溫州中學(xué)提前招生數(shù)學(xué)模擬

2015年溫州中學(xué)提前招生模擬一一、選擇題：（每小題6分，共36分）1、若實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0,abc=2,c>0，則下列正確的是（ ）A、ab<0 b、IaI+1bl>2c、IaI+1bl>4 d、0<1aI+1bl<12、一枚普通骰子被擲3次，若前兩次所擲點(diǎn)數(shù)之和等于第3次的點(diǎn)數(shù)，則擲得點(diǎn)數(shù)至少有一次是2的概率是（）A、B、815A、B、815c、D、7123、已知m是質(zhì)數(shù)，x、y均為整數(shù)，則方程Ix+yI+，JX^=m的解的個(gè)數(shù)是（A、2 B、4 C、5 D、無數(shù)個(gè)4、已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像為直線l，直線l過點(diǎn)P（2,1）且與x,y軸的正半軸分別交TOC\o"1-5"\h\z于A,B兩點(diǎn)，若直線l與x、y軸圍成的三角形的面積為5,則這樣的直線l共有（ ）_名

姓A、1條B、2條C、3條D、_名

姓5、若干個(gè)棱長(zhǎng)為2、3、5的長(zhǎng)方體,依相同方向拼成棱長(zhǎng)為90的正方體,則正方體的一條對(duì)角線貫穿的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)是（）A、64 B、66 C、68 D、70. - a2+b2—-一6、已知實(shí)數(shù)a,b，若a>b， -=2<2，則ab的最大值是（ ）a一b_級(jí)

班A、1 B、￡2C、2 D、_級(jí)

班二、填空題：（每小題6分,共36分）A貝sin—二7、已知、；x+\.’7=v'2009，且0<x<y，則滿足上式的整數(shù)對(duì)（x，yA貝sin—二8、在Rt△ABC中，NC=90O,NA>ZB,9、若拋物線y=x2+ax+2b-2（其中a、b為實(shí)數(shù)）與x軸交于相異的兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)b一4的橫坐標(biāo)在0與1之間，另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1與2之間，則a一］的取值范圍是。10、如圖，半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC,CD,DA相切，若BC=3,DA=5,則AB的長(zhǎng)為。11、若關(guān)于x的方程ax+2=0與Ix一1|一|x一2I+2=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則常數(shù)a的

取值范圍是。12、如圖，延長(zhǎng)梯形ABCD兩腰DA和CB交于點(diǎn)P,兩對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)Q,^PAB和4QBC的面積分別是20和6,則4PCD的面積是。三、解答題：（本題共有5個(gè)小題,共78分）13、（本題滿分15分）把自然數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數(shù)表（每行比上一行多一個(gè)數(shù)）。設(shè)a（i、j￡N+）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左ij往右數(shù)的第j個(gè)數(shù)（如a42=8）。⑴若2『2010,求i、j的值.J1, "1（2）記三角形數(shù)表從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b，令。=《n、°。nn ,n>2b—nnTOC\o"1-5"\h\z若數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和為T，求T。 1n n n2 34 5 67 8 9 10⑴求a2010的值；14、（本題滿分15分）如果對(duì)于正整數(shù)n,7n的個(gè)位數(shù)用a⑴求a2010的值；(2)當(dāng)n為什么數(shù)時(shí)，-n2+2na取得最大值，并求出這個(gè)最大值。n15、(本題滿分15分)如圖，過圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA、PB,A、B為切點(diǎn)，再過點(diǎn)P作圓的一條割線分別交圓于點(diǎn)C、D，過點(diǎn)B作PA的平行線分別交直線AC、AD于點(diǎn)E、F。求證：BE=BF。16、(本題滿分15分)已知函數(shù)J=x2+(2m+1)x+m2—1，其中m為實(shí)數(shù)。(1)當(dāng)m是什么數(shù)值時(shí)，y有最小值為0?(2)求證：不論m是什么數(shù)值時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)都在同一直線l上；(3)求證：任何一條平行于l而與拋物線相交的直線被各拋物線截出的線段都相等。17、(本題滿分18分)將編號(hào)為1，2，?，18的18名乒乓球運(yùn)動(dòng)員分配在9張球臺(tái)上進(jìn)行單打比賽，規(guī)定每張球臺(tái)上兩選手編號(hào)之和均為大于4的平方數(shù)。請(qǐng)問這一規(guī)定能否實(shí)現(xiàn)?若規(guī)定不能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)給出證明；若規(guī)定能夠?qū)崿F(xiàn)，請(qǐng)說明實(shí)現(xiàn)方案是否唯一。參考答案一、選擇題：(每小題6分，共36分)1、Ba+b+c=0，a+b=-c*/abc=2,c>0/.a<0,b<0考慮特殊值法，當(dāng)a=b=-1,c=2時(shí)，有IaI+Ibl>la+b\=2，故選B。2、B采用列表法或畫樹狀圖，前兩次所擲點(diǎn)數(shù)之和等于第3次的點(diǎn)數(shù)共有15種可能，擲得點(diǎn)數(shù)至少有一次是2的有8種，概率為185，故選B。3、C???％+y與x-y的奇偶性相同，而、X-y也只能是整數(shù)，，m=2(x+y=0Jx+y=1Jx+y=2Jx+y=-1Jx+y=-21x-y=4，［x-y=1，［x-y=0，［x-y=1，［x-y=0以上個(gè)方程組均有整數(shù)解，故選。4、B由題意知，k<0，又直線l過點(diǎn)A(2,1),代入y=kx+b得：,.、，b… … 1? ? 1.bb2 -2k+考=1,又=4ab工B(一k,°)'所以S—20AO=2b(-1)=口=5...b2-5b+5=0,b有兩個(gè)不等實(shí)根，，直線l共有2條，選B.5、B由2,3,5的最小公倍數(shù)為30,由2,3,5組成的棱長(zhǎng)為30的正方體的一條對(duì)角線穿過的長(zhǎng)方體為整數(shù)個(gè)，所以由2,3,5組成棱長(zhǎng)為90的正方體的一條對(duì)角線穿過的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)應(yīng)為3的倍數(shù)，選B。a2+b2 (a-b)2+2ab x2+21_TOC\o"1-5"\h\z6、A.I記a—b=x,ab=t, 2\2a-b a-b x???x2-2<2x+2t=0,A=b2-4ac=8-8t>0 ..t<1僅當(dāng)a=6+'2,b=——上4時(shí)，a—b=2,ab=1成立，故選A.2 2二、填空題：(每小題6分，共36分)7、3:<2009=472*41=7<41 .6+,5=7<410<x<y且x、y均為整數(shù)故設(shè)%:x=a、41,、Jy=bj4r，所求的整數(shù)對(duì)為(41,1476),(164,1025),(369,656)共3組。

8、3+1- …由已知得a8、3+1- …由已知得a+b=--—c①，a2+b2=c2②，由①得b=<3+1c一a③，一一一、J3~2c,a代入②得2a2一(<3+1)ca+—c~2c,aTOC\o"1-5"\h\z3a<3 3A>B.?a>b..a c ..sinA 2c2 2???0O<A<90O ，A=60O ，sinA=sin30O=12 2b一439、-<一-<- 根據(jù)題意，設(shè)兩個(gè)相異的實(shí)根為x,x，且0<x<1<x<2,a-1 2 12 12則1<x+x=-a<3，0<xx=2b-2<2。于是有-3<a<-1,1<b<2，1 2 1210、11、1也即有-11< <-a-1 4連結(jié)OC、OD,VS梯形ABCD12r(AB+10、11、1也即有-11< <-a-1 4連結(jié)OC、OD,VS梯形ABCD12r(AB+CD)=AB=AD+BC1<a<-不妨設(shè)y=211-3<b-4<-2。故有—<1 …1 ~1 .rxAD+—rxCD+—rxBCCO=S+S+SAAOD ACOD NBOCb-43 <<7T0a-12D???BC=3,DA=5, ，AB=8ax+2,y=1x—11—Ix—21+22卜<1)??,y2=<|2x-1(1<x<2).,.它的圖像是右圖中的折線2 13(x>2)?.?直線y1=ax+2過點(diǎn)a(0,2), __???分析得出滿足題意的兩種極端情況如下： 一當(dāng)直線過圖中點(diǎn)B(2,3)時(shí)，2a+2=3得a=；-y當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，由y=2可知a=00要使方程ax+2=0與|x-1|-1x-2|+2=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。即使直線乂=0a+2與函數(shù)y2=|x-1|-1x一2|+2的圖像交于三個(gè)不同的點(diǎn)，12、45VAB#CD,AQBC的面積為6,Z.AQAD的面積也為6設(shè)4ABQ的面積為x,ACDQ的面積為y..6=y=AQ.x-6~QqSAABPSAABCPBBCSNDBPSADBCPBB2020+x+6—20_x+6x(x+6) xx+6 6+y—(x+6) y—xx+..6=y=AQ.x-6~QqSAABPSAABCPBBCSNDBPSADBCPBB2020+x+6—20_x+6x(x+6) xx+6 6+y—(x+6) y—xx+6 6+y36—x2 6—x20 20+x+6?.x2+26x—120=0 ,x=4,1X2=一相(不合題意,舍去):.△PCD的面積為20+6+6+x+y=45。三、解答題：(本題共有5個(gè)小題，共78分)13、(本題滿分15分)n(n+1) i(i+1)⑴三角形數(shù)表中前n行共有1+2+…+n=/萬個(gè)，即第i行的最后一個(gè)數(shù)是七二因此，使a『2010的i是不等式-而—--二2016，所以i=63。于故j=(2010-1954)+1=57。i(i+1) 62x63—^—二2010的最小正整數(shù)解。因?yàn)?2一二1953,日是,62x63第63行的第一個(gè)數(shù)是「一+1=1954。1⑵前n行的所有自然數(shù)的和為Sn=n(n+1)[n(n+1)+1]=n(n+1)(n2+n+2)n(n2+1)，所以當(dāng)n》2時(shí)，cnb—nn?T51??T=————n2nn+114(本題滿分15分)=92并且a=an+4 n，a2010當(dāng)n豐4k+2時(shí)，當(dāng)n=4k+2時(shí)，—n當(dāng)n豐4k+2時(shí)，當(dāng)n=4k+2時(shí)，—n2+2na=81—(n—9)2<81—1=80，n僅當(dāng)n=10時(shí)等號(hào)成立..?.當(dāng)n=10時(shí)，—n2+2na取得最大值80。n1515、(本題滿分#、(本題滿分18分)解：因?yàn)榫幪?hào)最大的兩數(shù)之和為18+17=35<36，所以，同一張球臺(tái)上兩選手編號(hào)之和只能取三個(gè)平方數(shù)：25，16，9?，F(xiàn)設(shè)同一張球臺(tái)上兩選手編號(hào)和為25、16、9的分別有x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)(x、y、z均為非負(fù)整數(shù))，依題意有25x+16y+9z=1+2+...+18，x+y+z=9，xZ0,yZ0,zZ0,即16x+7y+9(x+y+z)=171,x+y+z=9,xN0,yN0,zN0,得16x+7y=90,xN0,yN0,zN0。又由0WxW90<6知，x只能取非負(fù)整數(shù)0,1,2,3,4,5。16逐一代入檢驗(yàn)，可得方程唯一的非負(fù)整數(shù)解x=3,y=6,z=0。下面討論9張球臺(tái)上的選手對(duì)陣情況。(1)由x=3,知平方數(shù)為25只能有3個(gè)，而編號(hào)不小于16