(7)函數(shù)的單調(diào)性與值域的關(guān)系

(7)函數(shù)的單調(diào)性與值域的關(guān)系LtDPAGEPAGE4函數(shù)的單調(diào)性和值域函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值,，當(dāng)<時，都有f()<f()，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值,，當(dāng)<時，都有f()>()，，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)；如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。2.函數(shù)單調(diào)性的證明方法，通常用兩種方法證明：①定義法②導(dǎo)數(shù)法（1）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①取值②作差（有時也可作商）③變形④定號⑤作出結(jié)論判斷.用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性時，要比較f()與f()的大小，最常用的方法是作差（或作商）比較法。（2）用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)單調(diào)性的理論為：若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且滿足>0，則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若滿足<0，則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減。3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：（1）比較（函數(shù)值）大?。?）求函數(shù)的值域或最值即y≤.故所求函數(shù)的值域為(-∞,]②設(shè)sinx+cosx=t,t∈[-,],則原函數(shù)可化為:y=t+（其中t∈[-,]）以下略③設(shè)x=2cost,t∈[0,],則原函數(shù)可化為:y=2(cost+sinxt)-2,（其中t∈[0,]）以下略(①(-∞,]②[1,)③[-4,-2])（3）利用函數(shù)單調(diào)性求值域例如，求下列函數(shù)的值域①y=+②y=-③y=x-④y=(1≤x≤3)⑤y=+lnx(0<x≤3)**⑥y=(0≤x≤4)解；①函數(shù)的定義域為[1，+∞），因為g(x)=和h(x)=在[1，+∞）上均為增函數(shù)，故原函數(shù)為[1，+∞）上的增函數(shù).所以f(x)≥f(1)=,所以原函數(shù)的值域為[,+∞）②函數(shù)的定義域為[1，+∞）,y=,易知該函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)，所以f(x)≤f(1)=,所以原函數(shù)的值域為(0,].③函數(shù)的定義域為(-∞,],而g(x)=x和h(x)=在(-∞,]上均為增函數(shù)，故原函數(shù)為(-∞,]上的增函數(shù).所以f(x)≤f()=,所以原函數(shù)的值域為(-∞,]④函數(shù)在[1,3]上為增函數(shù)所以函數(shù)的值域為[1，27]⑤函數(shù)在(0,3]上為增函數(shù)，所以函數(shù)的值域為(-∞,9+ln3]⑥設(shè)2x+1=t，則t∈[1,9]，且x=，從而原函數(shù)或化為y=。當(dāng)t=0時，y=0,當(dāng)t≠0時，可證得在[1,]上是減函數(shù)，在[,9]上是增函數(shù)。故當(dāng)t∈[1,9]時,∈[2,14]，進而可求得原函數(shù)的值域為[,]（此題還有其他變換法求解）（4）利用基本不等式求值域(基本不等式：①若a,b∈R,則≥2∣ab∣≥2ab;②若a,b∈,則a+b≥2,兩個不等式均為當(dāng)a=b時,等號成立。)例如：求下列函數(shù)的值域①y=x+(x>0)②y=（x≥0）解：①∵x>0,∴x+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時,即x=1時,等號成立.所以函數(shù)的值域為[2，+∞）②當(dāng)x=0時,y=0,當(dāng)x>0時,y=,∵x>0,∴x+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,等號成立.所以函數(shù)的值域為y∈[0,4]注意：用均值不等式：若a,b∈,則a+b≥2求函數(shù)的最值時要“一正，二定，三等號成立”（5）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域。（其實質(zhì)上是利用函數(shù)的單調(diào)性求值域）例如：求函數(shù)y=2+2的值域解：=2x(4﹣1)，故原函數(shù)在區(qū)間(-1,-),(-,0),(0,),(,2)的單調(diào)性分別為：遞減，遞增，遞減，遞增。進而可得原函數(shù)的值域為：[，30]*（6）基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可利用基本函數(shù)的值域求得例如：求函數(shù)y=的值域解：函數(shù)的定義域為（-1，3）,令u=x∈（-1，3）易求得：0<u≤4因為函數(shù)y=為增函數(shù),所以原函數(shù)的值域為：(﹣∞,2](此題還有其他解法)（7）分離常數(shù)法（常用來解決“分式型”函數(shù)的值域）例如：求函數(shù)y=的值域解：y===3+∵≠0,∴3+≠3,∴函數(shù)y==的值域為{y∈R∣y≠3}（8）最值法：對于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用求函數(shù)最大值和最小值來求函數(shù)的值域。例如：求函數(shù)y=2sinx﹣1的值域。解：∵-1≤sinx≤1∴-3≤2sinx﹣1≤1∴所以原函數(shù)的值域為[-3,1]（9）判別式法：實質(zhì)是方程思想，通過對二次方程的實根的判別求值域的方法。例如：求函數(shù)的值域。解：由得y﹣2(y+1)x+2y﹣1=0,由y=0得-2x-1=0,則x=-,∴0是函數(shù)值域中的一個值.當(dāng)y≠0時,由△=﹣4y(2y﹣1)≥0得:≤y≤,故函數(shù)的值域為[,]（10）圖象法：如果函數(shù)的圖象較易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某些分段函數(shù)的值域常用此法）例如：求函數(shù)y=∣x-3∣-∣x+1∣的值域([-4,4])此外還有觀察法等7.給定函數(shù)的值域或最值，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍例如：(1)設(shè)函數(shù)f(x)=﹣2x+2a,當(dāng)x∈[-2,2]時，f(x)≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解法一，分離系數(shù)法；由f(x)≤0,得﹣2x+2a≤0，即2a≤-+2x，設(shè)g(x)=-+2x=﹣+1,x∈[-2,2]∵g(x)在[-2,2]的最小值為g(﹣2)=﹣8,∴2a≤﹣8,∴a≤﹣4所以實數(shù)a的取值范圍為:(﹣∞,﹣4]解法二：f(x)=﹣2x+2a=+2a﹣1,f(x)在x∈[-2,2]上值域為[2a-1,2a+8],要使f(x)≤0,x∈[-2,2]恒成立，只須2a+8≤0，所以a≤-4,所以實數(shù)a的取值范圍為:(﹣∞,﹣4](2).設(shè)f(x)=+ax+3,當(dāng)x∈[-2,2]時,f(x)≥0恒成立，求實數(shù)的取范圍。([﹣7,2])**(3).函數(shù)y=lg(+2x+m)的值是R，則實數(shù)m的取值范圍是_______(﹣∞,1]8.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍例如：已知函數(shù)f(x)=﹣6ax+1在[2，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_______解：f(x)=﹣6ax+1=+1﹣9,因為函數(shù)f(x)在[2，+∞）上為增函數(shù)，所以由3a≤2,得a≤所以實數(shù)a的取值范圍(﹣∞,]若函數(shù)y=f(x)在其定義D內(nèi),恒有f(x)≥a成立,求實數(shù)a的取值范圍,就是求f(x)的最小值；若函數(shù)y=f(x)在其定義D內(nèi),恒有f(x)≤a成立,求實數(shù)a的取值范圍,就是求f(x)的最大值。9.例題例1證明函數(shù)f(x)=x+在x∈(0,2)上是減函數(shù)解；（定義法）設(shè)0<<<2,則f()-f()=()-()=∵0<<<2,∴>0,∴∴從而函數(shù)f(x)在x∈(0,2)上為減函數(shù)。(此題也可用導(dǎo)數(shù)求解)例2`證明函數(shù)f(x)=(a<0)在(-1,1)上是增函數(shù)例3已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若a,b∈[-1,1],a+b≠0時,有，判斷函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。解：任取,∈[-1,1],且,則﹣∈[-1,1],又f(x)是奇函數(shù)，于是==,據(jù)已知<0∴<0即∴f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)。例4討論函數(shù)f(x)=x+的單調(diào)性(在(-∞,-1),(1,+∞)上均為增函數(shù);在(-1,0),(0,+1)上均為減函數(shù))例5如果二次函數(shù)f(x)=﹣(a﹣1)x+5在區(qū)間(,1)上是增函數(shù)，求f(2)的取值范圍解：二次函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1)上是增函數(shù)，由于其圖象（拋物線）開口向上，故其對稱軸x=或與直線x=重合或位于直線x=的左側(cè),于是=解之得a≤2,故f(2)≥-22+11=7,即f(2)≥7.例6定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)≠0,當(dāng)x>0時，f(x)>1,且對任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)?f(b)（1）求證:f(0)=1（2）求證：對任意的x∈恒有f(x)>0（3）求證：f(x)是R上的增函數(shù)（4）若f(x)?f(2x-)>1,求x的取值范圍（1）證明：令a=b=0,則f(0)=,又f(0)≠0,∴f(0)=1（2）證明：當(dāng)x<0時,-x>0,∴f(0)=f(x)?f(-x)=1,∴f(-x)=,又x≥0時f(x)≥>0,∴x∈R時,恒有f(x)>0.（3）證明：設(shè),則,∴=,∵,∴,又,∴>.∴,∴f(x)是R上的增函數(shù).（4）解：由f(x)?f(2x-)>1,f(0)=1,得f(3x-)>f(0),又f(x)是R上的增函數(shù),∴3x->0,∴0<x<3.練習(xí)題求下列函數(shù)的值域（1）y=3-x+2（2）y=2.求下列函數(shù)的值域（1）y=x+2（2）y=x-3.求下列函數(shù)的值域(1)y=﹣x+2x∈[1,3](2)y=ln(1-2x)(-2,-1)4．求下列函數(shù)的值域①y=2x++②y=5.（08重慶）函數(shù)f(x)=的最大值為（） ABCD16．（08安微）設(shè)函數(shù)f(x)=2x+﹣1(x<0),則f(x)（）A有最大值B有最小值C是增函數(shù)D是減函數(shù)7(07全國)設(shè)a>1，函數(shù)f(x)=在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為，則a=（）AB2C2D48.(09山東)對任意實數(shù)a、b，定義運算”*”如下:a*b=,則函f(x)=*的值域為（）A)[0,+∞)B(-∞,0]C(,0)D(,+∞)9.(2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.B.(0,3)C.(1,4)D.21世紀教育網(wǎng)10.（2009全國卷Ⅱ文）設(shè)則()（A）（B）（C）（D）*11.(09山東卷理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=，則f（2009）的值為()A.-1B.0C.1D.212.(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則().A.B.C.D.13.(10陜西文數(shù))下列四類函數(shù)中，個有性質(zhì)“對任意的x>0，y>0，函數(shù)f(x)滿足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是()（A）冪函數(shù)（B）對數(shù)函數(shù)（C）指數(shù)函數(shù)（D）余弦函數(shù)14.（2010安徽文數(shù)）（7）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a15.（2010重慶文數(shù)）（4）函數(shù)的值域是()（A）（B）(C)（D）16.（2010山東文數(shù)）(3)函數(shù)的值域為A.B.C.D.17（2010天津文數(shù)）(6)設(shè)()(A)a<c<b(B))b<c<a(C))a<b<c(D))b<a<c*18.（2010天津理數(shù)）（8）若函數(shù)f(x)=,若f(a)>f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是()（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）19.（2009浙江文）若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．，在上是增函數(shù)21世紀教育網(wǎng)B．，在上是減函數(shù)C．，是偶函數(shù)D．，是奇函數(shù)20.2009湖南卷文）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)取函數(shù)。當(dāng)=時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．B．C．D．21.（2009福建卷理）下列函數(shù)中，滿足“對任意，（0，），當(dāng)<時，都有>的是()A．=B.=C.=D22.(2009)遼寧卷文）已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足＜的x取值范圍是()（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）23.（2009陜西卷文）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則(A)(B)(C)(D)24..(2009陜西卷理)定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則當(dāng)時,有(A)(B)(C)(D