力學(xué)舒幼生第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

力學(xué)舒幼生第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.1空間和時(shí)間時(shí)間和空間的測(cè)量

絕對(duì)時(shí)空觀絕對(duì)空間，就其本性來說，與任何外在的情況無關(guān)，始終保持著相似和不變。絕對(duì)的、純粹的數(shù)學(xué)的時(shí)間，就其本性來說，均勻地流逝而與任何外在的情況無關(guān)。

牛頓——《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》時(shí)間和空間的測(cè)量與物體的存在和運(yùn)動(dòng)沒有任何關(guān)系第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日參考物：選取的一個(gè)有固定大小和形狀的物體。相對(duì)參考物，可以確定其它物體的位置。參考空間：沿左右、前后、上下三對(duì)方向無限擴(kuò)展，構(gòu)成三維平直空間參考系：參考空間+測(cè)量時(shí)間的時(shí)鐘坐標(biāo)系：在參考空間中任選一點(diǎn)作為原點(diǎn)，可建立各種坐標(biāo)系。時(shí)間的零點(diǎn)也可任選xzyO參考系第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日相對(duì)運(yùn)動(dòng)的參考系兩個(gè)參考系之間若有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，他們觀測(cè)同一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體是否會(huì)得到相同的距離和時(shí)間？xzyO第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日由繁到簡(jiǎn)將物體模型化為一個(gè)點(diǎn)——質(zhì)點(diǎn)由簡(jiǎn)到繁質(zhì)點(diǎn)——質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)5第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.2直線運(yùn)動(dòng)1.2.1位移速度加速度直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程位移矢量的標(biāo)量化：引入正負(fù)號(hào)即可表示方向6第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日平均速度和瞬時(shí)速度txOPQ切線割線平均速度瞬時(shí)速度某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)將該點(diǎn)的函數(shù)值與它相鄰的函數(shù)值聯(lián)系起來求導(dǎo)?

積分歷史上，正是由于牛頓在處理這類基本力學(xué)問題時(shí)需要一種適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，才促使他創(chuàng)建了微積分。7第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日平均速度不能反映各個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度加速度瞬時(shí)速度8第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日如果已知加速度隨時(shí)間的變化質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：質(zhì)點(diǎn)的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：9第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日例題物體在t0時(shí)刻的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為(x0,v0)，加速度求t時(shí)刻的位置和速度先求t時(shí)刻的速度微分關(guān)系式兩邊積分10第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日再求t時(shí)刻的位置微分關(guān)系式兩邊積分物體運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)與積分常數(shù)一一對(duì)應(yīng)11第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.2.2三類直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)可按加速度為零、常量和變量分為：勻速、勻加速和變加速例簡(jiǎn)諧振動(dòng)12第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日例小球A在傾角為φ的光滑斜面頂部從靜止下滑，同時(shí)小球B在斜面底部從靜止開始勻加速離開斜面。若A不能追上B，試求B的加速度a的取值范圍。AB分析：a越小，A越能追上B，先求A恰能追上B的加速度臨界值。設(shè)A滑到底部的速度為vA，所用時(shí)間為t1經(jīng)t2時(shí)間，A恰能追上B的條件路程速度B的加速度a的取值范圍13第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3平面曲線運(yùn)動(dòng)直角坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系極坐標(biāo)系14第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3.1直角坐標(biāo)系分解在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平面上建立直角坐標(biāo)系OxyxyOP位置矢量質(zhì)點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)方程這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程有兩個(gè)分量式平面曲線運(yùn)動(dòng)可正交地分解為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)15第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日xyOPQ速度t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于P處，位置矢量t+dt時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q處，位矢位移加速度16第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日例空心入籃Oxy水平線xAA拋射角無極大值，但有極小值極小值對(duì)應(yīng)的拋射角17第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3.2自然坐標(biāo)系分解自由度：確定物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。限定在一條曲線上運(yùn)動(dòng)：限定在圓周上運(yùn)動(dòng)：曲面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)最多有兩個(gè)自由度18第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)角速度角加速度圓周運(yùn)動(dòng)加速度可分解為速度與速度垂直，改變速度方向與速度平行，改變速度大小19第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日無限小角位移矢量⊙初、末態(tài)矢量與轉(zhuǎn)動(dòng)正方向滿足右手螺旋法則無限小角位移與有限角位移的區(qū)別？20第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日有限角位移不是矢量不滿足矢量加法的交換律21第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日角速度角加速度⊙角速度和角加速度都沿轉(zhuǎn)軸的方向無限小角位移是矢量22第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)動(dòng)引起的無限小位移速度加速度⊙23第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日曲線的曲率和曲率半徑曲率曲率半徑曲率正比于轉(zhuǎn)過的角度，反比于經(jīng)過的路程。24第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系的兩個(gè)正交基矢沿速度方向指向曲率圓的圓心加速度在自然坐標(biāo)系中的分解切向單位矢量法向單位矢量第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日計(jì)算曲率半徑的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法（1）假設(shè)一種沿曲線的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)（2）計(jì)算各點(diǎn)的速度（3）計(jì)算各點(diǎn)的加速度（4）計(jì)算與速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）計(jì)算曲率半徑26第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日例橢圓半長(zhǎng)軸和半短軸處的曲率半徑AB假設(shè)一沿軌道的運(yùn)動(dòng)求速度和加速度求向心加速度在(A,0)處在(0,B)處代入公式，曲率半徑27第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3.3極坐標(biāo)系分解極坐標(biāo)系基矢任意矢量的分解與直角坐標(biāo)系的變換28第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日正交基矢與極坐標(biāo)的微分關(guān)系正交基矢只依賴，與r

無關(guān)當(dāng)θ變化時(shí)，正交基矢同時(shí)改變方向滿足微分關(guān)系29第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日極坐標(biāo)系中位置矢量、速度和加速度的表示位置矢量速度徑向速度橫向速度30第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日徑向速度橫向速度徑向速度依賴r隨時(shí)間的變化和徑向基矢橫向速度依賴r、θ隨時(shí)間的變化和橫向基矢當(dāng)r和θ隨時(shí)間變化時(shí)，徑向速度的變化包含兩項(xiàng)橫向速度的變化包含三項(xiàng)徑向基矢和橫向基矢依賴θ31第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日徑向速度大小的變化徑向速度方向的變化r增大引起橫向速度的變化角速度增大引起橫向速度的變化橫向速度方向的變化32第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日徑向加速引起橫向旋轉(zhuǎn)引起徑向變化與橫向旋轉(zhuǎn)共同引起加速旋轉(zhuǎn)引起加速度33第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日平面極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程在平面上，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程在極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間參量t，得到極坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道方程若已知徑向速度與橫向速度，利用通過積分，可以得到軌道方程34第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日例狐貍沿圓周跑，狗從圓心出發(fā)，速度都為v，圓心、狗、狐貍始終連成一直線。求狗的速度、加速度和軌道方程。狐貍的角速度狗有橫向和縱向速度狗的橫向和縱向加速度軌道方程35第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日r例四點(diǎn)追擊四支狗開始位于邊長(zhǎng)為l的正方形四個(gè)頂點(diǎn)上，追擊速度v保持不變，求開始時(shí)狗的加速度、相遇的時(shí)間和軌道方程。分析：四支狗始終成一正方形經(jīng)過時(shí)間間隔dt加速度沿徑矢的分速度不變相遇的時(shí)間36第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.4空間曲線運(yùn)動(dòng)1.4.1質(zhì)點(diǎn)的空間曲線運(yùn)動(dòng)xyOPQzxyz質(zhì)點(diǎn)的位置矢量運(yùn)動(dòng)方程可分解成三個(gè)直線運(yùn)動(dòng)方程37第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日位移速度加速度38第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.4.2質(zhì)點(diǎn)系和剛體的空間運(yùn)動(dòng)物體的形狀不可忽略若物體內(nèi)各個(gè)點(diǎn)部位的運(yùn)動(dòng)相同，整個(gè)物體可近似為質(zhì)點(diǎn)。若物體內(nèi)各個(gè)點(diǎn)部位的運(yùn)動(dòng)不相同，將它分解成一系列無窮小部位，每個(gè)小部位可處理為質(zhì)點(diǎn)，物體→質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)系是普適性的系統(tǒng)模型39第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的自由度剛體的平動(dòng)剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在空間中自由運(yùn)動(dòng)，有三個(gè)自由度。寵辱不驚，閑看庭前花開花落；去留無意，漫隨天外云卷云舒。40第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.5參考系間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)1.5.1參考系間的平動(dòng)zy'OPxyz'O'x'S'系S系兩個(gè)參考系觀測(cè)同一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間位置矢量41第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日平動(dòng)：參考系S'

的基矢相對(duì)參考系S不變，參考系S'

的基矢不隨時(shí)間變化。位置矢量速度加速度42第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.5.2參考系間的勻速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)y'OPxyO'x'S'系S系⊙轉(zhuǎn)動(dòng)參考系：相對(duì)S系，S'系繞著它的某一點(diǎn)O'勻速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)角速度沿z軸方向。兩個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)和z軸重合在兩個(gè)坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P的速度加速度位置矢量43第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日y'OPxyO'x'S'系S系⊙質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)S'系靜止，相對(duì)S系作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在S'系質(zhì)點(diǎn)P的速度、加速度皆為零在S系質(zhì)點(diǎn)P的速度為rω，沿切向。加速度為rω2，指向原點(diǎn)。若質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)S'系運(yùn)動(dòng)，速度、加速度的變換關(guān)系就更為復(fù)雜。44第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日y'OPxyO'x'S'系S系⊙相對(duì)S系，它自己的基矢是靜止不變的；但S'的基矢由于轉(zhuǎn)動(dòng)是隨時(shí)間變化的。坐標(biāo)關(guān)系45第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日加速度的推導(dǎo)非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)46第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日y'OPxyO'x'S'系S系⊙質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)S'系靜止，相對(duì)S系作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在S'系質(zhì)點(diǎn)P的速度、加速度皆為零在S系速度、加速度的大小和方向與質(zhì)點(diǎn)P在S系中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)一致47第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.5.2參考系中質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)在參考系S中，質(zhì)點(diǎn)B相對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)不能作為運(yùn)動(dòng)參考物，不能建立相應(yīng)的參考空間和參考系z(mì)OBxyAS系在參考系S中，可分別測(cè)量質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)、質(zhì)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)。B相對(duì)A的運(yùn)動(dòng)B點(diǎn)相對(duì)S系的運(yùn)動(dòng)=B點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)+A點(diǎn)相對(duì)S系的運(yùn)動(dòng)或B的運(yùn)動(dòng)=B相對(duì)A的運(yùn)動(dòng)+A的運(yùn)動(dòng)48第四十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日例直角三角板的邊長(zhǎng)如圖示，開始時(shí)，斜邊靠在y軸上，使A點(diǎn)單調(diào)地朝O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。（1）AC平行x軸時(shí)，A點(diǎn)速度為vA，求C點(diǎn)的速度和加速度。（2）A運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，求C點(diǎn)通過的路程。OxyAabBCOxyAabBCOxyAabBC49第四十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日OxyAabBC（1）C點(diǎn)的速度和加速度C點(diǎn)的速度=C相對(duì)A的速度+A的速度C點(diǎn)速度的x分量C點(diǎn)速度的y分量C點(diǎn)的加速度=C相對(duì)A的加速度+A的加速度C點(diǎn)的加速度=C相對(duì)B的加速度+B的加速度50第五十頁，共五十三頁，2022年，8月28日OxyAabBCO、A、B、C四點(diǎn)共圓，OC的方向不變。A、C兩點(diǎn)的速度沿CA邊的分量相等C點(diǎn)先遠(yuǎn)離O點(diǎn)、靜止、再靠近O點(diǎn)51第五十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日例三根細(xì)桿在一平面內(nèi)相連，并可繞連接處轉(zhuǎn)動(dòng)。A、D是兩個(gè)轉(zhuǎn)軸。當(dāng)AB桿以角速度轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，求此時(shí)C點(diǎn)加速度的大小和