功機(jī)械能守恒

功機(jī)械能守恒1第一頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日功在直角坐標(biāo)系中的表示由合力的功若幾個(gè)力同時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上即：合力的功等于各分力所作功的代數(shù)和。功率2第二頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日例1.一質(zhì)量為m的小球豎直落入水中,剛接觸水面時(shí)其速率為v0.設(shè)球在水中所受浮力與重力相等,水的阻力為Fr=

-bv,b為一常量.求阻力對(duì)球的功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解:取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為Ox軸正向.水的阻力作功為即由牛頓運(yùn)動(dòng)定律故3第三頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日§2.42.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在合外力F的作用下,從點(diǎn)1沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2，1?2?F?其在A、B點(diǎn)的速率分別為v1和v2v1v2力F作的元功為dr又因?yàn)楣史e分后有定義：為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。上式表明：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功,等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量—?jiǎng)幽芏ɡ?說明1.功是過程量,動(dòng)能是狀態(tài)量.功是動(dòng)能狀態(tài)變化的量度.2.該定理適用于慣性系,且只能應(yīng)用于同一慣性系.4第四頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日例題2.0已知質(zhì)量m=1.0Kg，0=30o由靜止?fàn)顟B(tài)開始下落.求10o時(shí),小球的速率v解:小球在任意時(shí)刻受重力P與拉力T.PT外力作功dr且cos=sin,ds=-ld代積分上下限由動(dòng)能定理因?yàn)関0=0代入數(shù)據(jù)l=1m,0=30o,=10o所以

v=1.53m/s5第五頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日例2.10一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無摩擦地滑動(dòng),t=0時(shí)物體靜止于原點(diǎn).(1)若物體在力F=3+4t

N作用下運(yùn)動(dòng)了3s,它的速度增為多大;(2)物體在力F=3+4xN作用下移動(dòng)了3m,它的速度增為多大.解:(1)由動(dòng)量定理(2)由動(dòng)能定理6第六頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日§2.4.3保守力與非保守力勢(shì)能一、萬有引力、重力、彈性力作功的特點(diǎn)1.重力作功xyP質(zhì)量為m的物體在重力作用下,沿acb,重力P對(duì)物體作功為a??b?cdA=P·drdr故：y1y2上式表明：重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。7第七頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日2.萬有引力作功質(zhì)點(diǎn)m受到M(固定不動(dòng))的萬有引力M?mrr+drdrer為沿r的單位矢量er則萬有引力作功為:如圖erdrdr所以積分:rAABrB可見,萬有引力作功也只取決于質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置而與所經(jīng)過的路徑無關(guān).8第八頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日3.彈力作功Fmox質(zhì)量為m的物體與一彈簧相連,設(shè)O為平衡點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位移為x時(shí)x質(zhì)點(diǎn)受彈性力為F=-kxi彈性力作功為彈簧由x1x2時(shí)xFdAdxx1x2可見對(duì)在彈性限度內(nèi),具有勁度系數(shù)為k的彈簧來說.彈性力所作的功也只由彈簧起始和終了位置決定,而與彈性形變的過程無關(guān).9第九頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日二.保守力與非保守力保守作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式

保守力與非保守力作功只與物體的始末位置有關(guān),與路徑無關(guān)的力叫保守力.保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)一物體在保守力作用下從點(diǎn)A沿路徑ACB運(yùn)動(dòng)到B.或沿路徑ADB運(yùn)動(dòng)到B.ACBD有而則=0物體沿任意閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí),保守力所作的功為零.保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式.非保守力作功則一定有10第十頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日例2.9質(zhì)點(diǎn)受外力F=(y2-x2)i+3xyj,求質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,4)的過程中力F做的功.(1)先沿x軸由點(diǎn)(0,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,0),再平行y軸由點(diǎn)(2,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,4);(2)沿連接(0,0),(2,4)兩點(diǎn)的直線;(3)沿拋物線y=x2由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,4).解:(1)由圖所示x·(2,4)y先沿x軸從02,則y=0,dy=0再平行于y軸從04,x=2,dx=0總功為11第十一頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)第2條路徑為直線，直線方程為y=2xx·(2,4)y(3)第3條路徑為拋物線y=x2可見做功與路徑有關(guān)，為非保守力12第十二頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日三.勢(shì)能重力作功萬有引力作功彈力作功可寫為統(tǒng)一的一般形式EP為物體的勢(shì)能.此時(shí)有三種勢(shì)能重力勢(shì)能引力勢(shì)能彈性勢(shì)能保守力作對(duì)物體作的功等于物體勢(shì)能增量的負(fù)值.13第十三頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日2.4.4質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理與功能原理一.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理對(duì)單一質(zhì)點(diǎn)有A=Ek-Ek0對(duì)質(zhì)點(diǎn)系(多個(gè)質(zhì)點(diǎn))則有系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)初動(dòng)能和是這些質(zhì)點(diǎn)末動(dòng)能和是作用在各質(zhì)點(diǎn)上的力所作功之和.即作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功.等于該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量若作用于質(zhì)點(diǎn)的力可分為系統(tǒng)外的力與系統(tǒng)內(nèi)的力，則內(nèi)=A外+A內(nèi)則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的一切外力作的功與一切內(nèi)力所作的功之和。A外+A內(nèi)14第十四頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日二、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理A內(nèi)又可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力A內(nèi)=A內(nèi)保+A內(nèi)非而即系統(tǒng)內(nèi)保守力作功等于勢(shì)能增量的負(fù)值。則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理為A外+A內(nèi)保+A內(nèi)非則進(jìn)一步變?yōu)锳外+A內(nèi)非令叫系統(tǒng)的機(jī)械能.則:A外+A內(nèi)非=E-E0機(jī)械能的增量,等于外力與非保守內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作功之和.——質(zhì)點(diǎn)系的功能原理注意：A外是質(zhì)點(diǎn)系的外力作功之和,不是合外力的功。A內(nèi)保15第十五頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日m原點(diǎn)O處勢(shì)能為零P53.例2.12

一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k,斜面傾角為，今將物塊由彈簧的自然長(zhǎng)度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置？xoy解：取彈簧自然伸長(zhǎng)為原點(diǎn)在物塊向上滑至x處時(shí)由功能原理物塊靜止時(shí)v=0可解得16第十六頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日2.4.5機(jī)械能守恒定律當(dāng)A外=0,A內(nèi)非=0時(shí)，有E=E0即：或即Ek=-EP當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力不作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒?；蛘f在滿足機(jī)械能守恒條件下，動(dòng)能的增量必等于勢(shì)能的減少。在封閉系統(tǒng)內(nèi)，不論發(fā)生何種變化過程，各種形式的能量可以互相轉(zhuǎn)化，但能量的總和是恒量。

——能量守恒定律從功能關(guān)系可見：功是能量變換或變化的一種量度。17第十七頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日例1：如圖,一雪橇從高度為50m的山頂上點(diǎn)A沿冰道由靜止下滑.坡道AB長(zhǎng)500m.雪橇在水平冰道繼續(xù)滑行若干米后停止在C.若摩擦系數(shù)為0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.A?BC解:坡道上受力分析如圖PFNFf以雪橇、冰道、地球?yàn)橄到y(tǒng),非保守內(nèi)力只有摩擦力作功h由功能原理A=A1+A2=(EP2+Ek2)–(EP1+Ek1)已知EP1=mgh,Ek1=0,在C點(diǎn)EP2=0,Ek2=0在坡道上=-smgcos-mgs平道上A2=-mgs所以-mgh=-mg(s+s)=500m18第十八頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日例2.15、航天器的宇宙速度1.人造衛(wèi)星第一宇宙速度衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的發(fā)射速度v設(shè)衛(wèi)星以v1豎直發(fā)射,在高度h處以v作勻速圓周運(yùn)動(dòng)以地球,衛(wèi)星為系統(tǒng)機(jī)械能守恒:整理:由牛頓定律和萬有引力定律得令因?yàn)閔?RE此時(shí)19第十九頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日2人造行星第二宇宙速度衛(wèi)星脫離地球,成為太陽系的行星.此時(shí)衛(wèi)星離地球無限遠(yuǎn).EP=0若此時(shí)動(dòng)能也為零,Ek=0則總機(jī)械能E=EP+Ek=0設(shè)物體發(fā)射最小速度為v2由機(jī)械能守恒:解得v2為第二宇宙速度.若發(fā)射速度大于v2則E>0此時(shí)衛(wèi)星繞太陽作橢圓運(yùn)動(dòng),成為人造行星能量與以地球?yàn)閰⒖枷档年P(guān)系如下:E<0E=0拋物線E>0雙曲線20第二十頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日3.飛出太陽系