2020-2021人教版數(shù)學(xué)2-2教師用書：第1章 1.2 1.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（一）含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-2教師用書：第1章1.21.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（一）含解析1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1。1。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c,y＝x,y＝x2,y＝eq\f(1,x）,y＝eq\r（x）的導(dǎo)數(shù)．(難點(diǎn)）2。掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3.能利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（重點(diǎn)、易混點(diǎn))1。通過基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.借助導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x）＝c（c為常數(shù))f′（x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊)f′(x）＝αxα－1f(x）＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′（x)＝－sinxf（x）＝axf′（x）＝axlna(a＞0)f（x）＝exf′(x）＝exf（x）＝logaxf′（x）＝eq\f（1,xlna)（a＞0,且a≠1）f(x)＝lnxf′（x)＝eq\f（1,x)2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1)和差的導(dǎo)數(shù)［f(x)±g(x）］′＝f′（x)±g′(x)．(2）積的導(dǎo)數(shù)①[f(x)·g（x）］′＝f′（x)g（x）＋f(x）g′（x)；②[cf（x)]′＝cf′(x)．（3)商的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx)))eq\s\up12(′)＝eq\f（f′xgx－fxg′x，[gx]2)（g（x)≠0)．1。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,\r(2））))eq\s\up12(′)等于（)A．eq\f（1,\r（2）) B．1C．0 D．eq\f（1，2\r（2）)C［因常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，故選C。］2．若函數(shù)y＝10x，則y′|x＝1等于（)A．eq\f(1,10） B．10C．10ln10 D．eq\f(1，10ln10)C［∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.]3．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x,2x）））eq\s\up12(′）＝________;（2)（xex)′＝________.（1）eq\f（1－xln2，2x)(2）(1＋x）ex［（1)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x，2x)）)eq\s\up12(′）＝eq\f(2x－x2xln2,2x2）＝eq\f(1－xln2，2x)；(2)（xex）′＝ex＋xex＝(1＋x）ex。］4．函數(shù)f（x)＝sinx,則f′(6π)＝________。1［f′（x)＝cosx,所以f′（6π）＝1.]利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝coseq\f(π，6）;（2）y＝eq\f（1,x5)；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；（4)y＝lgx；（5）y＝5x；(6）y＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－x)）。[解]（1）∵y＝coseq\f（π,6)＝eq\f(\r（3)，2），∴y′＝0。（2)∵y＝eq\f（1,x5)＝x－5，∴y′＝－5x－6.(3）∵y＝eq\f（x2,\r(x））＝eq\f（x2,xeq\s\up12(\f(1,2)))＝xeq\s\up12(eq\f(3，2)），∴y′＝eq\f(3，2)xeq\s\up12（eq\f(1,2）)。（4)∵y＝lgx,∴y′＝eq\f（1，xln10)。(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.（6）y＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2）－x）)＝sinx,∴y′＝cosx。1．若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解．2．對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則,避免不必要的運(yùn)算失誤．3．要特別注意“eq\f（1，x）與lnx”，“ax與logax”,“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別．[跟進(jìn)訓(xùn)練］1．下列結(jié)論，①（sinx）′＝cosx；②eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（xeq\s\up12(\f（5，3））))eq\s\up12（′）＝xeq\s\up12(eq\f(2，3))；③(log3x)′＝eq\f（1，3lnx）；④（lnx)′＝eq\f(1，x）。其中正確的有(）A．0個B．1個C．2個D．3個C［①(sinx)′＝cosx，正確；②(xeq\s\up12(\f(5,3)))′＝eq\f(5，3)xeq\s\up12（eq\f（2,3）），錯誤；③(log3x)′＝eq\f（1,xln3)，錯誤；④(lnx)′＝eq\f(1,x)，正確;所以①④正確，故選C.]利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)［探究問題]1．如何求函數(shù)y＝tanx的導(dǎo)數(shù)？［提示]y＝tanx＝eq\f（sinx，cosx)，故y′＝eq\f(sinx′cosx－cosx′sinx,cosx2)＝eq\f（cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f（1，cos2x).2．如何求函數(shù)y＝2sineq\f(x，2）coseq\f(x,2）的導(dǎo)數(shù)?[提示］y＝2sineq\f（x,2）coseq\f(x,2）＝sinx，故y′＝cosx。【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）y＝x－2＋x2;(2）y＝3xex－2x＋e;（3）y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4）y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x，2）.［解](1)y′＝2x－2x－3.（2）y′＝（ln3＋1）·(3e）x－2xln2。(3)y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx，xx2＋12).（4）∵y＝x2－sineq\f(x，2）coseq\f（x,2）＝x2－eq\f(1,2）sinx，∴y′＝2x－eq\f（1，2)cosx.1．(變條件）把例2(4）的函數(shù)換成“y＝xtanx"，求其導(dǎo)數(shù)．[解]y′＝（x·tanx）′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(xsinx，cosx)))eq\s\up12(′）＝eq\f（xsinx′cosx－xsinxcosx′，cos2x）＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x，cos2x)＝eq\f（sinxcosx＋x，cos2x)。2．(變結(jié)論）求例2(3）中的函數(shù)在點(diǎn)（1,0）處的切線方程．[解]∵y′|x＝1＝eq\f（1，2）,∴函數(shù)y＝eq\f（lnx,x2＋1）在點(diǎn)（1，0)處的切線方程為y－0＝eq\f(1,2）(x－1）,即x－2y－1＝0.利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程【例3】求過曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，6)，\f（1,2)))且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．［解]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，6)，\f(1,2)））處的切線斜率是：y′｜eq\s\do6（x＝eq\f（π，6))＝coseq\f（π,6)＝eq\f（\r(3)，2）。∴過點(diǎn)P且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2，\r（3)），故所求的直線方程為y－eq\f（1，2）＝－eq\f(2，\r(3))eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f（\r（3),2)－eq\f（π,3）＝0。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵．［跟進(jìn)訓(xùn)練]2．曲線y＝ex在點(diǎn)（2，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________．eq\f(1，2)e2[∵y′＝(ex)′＝ex,∴k＝e2，∴曲線在點(diǎn)(2,e2）處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2。當(dāng)x＝0時，y＝－e2,當(dāng)y＝0時,x＝1。∴切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為：S＝eq\f(1，2)×1×｜－e2|＝eq\f(1,2)e2。]1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)，如求y＝1－2sin2eq\f（x，2)的導(dǎo)數(shù),因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f（x,2）＝cosx,所以y′＝(cosx）′＝－sinx。3．對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號的變化．1．給出下列命題:①y＝ln2，則y′＝eq\f（1，2)；②y＝eq\f（1，x2），則y′｜x＝3＝－eq\f(2,27）；③y＝2x，則y′＝2xln2;④y＝log2x，則y′＝eq\f（1,xln2)。其中正確命題的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4C[對于①，y′＝0,故①錯；對于②，∵y′＝－eq\f（2，x3)，∴y′｜x＝3＝－eq\f（2，27）,故②正確;顯然③，④正確，故選C.]2．已知f(x)＝xα（α∈Q＊)，若f′（1）＝eq\f(1,4)，則α等于(）A.eq\f（1,3）B．eq\f(1，2)C．eq\f（1，8）D．eq\f（1，4)D[∵f（x）＝xα，∴f′(x）＝αxα－1，∴f′（1）＝α＝eq\f(1，4)。］3．設(shè)y＝－2exsinx,則y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex（sinx＋cosx)D［∵y＝－2exsinx，∴y′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex（sinx＋cosx)．］4．曲線y＝eq\f（9,x)在點(diǎn)M（3,3）處的切線方程是________．x＋y－6＝0[∵y′＝－eq\f（9，x2)，∴y′|x＝3＝－1,∴過點(diǎn)(3，3)的斜率為－1的切線方程為y－3＝－(x－3）,即x＋y－6＝0。］5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y＝eq\r（5,x3)；(2)y＝log2x2－log2x；(3）y＝eq\f(cosx,\r（x)）;（4）y＝－2sineq\f（x,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x,4))）。[解］（1)y′＝(eq\r（5，x3))′＝(xeq\s\up12(\f(3，5）)）′＝eq\f(3,5)xeq\s\up12(eq\f（3,5)－1）＝eq\f(3,5)xeq\s\up12（－eq\f(2,5)）＝eq\f(3,5\r(5，x2)）。(2）∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝（log2x）′＝eq\f(1，xln2)。（3）法一：y′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，\r(x))·cosx))eq\s\up12(′)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r（x））)）eq\s\up12（′)cosx＋eq\f（1,\r（x））（cosx)′＝(xeq\s\up12(－\f（1,2））)′cosx－eq\f（1，\r（x)）sinx＝－eq\f(1,2）xeq\s\up12(－eq\f（3,2))cosx－eq\f(1，\r(x))sinx＝－eq\f（cosx,2\r（x3）)－eq\f(1，\r（x）)sinx＝－eq\f(cosx,2x\r(x）)－eq\f(1，\r(x))sinx＝－eq\f（cosx＋2xsinx,2x\r(x)).法二：y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(cosx,\r(x))))eq\s\up12（′)＝eq\f（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(cosx))′\r（x)－cosx\r(x)′，\r(x）2)＝eq\f（－sinx·\r(x)－cosx·\f(1，2）·xeq\s\up12(－\f（1,2)）,x)＝－eq\f（\r（x）sinx＋\f（cosx，2\r（x)），x)＝－eq\f(cosx