英才學(xué)院數(shù)學(xué)建模示例09入圍

問題的重 問題的分 1、基本模型的建 2、問題I的模型求 3、問題II的模型求 4、問題III的模型求 1、基礎(chǔ)模型的檢 4、數(shù)據(jù)靈敏度分 八、附 摘及每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間，并利用little，來模擬顧客平均等待時(shí)間以及顧客LINGO進(jìn)行求解，用完成函數(shù)求解以及圖像的生成.3、我們得到了在不同時(shí)間段的窗口的優(yōu)化管理方案，以及不同的窗口數(shù)對(duì)方案的【 排隊(duì)論靈敏度分析線性回歸優(yōu)化管一、問題的重述與分問題的重是大學(xué)生的就餐場(chǎng)所但是就餐時(shí)間擁堵的卻給師生帶來諸多煩惱.，，近正在排隊(duì)人數(shù)的多少，價(jià)格，菜品質(zhì)量的好壞環(huán)境等.在考慮提高學(xué)校食，，問題的分觀察發(fā)現(xiàn)，一般同學(xué)在買完飯后都能找到座位吃飯，故我們可認(rèn)為，的容納學(xué)生數(shù)是足夠的，所以解決擁擠狀況，主要是解決排長(zhǎng)隊(duì)與服務(wù)窗口的問題.窗口與就餐人員之間是服務(wù)機(jī)構(gòu)與顧客的關(guān)系,可以用服務(wù)系統(tǒng)模型來表示.1由排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念可將買飯菜的情況看做為等待制排隊(duì)模型立，且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布（Poisson，服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間也是獨(dú)立同分布，且服從的負(fù)指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無限，允許排隊(duì).二、模型假、、2I3、經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，中午期學(xué)子最多開放20個(gè)窗口.由于觀測(cè)時(shí)間有限，不能對(duì)指數(shù)分布.學(xué)子每個(gè)學(xué)生的平均被服務(wù)時(shí)間為10秒且服務(wù)員之間的差異忽略不計(jì).，，6、經(jīng)，多數(shù)同學(xué)認(rèn)為午餐時(shí)間排隊(duì)時(shí)超過10人時(shí)就會(huì)產(chǎn)生厭煩情緒，但中午就餐10-20長(zhǎng)度分為兩類，取中數(shù)15作為區(qū)分大隊(duì)和小隊(duì)的依據(jù)，小于等于14人為小隊(duì)，大于等于15人為大隊(duì)，且期的大隊(duì)是我們主要考慮的問題對(duì)象.三、符號(hào)說明與術(shù)語解7.:所開窗口數(shù)四、模型的建立與求1、基本模型的建識(shí),tk的概率為: ,k=1,2,……,其中第ntP(Vn≤t)=其中μ＞0. LsL

１Ｌ＝Ｌ＋

11 其中S是服務(wù)臺(tái)或者服務(wù)員的個(gè)數(shù)，load是系統(tǒng)負(fù)荷，即RT，R是顧客平均被服務(wù)數(shù)，TWqPwait

S

其 S

無窮.當(dāng)loadS時(shí)，式（6）無意義，其直觀的解釋是，當(dāng)系統(tǒng)負(fù)荷超過服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)顧客的平均逗留時(shí)間（Ws，隊(duì)長(zhǎng)（Ws，和等待隊(duì)長(zhǎng)（Lq，這三個(gè)值可由Little公 WsWqWq

L

LW

基于以上為了使模型便于求解,假定每工作人員的打飯效率相同,每個(gè)窗mx1x/m的情況來討論.又假定服務(wù)系統(tǒng)的容量無限,來到就餐的學(xué)生不會(huì)在未打好飯之前離去.這樣,得到一個(gè)輸入過程為最簡(jiǎn)單流,服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布,1個(gè)服務(wù)臺(tái),系統(tǒng)容量無限,顧客源無限的等待制排隊(duì)模型.2、問題I的模型求學(xué)子5月6號(hào)（星期五）11:50至12:20之間,每3分鐘為1個(gè)時(shí)段,統(tǒng)計(jì)到達(dá)11:50—711:53--11:56—19511:59--20412:02--910712:05--12:08--212:11--12:14----12:17---圖表注：排隊(duì)的表面現(xiàn)象指當(dāng)時(shí)隊(duì)伍中大隊(duì)和小隊(duì)的數(shù)目，人數(shù)≥15為大隊(duì)，≤14為小 時(shí)段多個(gè)窗口10名顧客接受服務(wù)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如下表43.52.521.8-20.8-1時(shí)間

圖表1LINGO（11:50-11:56時(shí)間段：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù)=42171 2顧客的平均等待時(shí)間圖表經(jīng)過期前的人數(shù)滯留可認(rèn)為是0人/隊(duì)11:56-12:02單位時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù)=331356114.5 2顧客的平均等待時(shí)間圖表：由程序以及所顯示的圖像（見附件2）可知時(shí)段的人數(shù)滯留在下一時(shí)10：12:02-12:081337935.33/ 2顧客的平均等待時(shí)間圖表012:08-12:14402510.87/ 2顧客的平均等待時(shí)間圖表12:14-12：2020135.5/ 23、問題II的模型求為，極少數(shù)會(huì)只一個(gè)素菜然后離開，那么了素菜之后大多數(shù)同學(xué)會(huì)什么呢？在清水河畔的一個(gè)投票給出了答案.圖表這說明，大部分素菜的同學(xué)會(huì)第二次排隊(duì)葷菜或鹵肉9（區(qū)域與窗口數(shù)不等同：窗口（區(qū)43.52.521.8-210.8-1人數(shù)（人圖表由表格可知：在時(shí)段素菜區(qū)的等待人數(shù)跟3～4元區(qū)的等待人數(shù)比起來，可將素菜區(qū)的窗口看做小隊(duì).再加上在時(shí)段一元區(qū)隊(duì)伍比較短，可幾乎認(rèn)為沒有交通和打飯菜的壓力.然而3～4元區(qū)的等待人數(shù)過多，每隊(duì)超過20人.但是葷菜與桌椅間的通道，以及拐角處的通道的橫向長(zhǎng)度最多允許約18人排隊(duì)，如圖表10中箭頭所示.同學(xué)買完飯后還需離開賣飯窗口及排隊(duì)人群，尋找座椅.這時(shí)內(nèi)人流方向，堵得泄不通，交通狀況極其惡劣，阿姨打飯菜的壓力很大，顧客對(duì)的滿意度大幅降低圖表由此可看出，3～40.8～13～42為什么不將素菜搬至鹵肉區(qū)呢？這與的建筑結(jié)構(gòu)有關(guān).素菜與葷菜均屬于炒菜，在的左側(cè)銷售，從烹飪到搬運(yùn)，便于炒菜的搬運(yùn).鹵肉區(qū)距離較遠(yuǎn)，搬運(yùn)不便.LINGO（3）得到：顧客的平均等待時(shí)間4、問題III模型求解由于為了解決排隊(duì)人數(shù)過長(zhǎng)，價(jià)格問題和菜品質(zhì)量問題，我們提出可增加一個(gè)特色菜區(qū)，以此來平衡的經(jīng)濟(jì)效益LINGO（4）得到：顧客的平均等待時(shí)間五、1、基礎(chǔ)模型的檢在基礎(chǔ)模型的基礎(chǔ)上計(jì)算出的期大隊(duì)平均排隊(duì)人數(shù)為：19.86人，與學(xué)子2、趨勢(shì)線分析（回歸分析圖表趨勢(shì)線的數(shù)據(jù)系列有多種，其中，多項(xiàng)式趨勢(shì)線適用于數(shù)據(jù)波動(dòng)較大的情況.多項(xiàng)R01.R1比較，當(dāng)多項(xiàng)式階次為6時(shí)，R=0.974，多項(xiàng)式方程為即得R=0.987.說明該趨勢(shì)線經(jīng)觀察，11:50時(shí)內(nèi)等待買飯菜的人數(shù)只有幾十人，平均每個(gè)窗口3-5人，可11:50g：每分鐘進(jìn)入人數(shù)買完飯的人數(shù) 3、窗口服務(wù)狀況及相應(yīng)的管理分11:50-11:5611:56-12:0212:02-12:0812:08-12:144、數(shù)據(jù)靈敏度分對(duì)于期的窗口數(shù)量和平均等待時(shí)間的分析如下窗口數(shù)量（個(gè)平均排隊(duì)時(shí)間（秒靈敏度分 如下

qS(n,W)Wq/q

Wq/0105、窗口數(shù)的優(yōu)化設(shè)5.1219922481748窗口會(huì)給帶來一定的成本壓力.至于小于20個(gè)，從表中可以看到，排隊(duì)時(shí)間會(huì)大口設(shè)置為22個(gè)或21個(gè),可有效緩解期的壓力.5.22對(duì)于學(xué)生來說，當(dāng)然是排隊(duì)等待時(shí)間越短越好，即22個(gè)窗口更佳.但對(duì)于來一般來說，每增加一個(gè)窗口，需要多配備1.5名服務(wù)人員以及一些配套的設(shè)施， 每分鐘可收益a 服務(wù)，每等待1分鐘，就損失a元.所以我們得到等待損失等于 得知校服務(wù)人員工資為1000元，即每周平均250元.配套設(shè)施 ，估算為每周100元.由此可知，每增加一個(gè)窗口，的成本每周會(huì)增加363元.在消費(fèi)時(shí)，學(xué)生選的菜不同，菜的利潤(rùn)也不同.經(jīng)，學(xué)子餐廳周一至周五中午需要米飯22箱，每箱50斤.在就餐的同學(xué)85%為男生，每人食用3兩.而極數(shù)同學(xué)是食用面試等的，不消費(fèi)米飯，但15%的一般食用1-2兩米飯，將這部分314235因此，平均從每個(gè)學(xué)生身上獲得利潤(rùn)1.3元.平均每個(gè)同學(xué)的被服務(wù)時(shí)間為10101.3記M=學(xué)生因等待而使發(fā)生的損失/分鐘，M=期到達(dá)人數(shù)/分鐘系統(tǒng)空閑率排隊(duì)時(shí)間1.3元/10秒60秒/計(jì)算得，窗口從21增加至22時(shí)，即每分鐘多贏利418.5元.期持續(xù)6分鐘，故一個(gè)中午共可多贏利2511.5元，遠(yuǎn)大于增開窗口的成本.由此可知，在期最佳窗22，可獲得的利潤(rùn).綜上，在期最佳窗口數(shù)為22個(gè)六、模型的評(píng)價(jià)與改優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行多種修正,采用多種方法進(jìn)行,使之愈來愈完善,具有很高信息并且,所得結(jié)論與客觀事實(shí)很好地吻合,從而進(jìn)一步說明模型是合理的。其次，七、參考文[1]謝金星，。優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，[2]。排隊(duì)論在學(xué)校服務(wù)中的應(yīng)用，《和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)》經(jīng)過實(shí) 我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于現(xiàn)有的現(xiàn)象我們有如下結(jié)論 (4)：環(huán)境不同，比如學(xué)子的采光率要好，明亮，家園餐廳環(huán)境優(yōu)雅1、對(duì)于學(xué)子以及思源餐廳，建議撤去靠近隊(duì)伍的桌椅（4分析：對(duì)于此處，由前面數(shù)據(jù)可知，期，隊(duì)伍長(zhǎng)度有X人，隊(duì)伍長(zhǎng)度為Ｙ米,近似等于買飯窗口到桌椅距離，僅有很小的通道來保證交通，且由桌椅分布圖（思源餐廳）知（見圖1），熱菜區(qū)域（買飯主要區(qū)域），僅有兩個(gè)出。其中要出（連接主干道的出）處， 期排隊(duì)人員、進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)的人員、打好飯離開排隊(duì)系統(tǒng)的人員造成了擁堵，交通效率低，導(dǎo)致排隊(duì)等候時(shí)間增加，顧客的滿意度下降。經(jīng)實(shí)地觀察和對(duì)的意見，我們建議去掉圖中的黃色陰影部分桌椅后，將為熱菜區(qū)增加兩個(gè)2、對(duì)于各個(gè)餐廳，建議提供菜品欄（可以位于窗口上方，并且及時(shí)更新分析：工作人員的打飯效率為10s/人，而其中，至少有兩秒以上的時(shí)間是顧客選取想要的菜種，經(jīng)常發(fā)生排了隊(duì)但是發(fā)現(xiàn)沒有想要的菜品的現(xiàn)象發(fā)生。對(duì)于以上現(xiàn)象我們決定提供菜品欄，讓在后面排隊(duì)的人員不接近窗口也能知道菜品的信息，使師生更快速的選擇隊(duì)伍，并且減少因來回觀察而導(dǎo)致的交通混論狀況。并且，也加快工作人員的工作效率，提高了利潤(rùn)。33-43-4分析：素菜區(qū)在最時(shí)期的排隊(duì)人數(shù)大約為10-12人，為其他窗口的一半，且由圖學(xué)生食物搭配的投票統(tǒng)計(jì)可知：由于排隊(duì)時(shí)間以及交通擁擠問題，導(dǎo)致素菜雖然是大家想要的，但是很少有人去買（因?yàn)檫@樣會(huì)增加師生的排隊(duì)時(shí)間）。將素菜與其他熱菜相搭配（每個(gè)窗口一個(gè)，則一次排隊(duì)可以選擇附近一共三種素菜，基本滿足要求），可使其他窗口營(yíng)業(yè)額不變，素菜營(yíng)業(yè)額上漲，并且可為其它菜區(qū)提供窗口。由之前的敏感性分析可知，增加的窗口數(shù)，將極大的緩解顧客群的平均服務(wù)時(shí)間。綜上，建議撤去素菜專區(qū)，將素菜分配到各個(gè)熱菜窗3-44、建議改進(jìn)的通氣系統(tǒng)飲食環(huán)境，以此來增加就餐人數(shù)，從而提高經(jīng)濟(jì)效益。52-3 八、附附件Feasiblesolutionfound. i11:56-12:02

0 E- Feasiblesolutionfound. E- 12:02-12:08

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