力學(xué)舒幼生第一章質(zhì)點運動學(xué)

力學(xué)舒幼生第一章質(zhì)點運動學(xué)1第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.1空間和時間時間和空間的測量

絕對時空觀絕對空間，就其本性來說，與任何外在的情況無關(guān)，始終保持著相似和不變。絕對的、純粹的數(shù)學(xué)的時間，就其本性來說，均勻地流逝而與任何外在的情況無關(guān)。

牛頓——《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》時間和空間的測量與物體的存在和運動沒有任何關(guān)系第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日參考物：選取的一個有固定大小和形狀的物體。相對參考物，可以確定其它物體的位置。參考空間：沿左右、前后、上下三對方向無限擴展，構(gòu)成三維平直空間參考系：參考空間+測量時間的時鐘坐標系：在參考空間中任選一點作為原點，可建立各種坐標系。時間的零點也可任選xzyO參考系第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日相對運動的參考系兩個參考系之間若有相對運動，他們觀測同一個運動物體是否會得到相同的距離和時間？xzyO第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日由繁到簡將物體模型化為一個點——質(zhì)點由簡到繁質(zhì)點——質(zhì)點系質(zhì)點5第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.2直線運動1.2.1位移速度加速度直線運動的運動方程位移矢量的標量化：引入正負號即可表示方向6第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日平均速度和瞬時速度txOPQ切線割線平均速度瞬時速度某一點的導(dǎo)數(shù)將該點的函數(shù)值與它相鄰的函數(shù)值聯(lián)系起來求導(dǎo)?

積分歷史上，正是由于牛頓在處理這類基本力學(xué)問題時需要一種適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，才促使他創(chuàng)建了微積分。7第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日平均速度不能反映各個時刻的運動瞬時速度，簡稱速度加速度瞬時速度8第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日如果已知加速度隨時間的變化質(zhì)點的運動狀態(tài)：質(zhì)點的初始運動狀態(tài)：9第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日例題物體在t0時刻的初始運動狀態(tài)為(x0,v0)，加速度求t時刻的位置和速度先求t時刻的速度微分關(guān)系式兩邊積分10第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日再求t時刻的位置微分關(guān)系式兩邊積分物體運動的初始狀態(tài)與積分常數(shù)一一對應(yīng)11第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.2.2三類直線運動直線運動可按加速度為零、常量和變量分為：勻速、勻加速和變加速例簡諧振動12第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日例小球A在傾角為φ的光滑斜面頂部從靜止下滑，同時小球B在斜面底部從靜止開始勻加速離開斜面。若A不能追上B，試求B的加速度a的取值范圍。AB分析：a越小，A越能追上B，先求A恰能追上B的加速度臨界值。設(shè)A滑到底部的速度為vA，所用時間為t1經(jīng)t2時間，A恰能追上B的條件路程速度B的加速度a的取值范圍13第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3平面曲線運動直角坐標系自然坐標系極坐標系14第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3.1直角坐標系分解在質(zhì)點運動的平面上建立直角坐標系OxyxyOP位置矢量質(zhì)點的平面曲線運動方程這個運動方程有兩個分量式平面曲線運動可正交地分解為兩個直線運動15第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日xyOPQ速度t時刻質(zhì)點位于P處，位置矢量t+dt時刻質(zhì)點運動到Q處，位矢位移加速度16第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日例空心入籃Oxy水平線xAA拋射角無極大值，但有極小值極小值對應(yīng)的拋射角17第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3.2自然坐標系分解自由度：確定物體的運動狀態(tài)所需的獨立坐標的數(shù)目。限定在一條曲線上運動：限定在圓周上運動：曲面上運動的質(zhì)點最多有兩個自由度18第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日圓周運動角速度角加速度圓周運動加速度可分解為速度與速度垂直，改變速度方向與速度平行，改變速度大小19第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日無限小角位移矢量⊙初、末態(tài)矢量與轉(zhuǎn)動正方向滿足右手螺旋法則無限小角位移與有限角位移的區(qū)別？20第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日有限角位移不是矢量不滿足矢量加法的交換律21第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日角速度角加速度⊙角速度和角加速度都沿轉(zhuǎn)軸的方向無限小角位移是矢量22第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)動引起的無限小位移速度加速度⊙23第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日曲線的曲率和曲率半徑曲率曲率半徑曲率正比于轉(zhuǎn)過的角度，反比于經(jīng)過的路程。24第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日自然坐標系自然坐標系的兩個正交基矢沿速度方向指向曲率圓的圓心加速度在自然坐標系中的分解切向單位矢量法向單位矢量第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日計算曲率半徑的運動學(xué)方法（1）假設(shè)一種沿曲線的簡單運動（2）計算各點的速度（3）計算各點的加速度（4）計算與速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）計算曲率半徑26第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日例橢圓半長軸和半短軸處的曲率半徑AB假設(shè)一沿軌道的運動求速度和加速度求向心加速度在(A,0)處在(0,B)處代入公式，曲率半徑27第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.3.3極坐標系分解極坐標系基矢任意矢量的分解與直角坐標系的變換28第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日正交基矢與極坐標的微分關(guān)系正交基矢只依賴，與r

無關(guān)當θ變化時，正交基矢同時改變方向滿足微分關(guān)系29第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日極坐標系中位置矢量、速度和加速度的表示位置矢量速度徑向速度橫向速度30第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日徑向速度橫向速度徑向速度依賴r隨時間的變化和徑向基矢橫向速度依賴r、θ隨時間的變化和橫向基矢當r和θ隨時間變化時，徑向速度的變化包含兩項橫向速度的變化包含三項徑向基矢和橫向基矢依賴θ31第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日徑向速度大小的變化徑向速度方向的變化r增大引起橫向速度的變化角速度增大引起橫向速度的變化橫向速度方向的變化32第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日徑向加速引起橫向旋轉(zhuǎn)引起徑向變化與橫向旋轉(zhuǎn)共同引起加速旋轉(zhuǎn)引起加速度33第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日平面極坐標系中質(zhì)點運動的軌道方程在平面上，質(zhì)點的運動方程在極坐標系中，質(zhì)點的運動方程消去時間參量t，得到極坐標系中的質(zhì)點運動軌道方程若已知徑向速度與橫向速度，利用通過積分，可以得到軌道方程34第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日例狐貍沿圓周跑，狗從圓心出發(fā)，速度都為v，圓心、狗、狐貍始終連成一直線。求狗的速度、加速度和軌道方程。狐貍的角速度狗有橫向和縱向速度狗的橫向和縱向加速度軌道方程35第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日r例四點追擊四支狗開始位于邊長為l的正方形四個頂點上，追擊速度v保持不變，求開始時狗的加速度、相遇的時間和軌道方程。分析：四支狗始終成一正方形經(jīng)過時間間隔dt加速度沿徑矢的分速度不變相遇的時間36第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.4空間曲線運動1.4.1質(zhì)點的空間曲線運動xyOPQzxyz質(zhì)點的位置矢量運動方程可分解成三個直線運動方程37第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日位移速度加速度38第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.4.2質(zhì)點系和剛體的空間運動物體的形狀不可忽略若物體內(nèi)各個點部位的運動相同，整個物體可近似為質(zhì)點。若物體內(nèi)各個點部位的運動不相同，將它分解成一系列無窮小部位，每個小部位可處理為質(zhì)點，物體→質(zhì)點系力學(xué)中質(zhì)點系是普適性的系統(tǒng)模型39第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日剛體的運動剛體的自由度剛體的平動剛體的定點轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)點在空間中自由運動，有三個自由度。寵辱不驚，閑看庭前花開花落；去留無意，漫隨天外云卷云舒。40第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.5參考系間的相對運動1.5.1參考系間的平動zy'OPxyz'O'x'S'系S系兩個參考系觀測同一質(zhì)點的運動時間位置矢量41第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日平動：參考系S'

的基矢相對參考系S不變，參考系S'

的基矢不隨時間變化。位置矢量速度加速度42第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.5.2參考系間的勻速定軸轉(zhuǎn)動y'OPxyO'x'S'系S系⊙轉(zhuǎn)動參考系：相對S系，S'系繞著它的某一點O'勻速定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動角速度沿z軸方向。兩個坐標系的原點和z軸重合在兩個坐標系中質(zhì)點P的速度加速度位置矢量43第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日y'OPxyO'x'S'系S系⊙質(zhì)點P相對S'系靜止，相對S系作勻速圓周運動。在S'系質(zhì)點P的速度、加速度皆為零在S系質(zhì)點P的速度為rω，沿切向。加速度為rω2，指向原點。若質(zhì)點P相對S'系運動，速度、加速度的變換關(guān)系就更為復(fù)雜。44第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日y'OPxyO'x'S'系S系⊙相對S系，它自己的基矢是靜止不變的；但S'的基矢由于轉(zhuǎn)動是隨時間變化的。坐標關(guān)系45第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日加速度的推導(dǎo)非勻速轉(zhuǎn)動46第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日y'OPxyO'x'S'系S系⊙質(zhì)點P相對S'系靜止，相對S系作勻速圓周運動。在S'系質(zhì)點P的速度、加速度皆為零在S系速度、加速度的大小和方向與質(zhì)點P在S系中作勻速圓周運動一致47第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.5.2參考系中質(zhì)點間的相對運動在參考系S中，質(zhì)點B相對質(zhì)點A的運動一個質(zhì)點不能作為運動參考物，不能建立相應(yīng)的參考空間和參考系zOBxyAS系在參考系S中，可分別測量質(zhì)點A的運動、質(zhì)點B的運動。B相對A的運動B點相對S系的運動=B點相對A點的運動+A點相對S系的運動或B的運動=B相對A的運動+A的運動48第四十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日例直角三角板的邊長如圖示，開始時，斜邊靠在y軸上，使A點單調(diào)地朝O點運動。（1）AC平行x軸時，A點速度為vA，求C點的速度和加速度。（2）A運動到原點時，求C點通過的路程。OxyAabBCOxyAabBCOxyAabBC49第四十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日OxyAabBC（1）C點的速度和加速度C點的速度=C相對A的速度+A的速度C點速度的x分量C點速度的y分量C點的加速度=C相對A的加速度+A的加速度C點的加速度=C相對B的加速度+B的加速度50第五十頁，共五十三頁，2022年，8月28日OxyAabBCO、A、B、C四點共圓，OC的方向不變。A、C兩點的速度沿CA邊的分量相等C點先遠離O點、靜止、再靠近O點51第五十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日例三根細桿在一平面內(nèi)相連，并可繞連接處轉(zhuǎn)動。A、D是兩個轉(zhuǎn)軸。當AB桿以角速度轉(zhuǎn)到豎直位置時，求此時C點加速度的大小和