中考數(shù)學最值問題的常用解法

中考數(shù)學最值問題的常用解法

本文以2009年中考數(shù)學試題為例，談談最值問題的常用解法，供參考。一、利用判別式三、構(gòu)造一次函數(shù)例3（濰坊市）某班50名同學分別站在公路的A、B兩點處，A、B兩點相距1000米，A處有30人，B處有20人，要讓兩處的同學走到一起，并且使所有同學走的路程總和最小，那么集合地點應選在()圖1(A)A點處(B)線段AB的中點處(C)線段AB上，距A點米處(D)線段AB上，距A點400米處解：設(shè)集合地點在線段AB的M處，距A點x米，距B點y米，所有同學走的路程總和為w米，依題意，得其中m的最大值為2。故選(B)。五、利用“垂線段最短”例5（德州市）如圖2，點A的坐標為(-1，0)，點B在直線y=x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為()圖2圖3故選(C)。七、觀察法例7（煙臺市）如圖4，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是______。圖4圖5圖6圖7圖8解：如圖8，過點B作BE⊥AC于E交AD于M點，過點M作MN⊥AB于點N，由角平分線性質(zhì)可知，ME=MN，此時BM+MN的值最小，BM+MN=BE。在Rt△ABE中，∠BAE=45°，，所以BE=4。九、構(gòu)造二次函數(shù)例10（包頭市）將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是______。解：設(shè)一段鐵絲長為xcm，則另一段鐵絲長為(20-x)cm，則十、分段函數(shù)法例11（黃岡市）新星電子科技公司積極應對2008年世界金融危機，及時調(diào)整投資方向，瞄準光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽能光伏電池生產(chǎn)線，由于新產(chǎn)品開發(fā)初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來的逐步盈利過程（公司對經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）。公司積累獲得的利潤y（萬元）與銷售時間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系（即前x個月的利潤總和y和x之間的關(guān)系）對應的點都在如圖9所示的圖象上。該圖象從左至右，依次是線段OA、曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點A為該拋物線的頂點，曲線BC為另一拋物線的一部分，且點A、B、C的橫坐標分別為4、10、12。圖9(1)求該公司累積獲得利潤y（萬元）與時間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)直接寫出第x個月所獲利潤S（萬元）與時間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計算過程）；(3)前12個月中，第幾個月公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？解：(1)設(shè)直線OA的方程為y=kx，則由A(4，-40)在該直線上，得-40=4k，解得k=-10，所以y=-10x。設(shè)曲線AB所在的拋物線方程為十一、立體圖形平面化例12（恩施自治州）如圖10，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是()圖10解：所求最短距離就是將長方體展開后線段AB長度最短者。圖11圖12十二、利用不等式組例13（深圳市）迎接大運，美化深圳，園林部門決定利用現(xiàn)有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個擺放在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆。(1)某校九年級(1)班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設(shè)計，問符合題意的搭配方案有幾種，請你幫助設(shè)計出來。(2)若搭配一個A種造型的成本是800元，搭配一個乙種造型的成本是960元，試說明(1)中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？解：(1)設(shè)搭配A種造型x個，則B種造型為(50-x)個。依題意，得解得31≤x≤33。因為x是整數(shù)，所以x可取31，32，33。所以可設(shè)計三種搭配方案：①A種園藝造型31個，B種園藝造型19個；②A種園藝造型32個，B種園藝造型18個；③A種園藝造型33個，B種園藝造型17個。(2)方法一：由于B種造型的成本高于A種造型的成本，所以B種造型越少成本越低，故應選擇方案③成本最低，最低成本為：33×800+17×960=42720（元）。方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；