分析力學,拉格朗日方程課件

第5章分析力學基礎振動理論及其應用5.1自由度和廣義坐標5.2虛位移原理5.3動能和勢能5.4D’Alembert原理

5.5Lagrange5.6哈密爾頓原理自由度

完全確定系統在任何瞬時位置所需的獨立坐標數稱為自由度。5.1自由度和廣義坐標

第5章分析力學基礎5.1自由度和廣義坐標

分析力學

分析力學是利用分析方法研究質點系平衡和運動問題的工具。它從能量的觀點，統一建立起系統動能、勢能和功之間的標量關系，是研究靜動力學問題的一個普遍、簡單又統一的方法。

廣義坐標

用某一組獨立坐標（參數）就能完全確定系統在任何瞬時的位置，則這組坐標稱為廣義坐標。

一般地，建立振動系統數學模型時廣義坐標的數目與自由度相等。約束

對質點在空間的運動所加的限制稱為約束。質點的自由度

質點在空間需要3個獨立坐標才能確定它在任何瞬時的位置，因此，它的自由度為3。n個毫不相干、無任何約束的質點組成的質系自由度為3n。第5章分析力學基礎5.1自由度和廣義坐標

剛體的自由度

一個剛體在空間需要6個獨立坐標才能確定其在任何瞬時的位置，因此它的自由度為6。m個無約束剛體組成的系統自由度為6m。振動系統的自由度振動系統力學模型中若有n個質點和m個剛體，那么它的自由度DOF必定滿足下列方程：DOF=3n+6m-（約束方程數）例5.2右圖表示由剛性桿l1和質量m1及剛性桿l2和質量m2組成的兩個單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內擺動，分析系統的自由度，并建立系統的廣義坐標。設剛性桿l1與x軸的夾角為q

1，剛性桿l2與x軸的夾角為q

2，方向如圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時的位置，q

1和q

2可以作為雙擺的廣義坐標。第5章分析力學基礎5.1自由度和廣義坐標

解由于雙擺只能在平面內擺動，因此，z1=0，z2=0，而雙擺的長度l1和l

2不變，即利用自由度DOF計算的公式，可得到雙擺的自由度為DOF＝３×２－４＝２

第5章分析力學基礎5.1自由度和廣義坐標

完整約束當約束方程本身或約束方程通過積分后可以用下式所示的形式表示時，稱為完整約束。顯然，例5.1和例5.2的約束都是完整約束。定常約束當約束方程與時間t無關時，稱為定常約束。例5.1和例5.2的約束都是定常約束。不完整約束當約束方程含有不能積分的速度項時，系統的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統，系統的自由度不等于廣義坐標數，自由度數小于廣義坐標數。第5章分析力學基礎5.1自由度和廣義坐標

不完整約束當約束方程含有不能積分的速度項時，系統的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統，系統的自由度不等于廣義坐標數，自由度數小于廣義坐標數。例5.3剛體A通過三個點放置在xoy平面上，其中的兩個接觸點可在平面上作無摩擦自由滑動，而P點有一個刀片，使其只能沿刀片方向移動，分析冰刀系統的廣義坐標和自由度。解由于剛體A在xoy平面中移動，因此需要三個廣義坐標(x,y和q)描述其在任意時刻的位置。而剛體A只能沿刀片方向移動，因此有約束方程：自由度數為2，小于廣義坐標數。第5章分析力學基礎5.2虛位移原理

虛位移原理受定常理想約束的質點系在某一位置平衡的必要與充分條件是：作用于質點系所有主動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。其數學表達式為:其中，Fi為作用于質點系的主動力，dri為虛位移。上式也稱為虛功方程。虛位移原理的另一種表述若系統有n個自由度，任意一點的坐標矢量可以用n個廣義坐標和時間t來表示，即：由于虛位移與時間無關，則有：代入虛功方程，得：第5章分析力學基礎5.2虛位移原理

對換求和的次序，得：其中，為與廣義坐標qk對應的廣義力。這樣，虛功方程可以寫成：由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當上式成立時，有：虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，n個自由度的系統達到平衡的充要條件是n個廣義力都等于零。第5章分析力學基礎5.3動能和勢能

動能

設質量為mi的質點在某位置時的速度是

，則質點在此位置的動能為

其中,若振動系統由p個質點組成，則系統的動能為

當系統具有定常約束時，各質點的坐標只是廣義坐標的函數，而不顯含時間t。系統的動能可寫成：改變求和的次序，得：第5章分析力學基礎5.3動能和勢能

勢能在線性系統中，勢能是廣義坐標的二次函數?？捎镁仃囆问奖硎境桑豪?.4右圖表示由剛性桿l1和質量m1及剛性桿l2和質量m2組成的兩個單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內擺動。求系統作微振動時的質量矩陣和剛度矩陣。解由于雙擺只能在平面內擺動，可取q

1和q

2為廣義坐標。并以平衡位置q

1＝q

2＝0作為勢能零點。則系統的勢能為其中，[K]為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對稱、半正定矩陣。微振動時，系統的勢能在平衡位置附近展開并保留廣義坐標的二次項：第5章分析力學基礎5.3動能和勢能

系統的動能為通常，系數mij一般不是常數，這里m12和m21是廣義坐標的函數當系統在平衡位置附近作小運動時，系數mij取其在平衡位置附近臺勞級數的第一項：則系統的動能可寫成第5章分析力學基礎5.3動能和勢能

將動能和勢能寫成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質量矩陣：第5章分析力學基礎5.5Lagrange方程Lagrange方程拉格朗日方程利用廣義坐標來描述非自由質點系的運動，這組方程以系統的動能、勢能、耗散函數和廣義力的形式出現，具有以下形式：Lagrange方程為非自由質點系的動力學問題提供了一個普遍、簡單又統一的方法。式中：L為Lagrange函數，它是系統動能V和勢能U之差，L=V-U。而和(i=1,2,…,n)是系統的廣義坐標和廣義速度；是耗散函數，其中cij為系統在廣義坐標qj方向有單位廣義速度時，在廣義坐標qi方向產生的阻尼力；Qi是在廣義坐標方向qi的廣義力，，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。和分別是對廣義坐標和對廣義速度求偏導數，是對時間求一次導數。第5章分析力學基礎5.5Lagrange方程例5.5右圖表示由剛性桿l1和質量m1及剛性桿l2和質量m2組成的兩個單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內擺動。求系統作微振動時的振動微分方程。解由于雙擺只能在平面內擺動，可取q

1和q

2為廣義坐標。并以平衡位置q

1＝q

2＝0作為勢能零點。由例5.4，系統的勢能與動能分別為：第5章分析力學基礎5.5Lagrange方程例5.5第5章分析力學基礎5.5Lagrange方程例5.5一般情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只有當雙擺作微振動時，將，代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項時系統的振動微分方程才是線性的。第5章分析力學基礎5.5Lagrange方程例5.5寫成矩陣的形式

一般情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只有當雙擺作微振動時，將，代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項時系統的振動微分方程才是線性的。第5章分析力學基礎5.5Lagrange方程例5.6圖示系統中質量M只能沿水平方向移動，一擺長為質量為l的單擺在O點與質量M鉸接，其他參數如圖。試列出系統作微振動的方程。質量M的速度：質量m的速度：

系統的動能系統的勢能Lagrange函數耗散函數其他非保守力所做的功解建立廣義坐標x和θ，坐標x的原點在系統靜平衡位置，方向向右為正。θ為擺桿轉角，逆時針方向為正，擺桿處于鉛垂位置時θ為零。系統靜平衡時勢能為零。

第5章分析力學基礎5.6哈密爾頓原理哈密爾頓原理是分析力學中的一個基本的變分原理，它提供了一條從一切可能發(fā)生的(約束所許可的)運動中判斷真正的(實際發(fā)生的)運動的準則。哈密爾頓原理在任何時間區(qū)段中，動力學系統的動能、變形能、阻尼力和外力所作功的一次變分為零時，所得到的才是真實的運動。其數學表達式為：對保守系統，哈密爾頓原理的表達式可簡化成：根據變分原理和動力學普遍方程可以證明哈密爾頓原理?？蓞⒖记迦A大學的“機械振動”(上冊)182頁－187頁。5－1質量為m、半徑為R的均質圓柱體，沿半徑為