微積分上chapter26微分中值定理

Chapter2(6)2．2．1微分中值定理教學(xué)要求：1.理解Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理;2.了解Cauchy中值定理;3.會(huì)用微分中值定理證明等式和不等式.一.函數(shù)極值的概念定義:極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).注意：

(1)極值點(diǎn)指的是橫坐標(biāo)x，極值指的是函數(shù)值f(x).(2)極值點(diǎn)必須在區(qū)間的內(nèi)部.(3)極值是局部性質(zhì),

而最值是全局性質(zhì).如圖(4)極小值不一定比極大值小.(5)區(qū)間內(nèi)部的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；反之不一定成立.二.Fermat定理定理1.Proof.三.Rolle定理定理2.

幾何意義:Rolle定理指出在兩個(gè)高度相同的點(diǎn)之間的一段連續(xù)曲線上,若除端點(diǎn)外,它在每一點(diǎn)都有不垂直于x

軸的切線,則在其中必有一條切線平行于x

軸.Proof.(1)若M=m,定理的條件是充分的，但非必要.不滿足條件有可能結(jié)論不成立.如圖注意:區(qū)間內(nèi)有不連續(xù)點(diǎn)端點(diǎn)b處不連續(xù)區(qū)間內(nèi)有不可導(dǎo)點(diǎn)推論:Example1.Solution.Example2.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)Example3.Proof.由Rolle定理，得Example4.分析：Proof.由Rolle定理得:證明在(a,b)內(nèi)方程Example5.Proof.（反證法）四.Lagrange中值定理定理3.幾何意義:Lagrange中值定理指出若曲線

y=f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都有不平行于y軸的切線,則在曲線上至少存在一點(diǎn)P(,f()),使曲線在P的切線平行于過曲線兩端點(diǎn)A,B的弦.分析.Proof.由Rolle定理得,注意:從而Lagrange中值公式可寫為稱為有限增量定理.(3)Lagrange中值公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.推論1.推論2.推論3.Example6.Proof.Example7.Proof.利用Lagrange中值定理證明不等式時(shí),由Lagrange中值定理,則注意:五.Cauchy中值定理定理4.幾何意義:Cauchy中值定理指出在定理?xiàng)l件下,用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn),它的切線平行于兩端點(diǎn)的連線.分析:Proof.由Rolle定理得,注意:(2)Cauchy中值定理能否用如下方法證明,為什么?對(duì)f(x),g(x)分別應(yīng)用Lagrange中值定理后相比得結(jié)論.Example8.若ab>0,分析:Proof.設(shè)0<a<b,顯然,f(x),g(x)滿足Cauchy中值定理的條件.由Cauchy中值定理,Example9.

試證至少存在一點(diǎn)使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,令因此即分析:Example9..

試證至少存在一點(diǎn)使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理