不等式知識點及題型總結

不等式一、知識點：1.實數(shù)的性質：；；．2.不等式的性質：性質內容對稱性，．傳遞性且．加法性質；且．乘法性質；，且．乘方、開方性質；．倒數(shù)性質．3.常用基本不等式：條件結論，，基本不等式：常見變式：；4.利用重要不等式求最值的兩個命題：命題1：已知a，b都是正數(shù)，若ab是實值P，則當a=b=時，和a＋b有最小值2.命題2：已知a，b都是正數(shù)，若a＋b是實值S，則當a=b=時，積ab有最大值.注意：運用重要不等式求值時，要注意三個條件：一“正”二“定”三“等”，即各項均為正數(shù)，和或積為定值，取最值時等號能成立，以上三個條件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：設a>0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的兩個實根，且x1≤x2，則有△△>0△=0△<0圖象ax2+bx+c=0的解x=x1或x=x2x=x1=x2=-b/2a無實數(shù)解ax2+bx+c>0解集{x︱x<x1或x>x2}{x︱x≠x1}Rax2+bx+c<0解集{x︱x1<x<x2}ΦΦ結論：ax2+bx+c>0；ax2+bx+c<06.絕對值不等式（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集為：{x｜－a＜x＜a}；｜x｜＞a（a＞0）的解集為：{x｜x＞a或x＜－a}。（2）7.不等式證明方法：基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法輔助方法：換元法（三角換元、均值換元等）、放縮法、構造法、判別式法特別提醒：不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，最常用的思路是用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以敘述。我們在利用不等式的性質或基本不等式時要注意等號、不等號成立的條件。例：解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)方程的解為．根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是．(2)不等式兩邊同乘以，原不等式可化為．方程的解為．根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是．①②用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中的系數(shù)必為正；②對于偶次或奇次重根可轉化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖．不等式左右兩邊都是含有的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解．例：解不等式：（1）；（2）．解：（1）原不等式可化為把方程的三個根順次標上數(shù)軸．然后從右上開始畫線順次經(jīng)過三個根，其解集如下圖的陰影部分．∴原不等式解集為（2）原不等式等價于∴原不等式解集為解下列分式不等式：例：（1）；（2）（1）解：原不等式等價于用“穿根法”∴原不等式解集為。（2）解法一：原不等式等價于∴原不等式解集為。解法二：原不等式等價于用“穿根法”∴原不等式解集為例2：絕對值不等式，解此題的關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據(jù)絕對值的意義二是根據(jù)絕對值的性質：或，因此本題有如下兩種解法．例：解不等式解：原不等式等價于即∴．例3：已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時＞0(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)；(2)解不等式f(x+)＜f()；(3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數(shù)t的取值范圍技巧與方法(1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成“1”是點睛之筆(1)證明任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=·(x1－x2)∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)(2)解∵f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，∴解得{x|－≤x＜－1，x∈R}(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，且f(1)=1，故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，記g(a)=t2－2at，對a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2∴t的取值范圍是{t|t≤－2或t=0或t≥2}例5：解關于x的不等式＞1(a≠1)解原不等式可化為＞0，①當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解由于∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)②當a＜1時，原不等式與(x－)(x－2)＜0同解由于,若a＜0，,解集為(，2)；若a=0時，，解集為；若0＜a＜1，,解集為(2，)綜上所述當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2）例6設，解關于的不等式．分析：進行分類討論求解．解：當時，因一定成立，故原不等式的解集為．當時，原不等式化為；當時，解得；當時，解得．∴當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．說明：解不等式時，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因為當時，原不等式化為，此時不等式的解集為，所以解題時應分與兩種情況來討論．的解是．例8解關于的不等式．分析：不等式中含有字母，故需分類討論．但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論．解：原不等式可化為．(1)當（即或）時，不等式的解集為：；(2)當（即）時，不等式的解集為：；(3)當（即或1）時，不等式的解集為：．說明：對參數(shù)進行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數(shù)加以分類、討論．比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根．但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，，三種情況．例9不等式的解集為，求與的值．分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，，的兩根為，．解法一：設的兩根為，，由韋達定理得：由題意：∴，，此時滿足，．解法二：構造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故需滿足：∴，．例10解關于的不等式．分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母系數(shù)，所以還考查分類思想．解：分以下情況討論(1)當時，原不等式變?yōu)椋?，?2)當時，原不等式變?yōu)椋孩佗佼敃r，①式變?yōu)?，∴不等式的解為或．②當時，①式變?yōu)椋凇撸喈敃r，，此時②的解為．當時，，此時②的解為．說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：分類應做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解．例11解不等式．分析：無理不等式轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉化為或，而等價于：或．解：原不等式等價于下面兩個不等式組：①②由①得，∴由②得∴，所以原不等式的解集為，即為．說明：本題也可以轉化為型的不等式求解，注意：例12.已知關于的不等式的解集是，求實數(shù)之值．解：不等式的解集是是的兩個實數(shù)根，由韋達定理知：．練習．已知不等式的解集為求不等式的解集．解：由題意，即．代入不等式得：．即，所求不等式的解集為．1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如（1）設實數(shù)滿足，當時，的取值范圍是______（答：）；（2）不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍_____（答：）；（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_____（答：（,））；（4）若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____（答：）；（5）若