函數(shù)逼近與快速傅里葉變換

函數(shù)逼近與快速傅里葉變換1第一頁，共十四頁，2022年，8月28日本節(jié)內(nèi)容有理函數(shù)逼近有理逼近與連分式

Pade逼近三角函數(shù)逼近最佳平方逼近最小二乘

FFT（快速Fourier變換）2第二頁，共十四頁，2022年，8月28日有理逼近用有理函數(shù)來做函數(shù)逼近

有理逼近若函數(shù)在某些點(diǎn)附近無界時(shí)，則使用有理逼近可能會(huì)取得較好的逼近效果3第三頁，共十四頁，2022年，8月28日舉例例：Taylor展開連分式ex35.m4第四頁，共十四頁，2022年，8月28日Pade逼近設(shè)f(x)的Taylor展開為部分和記為Pade逼近設(shè)f(x)

CN+1(-a,a),N=m+n,

若有理函數(shù)其中Pn(x)與

Qm(x)無公因式，且滿足則稱Rnm(x)為f(x)在

x=0處的(n,m)階Pade逼近k=0,1,…,N5第五頁，共十四頁，2022年，8月28日三角多項(xiàng)式逼近在[0,2]

上帶權(quán)(x)=1

的正交三角函數(shù)族：

1，cosx，sinx，sin2x，cos2x，…三角函數(shù)逼近主要用于周期函數(shù)的數(shù)值逼近三角多項(xiàng)式逼近設(shè)f(x)是以2為周期的平方可積函數(shù)，則可利用上面的三角函數(shù)族對(duì)其進(jìn)行數(shù)值逼近。6第六頁，共十四頁，2022年，8月28日最佳平方三角逼近

f(x)以2為周期且平方可積，則其在[0,2]

上的最佳平方三角逼近為最佳平方三角逼近(k=0,1,…,n-1

)(k=1,2,…,n-1

)其中當(dāng)n

趨于無窮大時(shí)，Sn(x)即為f(x)的Fourier展開7第七頁，共十四頁，2022年，8月28日三角多項(xiàng)式逼近結(jié)論若

f’(x)在[0,2]

上分段連續(xù)，則8第八頁，共十四頁，2022年，8月28日最小二乘若只給出離散數(shù)據(jù)(

xj,yj)，其中則可類似地得到f(x)離散Fourier逼近(假定N=2m+1)(k=0,1,…,n-1

)(k=1,2,…,n-1

)其中n<m9第九頁，共十四頁，2022年，8月28日三角插值三角插值當(dāng)n=m

時(shí)可以證明故Sn(x)為f(x)在點(diǎn)集x0,x1,,xm上的三角插值(j=0,1,…,2m)10第十頁，共十四頁，2022年，8月28日DFT考慮在[0,2]

上帶權(quán)(x)=1

的正交三角函數(shù)族：這里的i

是虛部單位則在處的函數(shù)值為離散正交11第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日DFT則f(x)的最小二乘Fourier逼近為(n

m)(k=0,1,…,n-1

)其中設(shè)f(x)以2為周期的復(fù)函數(shù)，給定函數(shù)值(xj,yj)，其中離散Fourier變換當(dāng)n=N

時(shí)，Sn(x)即為f(x)在x0,x1,,xn-1

上的插值函數(shù)(j=0,1,…,N-1

)離散Fourier逆變換12第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日DFT令構(gòu)造矩陣性質(zhì)(1)性質(zhì)(2)13第十