的y看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸z的距離。三、梁在純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力的計(jì)算公式為（6－4）第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日四、橫截面上的最大應(yīng)力yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2中性軸z為橫截面對稱軸的梁其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(如圖)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。中性軸z為橫截面的對稱軸時(shí)，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值為（6－5）第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。橫截面上應(yīng)力分布hbzyoyc,maxyt,maxyz

bd1Od2中性軸z不是橫截面的對稱軸時(shí)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日在豎向荷載作用下，通常梁橫截面上不僅有彎矩而且有剪力，這種情況下我們稱之為橫力彎曲。而實(shí)際工程中的梁，大多發(fā)生的都是橫力彎曲。對于工程實(shí)際中常用的梁，應(yīng)用純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式來計(jì)算梁在橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力，所得的結(jié)果雖略偏低一些，但足以滿足工程中的精度要求。五、橫力彎曲第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日解：先求出C截面上彎矩

例題6?1長為l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN，求C截面上K點(diǎn)的正應(yīng)力。例題6－1圖截面對中性軸的慣性矩將MC、Iz、y代入正應(yīng)力計(jì)算公式，則有K點(diǎn)的正應(yīng)力為正值，表明其應(yīng)為拉應(yīng)力。

第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6－2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用一、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件對梁的某一橫截面來講，最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置，此時(shí)而對整個(gè)等截面梁來講，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在彎矩最大的橫截面上，距中性軸最遠(yuǎn)的位置，即（6－5）式中的Wz稱為彎曲截面系數(shù)，它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。

第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日對矩形截面對圓形截面各種型鋼的截面慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz的數(shù)值，可以在型鋼表中查得。為了保證梁能安全的工作，必須使梁橫截面上的最大正應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，所以梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為（6－6）式中的Wz稱為彎曲截面系數(shù)，它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、三種強(qiáng)度問題的計(jì)算根據(jù)式（6?6）可以求解與梁強(qiáng)度有關(guān)的三種問題。（2）選擇截面（3）確定許用荷載

（1）強(qiáng)度校核

第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日

由梁的彎矩圖可以看出，梁中最大彎矩應(yīng)發(fā)生在跨中截面上，其值為彎曲截面系數(shù)為由于最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩所在截面上，所以有所以滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。

例題6-2

一矩形截面簡支木梁如圖所示，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，彎曲時(shí)木材的許用正應(yīng)力[σ]=10Mpa，校核該梁的強(qiáng)度。例題5－2圖

解：先畫梁的彎矩圖（圖b）。例題6－2圖第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日例題5－3圖

例題6?3一⊥形截面的外伸梁如圖所示。已知：l=600mm，a=110mm，b=30mm，c=80mm，F(xiàn)1=24kN，F(xiàn)2=9kN，材料的許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=90Mpa,試校核梁的強(qiáng)度。（2）確定截面形心C的位置（3）截面對中性軸的慣性矩

解：（1）先畫出彎矩圖（圖b）

例題6－3圖第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日（4）強(qiáng)度校核

因材料的抗拉與抗壓強(qiáng)度不同，而且截面關(guān)于中性軸不對稱，所以需對最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力分別進(jìn)行校核。①校核最大拉壓力。由于截面對中性軸不對稱，而正、負(fù)彎矩又都存在，因此，最大拉應(yīng)力不一定發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面上。應(yīng)該對最大正彎矩和最大負(fù)彎矩兩個(gè)截面上的拉應(yīng)力進(jìn)行分析比較。在最大正彎矩的C截面上，最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面的下邊緣，其值為在最大負(fù)彎矩的B截面上，最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面的上邊緣，其值為第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日②校核最大壓應(yīng)力。首先確定最大壓應(yīng)力發(fā)生在哪里。與分析最大拉應(yīng)力一樣，要比較C、B兩個(gè)截面。C截面上最大壓應(yīng)力發(fā)生在上邊緣，B截面上的最大壓應(yīng)力發(fā)生在下邊緣。因MC和y1分別大于MB與y2，所以最大壓應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在C截面上，即由以上分析知該梁滿足強(qiáng)度要求。

第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例題6?4如圖所示的簡支梁由工字鋼制成，鋼的許用應(yīng)力[σ]=152MPa，試選擇工字鋼的型號。

例題6－4圖解：先畫出彎矩圖如圖b所示。例題6－4圖梁的最大彎矩值為由梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可得梁所必需的彎曲截面系數(shù)由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為此時(shí)最大正應(yīng)力

超過許用應(yīng)力值152MPa不到1%，故可選用56b號工字鋼。(b)M圖375kN.m281kN.m281kN.m第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6－3梁橫截面上的切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件1、兩點(diǎn)假設(shè)（1）橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行。

（2）橫截面上距中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。2、切應(yīng)力公式的推導(dǎo)一、矩形截面梁的切應(yīng)力圖6－5微段梁上的應(yīng)力情況如圖10?6b所示。

從圖5－5所示的梁中取出長為dx的微段，如圖5-6a所示。圖6－6FSMFSM+dMdx(a)第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日現(xiàn)假設(shè)用一水平截面將微段梁截開，并保留下部脫離體，由于脫離體側(cè)面上存在豎向切應(yīng)力τ，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在脫離體的頂面上一定存在切應(yīng)力τ'，且τ'=τ,如圖10?6c所示。微段梁上的應(yīng)力情況如圖6?6b所示。(b)dxdx(c)yττ′yz第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日得（a）由以FN1、FN2分別代表作用在脫離體左側(cè)面、右側(cè)面上法向內(nèi)力的總和，dFS代表水平截面上切應(yīng)力的總和，如圖6?6d。dx(d)FN2FN1dFS其中（b）式中的A1是橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積（圖6?6e），是A1對中性軸的靜矩。bhzyA1(e)y第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日同樣有

（c）由于微段的長度很小，脫離體水平截面上的切應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布的，所以有（d）將FN1、FN2、dFS代入式（a），得經(jīng)整理得

（6－8）第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日式（6?8）即為矩形截面梁橫截面任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式。式中：FS為橫截面上的剪力；S

z*為面積A1對中性軸的靜矩；Iz橫截面對中性軸的慣性矩；b為截面的寬度。（6－8）對于矩形截面梁，由圖6?7a可知圖6?7τmax(b)bhzyA1(a)y將其代入式（6?8），可得第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日式中的A=bh是橫截面的面積。由此可見，矩形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力是截面上平均切應(yīng)力的1.5倍。此式表明矩形截面梁橫截面上切應(yīng)力沿梁高按二次拋物線形規(guī)律分布。在截面上、下邊緣（）處，τ=0，而在中性軸上（y=0）的切應(yīng)力有最大值，如圖5?7b。即τmax(b)bhzyA1(a)y第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例題6?5一矩形截面的簡支梁如圖所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F(xiàn)=3kN，求m?m截面上K點(diǎn)的切應(yīng)力。

解：先求出m?m截面上的剪力為3kN，截面對中性軸的慣性矩為

面積A*對中性軸的靜矩為

則K點(diǎn)的切應(yīng)力為習(xí)題6?5圖Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、工字形截面梁的切應(yīng)力

工字型截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的。1、腹板上的切應(yīng)力

由于腹板是狹長矩形，完全可以采用前述兩個(gè)假設(shè)，因此上節(jié)推導(dǎo)的切應(yīng)力的計(jì)算公式，對于工字型截面的腹板來講也是適用的，即式中：FS為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到截面邊緣間的面積對中性軸的靜矩；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；b1為腹板的厚度。

切應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖5?8a所示，仍是按拋物線規(guī)律分布，最大切應(yīng)力τmax仍發(fā)生在截面的中性軸上。

圖6－8第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日翼緣上的切應(yīng)力的情況比較復(fù)雜，既有平行于y軸的切應(yīng)力分量（豎向分量），也有與翼緣長邊平行的切應(yīng)力分量（水平分量）。當(dāng)翼緣的厚度很小時(shí)，豎向切應(yīng)力很小，一般不予考慮。翼緣上的水平切應(yīng)力可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布的，其計(jì)算公式仍與矩形截面的切應(yīng)力的形式相同，即式中FS為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積對中性軸的靜矩；Iz橫截面對中性軸的慣性矩；δ為翼緣的厚度。2、翼緣上的切應(yīng)力

圖6－8第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日

水平切應(yīng)力沿水平方向的分布如圖5?8b所示。實(shí)踐和理論推導(dǎo)已經(jīng)證明，在整個(gè)工字型截面上切應(yīng)力的方向可用圖5?8c表示。從圖中表示切應(yīng)力方向的許多小箭頭來看，它們好象是兩股沿截面流動的水流，從上（或下）翼緣的兩端開始，共同朝向中間流動，到腹板處匯合成一股，沿著腹板向下（或上）到下（或上）翼緣處再分為兩股向兩側(cè)流動。對所有的薄壁桿，其橫截面上切應(yīng)力的方向，都有這個(gè)特點(diǎn)。這種現(xiàn)象稱為切應(yīng)力流。掌握了切應(yīng)力流的特性，則不難由剪力的方向確定薄壁桿橫截面上切應(yīng)力的方向。

圖6－8第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、T字型截面梁的切應(yīng)力

T字型截面可以看成是由兩個(gè)矩形組成，下面的狹長矩形與工字形截面的腹板相似，該部分上的切應(yīng)力仍用下式計(jì)算：

最大切應(yīng)力仍然發(fā)生在截面的中性軸上。四、圓形及環(huán)形截面梁的切應(yīng)力

圓形截面

圓形及薄壁環(huán)形截面其最大豎向切應(yīng)力也都發(fā)生在中性軸上，并沿中性軸均勻分布，計(jì)算公式分別為式中FS為橫截面上的剪力，A為圓形截面的面積。

薄壁環(huán)型截面

式中FS為橫截面上的剪力，A為薄壁環(huán)型截面的面積。第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日五、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件

整個(gè)等截面梁來說，最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，即

（6－9）

為了保證梁的安全工作，梁在荷載作用下產(chǎn)生的最大切應(yīng)力不能超過材料的許用切應(yīng)力，即此式即為切應(yīng)力的強(qiáng)度條件。第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。一般情況下，梁的強(qiáng)度計(jì)算由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制。因此，按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)的截面常可使切應(yīng)力遠(yuǎn)小于許用切應(yīng)力。所以一般情況下，總是根據(jù)梁橫截面上的最大正應(yīng)力來設(shè)計(jì)截面，然后再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。但在少數(shù)情況下，梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起到控制作用。例如梁的跨度較短，或在支座附近作用有較大的荷載，因而使梁中出現(xiàn)的彎矩較小而剪力很大時(shí)；在鉚接或焊接的組合截面鋼梁中，其橫截面的腹板厚度與高度之比小于一般型鋼截面的相應(yīng)比值時(shí)。第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日解：（1）校核最大正應(yīng)力

彎矩圖如圖c所示，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩的截面上。查型鋼表可知例題6?6

一外伸工字型鋼梁如圖a所示。工字鋼的型號為22a，已知：l=6m，F(xiàn)=30kN，q=6kN/m，材料的許用應(yīng)力[σ]=170MPa，[τ]=100MPa,試校核梁的強(qiáng)度。

(a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b)FS圖12kN.m39kN.m(c)M圖例題6－6圖則最大正應(yīng)力（2）校核最大切應(yīng)力

剪力圖如圖b所示，最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大剪力的截面上。查型鋼表可知

則最大切應(yīng)力所以此梁安全。

第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日例題6?7圖a所示為一起重設(shè)備簡圖。已知起重量（包含電葫蘆自重）F=30KN，跨長l=5m。AB梁是由20a號的工字鋼組成，其許用應(yīng)[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa。試校核梁的強(qiáng)度。

lABF(a)ABF(b)37.5kN.m(c)ABF(d)FRAFRBFS,max(e)例題6－7圖解：（1）校核最大正應(yīng)力

在荷載處于最不利位置時(shí)，梁的彎矩圖如圖c，最大彎矩值為由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的Wz為則梁的最大正應(yīng)力（2）校核最大切應(yīng)力

校核切應(yīng)力時(shí)的最不利荷載位置如圖d所示，相應(yīng)的剪力圖如圖e。對于20a號工字鋼，利用型鋼表規(guī)格表查得于是梁的最大切應(yīng)力梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件均能滿足，所以梁是安全的。第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6－4梁的合理截面形狀及變截面梁一、梁的合理截面形式梁的合理截面形式是在截面面積相同的條件下具有較大的彎曲截面系數(shù)。矩形截面、正方形截面和圓形截面在截面面積相同條件下其合理性的比較。

dabhbh(a)(b)(c)(d)圖6－9

矩形和正方形的比較

說明此時(shí)矩形截面比同樣面積的正方形截面合理。當(dāng)時(shí)（圖5?9a）由hb=a2知從而即，，，，當(dāng)時(shí)（圖5?9b），可得，即，說明此時(shí)矩形截面不如同樣面積的正方形截面合理。第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日正方形和圓形的比較

由，得，于是這說明正方形截面比同樣面積圓形截面合