從低補(bǔ)起3第二講

/廣州高山文化培訓(xùn)學(xué)校周日專題補(bǔ)習(xí)班數(shù)學(xué)從低補(bǔ)起3第二講等差數(shù)列及前項(xiàng)的和要點(diǎn)精講1．定義：等差數(shù)列定義：一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：,首項(xiàng):，公差:d，末項(xiàng)：推廣：．從而；３．等差中項(xiàng)(1）如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)．即：或（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4．等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式:(其中A、B是常數(shù)）（當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）５．等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若或(常數(shù)）是等差數(shù)列．（2)等差中項(xiàng):數(shù)列是等差數(shù)列.（３）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）.（4）數(shù)列是等差數(shù)列,(其中A、Ｂ是常數(shù)）.6．等差數(shù)列的證明方法定義法：若或（常數(shù))是等差數(shù)列．7。提醒：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到５個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。(2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為…,…（公差為)；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2)8.等差數(shù)列的性質(zhì)：（１）若公差，則為遞增等差數(shù)列,若公差，則為遞減等差數(shù)列,若公差,則為常數(shù)列。(2)當(dāng)時(shí)，則有,特別地，當(dāng)時(shí)，則有.(3）若{}是等差數(shù)列，則，…也成等差數(shù)列圖示：（４)若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.（5)若、為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列（６）求的最值法一：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù),故ｎ取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時(shí),取最大值（或最小值）。若Sp=Ｓq則其對稱軸為法二：(1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng)由可得達(dá)到最大值時(shí)的值.（２)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即當(dāng)由可得達(dá)到最小值時(shí)的值．或求中正負(fù)分界項(xiàng)(7)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和，則：①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),，其中n為總項(xiàng)數(shù)的一半,ｄ為公差;②在等差數(shù)列中，若共有奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，則注意:解決等差數(shù)列問題時(shí),通?？紤]兩類方法：①基本量法:即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程;②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡,減少運(yùn)算量。典例分析：題型一：等差數(shù)列的概念1。設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,且，則是(）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列?? B。等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列Ｃ。等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 ?D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列2.在數(shù)列中,，,，其中(1）求證:數(shù)列是等差數(shù)列;（２）求證：在數(shù)列中對于任意的，都有。3.設(shè)是等差數(shù)列,求證：（)為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。題型二：等差數(shù)列通項(xiàng)公式1。(２011重慶文)在等差數(shù)列中，，＝?A．1２ Ｂ．14Ｃ。1６２．設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若,，則（）A.B．?Ｃ．D。3.（2012高考廣東）已知遞增的等差數(shù)列滿足，，則___＿．4．（201２高考江西）設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，若，,則＿＿_(dá)＿_(dá)_____.5。（２0０6高考天津)已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則數(shù)列的前1０項(xiàng)和等于()A．５5B.70C．85D．1００6.（2012高考重慶)已知為等差數(shù)列，且（Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值.7．(2010年高考山東卷）已知等差數(shù)列滿足：,,的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令(ｎN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型三：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式１。（20１1全國大綱卷）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若，公差為,則k= A．8 B。7?C．6?D.52。（２0１1天津文）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，,若則的值為_＿＿_(dá)＿_(dá)_３.數(shù)列中,，當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時(shí).4.(２０10年高考福建卷)設(shè)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為，若，,則當(dāng)取最小值時(shí)，n等于（)A。６B。７Ｃ.8５。若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為１４6，且所有項(xiàng)的和為3９０,則這個(gè)數(shù)列有()A.13項(xiàng)?? ?B.1２項(xiàng)? ?C．１1項(xiàng) ? D。10項(xiàng)６。設(shè)數(shù)列是遞增等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為１2，前三項(xiàng)的積為４8，則它的首項(xiàng)是(）A.1 ?B.2 ?C.４ ?Ｄ.６7.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若=，則＝(）Ａ． Ｂ。C．?D．８.（2０12年浙江高考卷）設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A。若，則數(shù)列有最大項(xiàng)B。若數(shù)列有最大項(xiàng)，則Ｃ.若數(shù)列是遞增數(shù)列,則對任意,均有D。若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列題型四：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式1．（2010年高考全國卷）如果等差數(shù)列中,,那么（）A.１4B.２1Ｃ2.已知等差數(shù)列滿足則有（）A。Ｂ。C．D．2.（2009寧夏海南卷)等差數(shù)列{｝前n項(xiàng)和為。已知+－＝０，=３8,則＿_(dá)_＿＿＿_(dá)3．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為3０，前項(xiàng)和為1０0,則它的前項(xiàng)和為（）A．13０? B。１7０