2020-2021高中數(shù)學第一冊學案：第一章集合與常用邏輯用語含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年高中數(shù)學新教材人教B版必修第一冊學案：第一章集合與常用邏輯用語含解析章末整合知識結(jié)構(gòu)·理脈絡(luò)要點梳理·晰精華1．集合中元素的三個特性特征含義示例確定性作為一個集合的元素，必須是確定的，不能確定的對象就不能構(gòu)成集合，也就是說,給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了集合A＝{1，2，3}，則1∈A,4?A互異性對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者說是互異的)，這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入同一集合時只能算集合的一個元素集合{x，x2－x}中的x應滿足x≠x2－x,即x≠0且x≠2無序性構(gòu)成集合的元素間無先后順序之分集合{1，0｝和｛0，1｝是同一個集合2．集合描述法的兩種形式(1）符號描述法：用符號把元素的共同屬性描述出來，其一般形式為{x｜P（x）｝或{x∈I｜P(x）｝，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x）是集合中元素x的共同屬性，豎線不可省略，如大于1且小于4的實數(shù)構(gòu)成的集合可以表示為｛x∈R｜1〈x〈4}．在不會產(chǎn)生誤解的情況下，x的取值集合可以省略不寫，如在實數(shù)集R中取值，“∈R"常省略不寫，于是上述集合可表示為{x|1〈x<4｝．(2)文字描述法:用文字把元素的共同屬性敘述出來,并寫在花括號內(nèi),如｛參加平昌冬奧會的運動員｝，但花括號內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”“全部”等字樣．3．全稱量詞命題和存在量詞命題的否定對含有全稱(存在）量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將全稱(存在）量詞改寫成存在（全稱）量詞；第二步，將結(jié)論加以否定．含有全稱量詞的命題的否定是含有存在量詞的命題,含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題．如：①“所有的正方形都是矩形”的否定為“至少存在一個正方形不是矩形"，其中，把全稱量詞“所有的”變?yōu)榇嬖诹吭~“至少存在一個”．②“存在一個實數(shù)x，使得|x|≤0"的否定為“對所有的實數(shù)x，都有|x|〉0”，其中，把存在量詞“存在一個”變?yōu)槿Q量詞“所有的”．4．條件關(guān)系判定的常用結(jié)論條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論p?q，且qpp是q的充分不必要條件q?p，且pqp是q的必要不充分條件p?q，且q?p，即p?qp是q的充要條件pq，且qpp是q的既不充分也不必要條件素養(yǎng)突破·提技能專題集合與方程、不等式的聯(lián)系┃┃典例剖析__■1．集合與方程的聯(lián)系典例1已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0｝，B＝{x|（x－1)[x－(a－1)]＝0｝,C＝｛x｜x2－mx＋1＝0｝,若A∪B＝A，A∩C＝C，求實數(shù)a，m的值或取值范圍．思路探究：在C?A中含有C＝?這種情況，所以在解題時要考慮集合C為空集的情況,避免漏解．解析：由題意可知A＝{1,3}．∵A∪B＝A，∴B?A，∴a－1＝3或a－1＝1，∴a＝4或a＝2。又A∩C＝C,∴C?A，若C＝?，則Δ＝m2－4<0，即－2〈m<2；若1∈C，則12－m＋1＝0，即m＝2，此時C＝{1}，A∩C＝C，符合題意；若3∈C，則9－3m＋1＝0，即m＝eq\f（10，3），此時方程為x2－eq\f（10，3)x＋1＝0，∴x＝3或x＝eq\f（1,3）,即C＝｛3,eq\f（1，3)}eq\o（?,/)A，∴m≠eq\f（10,3）.綜上可知，a＝4或a＝2，－2〈m≤2.2．集合與不等式的聯(lián)系典例2已知全集U＝R，集合A＝｛x|1≤x≤3｝，B＝｛x｜x＝m＋1，m∈A｝．(1）求圖中陰影部分表示的集合C；（2)若非空集合D＝｛x｜4－a〈x<a}，且D?（A∪B），求實數(shù)a的取值范圍．解析：（1)因為A＝{x|1≤x≤3｝，B＝{x｜x＝m＋1，m∈A｝，所以B＝{x｜2≤x≤4｝，由圖可得,C＝A∩(?UB），因為B＝｛x｜2≤x≤4｝，則?UB＝｛x|x>4或x〈2}，而A＝｛x｜1≤x≤3}，則C＝A∩（?UB）＝｛x｜1≤x〈2}．（2）因為集合A＝｛x|1≤x≤3}，B＝{x｜2≤x≤4｝,所以A∪B＝{x｜1≤x≤4｝．若非空集合D＝｛x｜4－a〈x〈a}，且D?（A∪B)，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（4－a<a，,4－a≥1,,a≤4,））解得2〈a≤3,即實數(shù)a的取值范圍為2<a≤3.歸納提升：解決集合與方程、不等式綜合的參數(shù)問題時,要特別注意兩點：（1)不要忽略集合中元素的互異性，即求出參數(shù)后應滿足集合中的元素是互異的，尤其要注意含參數(shù)的方程的解的集合．(2）空集是一個特殊的集合,它不含任何元素,是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，當題設(shè)中隱含有空集參與的集合關(guān)系與運算時，其特殊性容易被忽略,如解決有關(guān)A?B，A∩B＝?，A∪B＝B等集合問題時,應先考慮空集的情況．專題與集合有關(guān)的新定義問題┃┃典例剖析__■1．類比集合定義型典例3在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類"，記為[k］，即［k]＝｛5n＋k|n∈Z},k＝0,1，2,3，4。給出如下四個結(jié)論．①2019∈[1］；②－3∈[3］；③Z＝[0］∪[1］∪[2]∪［3］∪[4］;④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的條件是“a－b∈［0]"．其中，正確結(jié)論的序號是__③④__。思路探究：由整數(shù)集Z中“類”的定義可得出，［0］表示5的倍數(shù)組成的集合，［1］＝｛5n＋1|n∈Z}，[2]＝｛5n＋2｜n∈Z}等,然后結(jié)合題目逐一判斷．解析：因為2019＝5×403＋4，所以2019?[1]，故結(jié)論①不正確；因為－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈［2]，故結(jié)論②不正確；因為所有的整數(shù)被5除所得余數(shù)只能為0,1，2，3,4，所以Z＝[0]∪［1]∪[2]∪［3]∪［4]，故結(jié)論③正確;設(shè)a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2（n1，n2∈Z)，若a－b∈［0］，則a－b＝5（n1－n2）＋（k1－k2)∈[0],所以k1＝k2，則整數(shù)a,b屬于同一“類”，故結(jié)論④正確．2．類比集合間運算型典例4定義集合A與B的運算：A⊙B＝｛x｜x∈A或x∈B,且x?A∩B},已知集合A＝{1,2，3，4},B＝｛3,4,5，6,7｝，則(A⊙B)⊙B為(B）A．{1,2，3，4，5，6,7} B．｛1,2，3,4｝C．｛1，2｝ D．{3，4,5，6，7｝解析：方法一：利用維恩圖，如圖,由題意可知（A⊙B）⊙B為陰影部分所示，即｛1,2，3，4}．方法二:由新定義的運算，得A⊙B＝｛1,2,5,6，7｝，則（A⊙B)⊙B＝{1，2,5,6,7}⊙{3,4，5，6，7｝＝｛1，2,3,4｝．歸納提升：在集合的新定義問題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎(chǔ)上定義一種新的運算．解題時，要抓住兩點：(1）分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并且能夠應用到具體的解題過程中．（2）集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要熟練掌握．專題充分條件與必要條件的判斷與探求┃┃典例剖析__■典例5對于實數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6,那么p是q的__充分不必要__條件．解析:設(shè)U＝{（x，y）|x∈R，y∈R｝．命題p：x＋y≠8，對應集合為A＝｛(x，y）｜x＋y≠8}，命題q：x≠2或y≠6，對應集合為B＝｛（x，y）|x≠2或x≠6｝，命題?p：x＋y＝8，對應集合為?UA＝{（x，y）｜x＋y＝8}，命題?q：x＝2且y＝6，對應集合為?UB＝{（x,y)|x＝2且y＝6｝＝{（2,6）｝，顯然?UB?UA，所以AB，即p是q的充分不必要條件．典例6已知集合M＝{x｜x<－3或x〉5}，P＝{x｜a≤x≤8}．（1)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝｛x|5<x≤8}的充要條件;（2）求實數(shù)a的一個值,使它成為M∩P＝{x｜5<x≤8｝的一個充分但不必要條件；（3)求一個實數(shù)a的取值集合，使它成為M∩P＝{x｜5〈x≤8｝的一個必要但不充分條件．思路探究:由M∩P＝{x|5<x≤8｝,求得－3≤a≤5。（1）充要條件即－3≤a≤5.(2)尋找充分但不必要條件，a可取滿足－3≤a≤5的任意一個值．（3）尋找必要但不充分條件,此時a的取值集合應真包含{a｜－3≤a≤5}．解析:（1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝｛x|5〈x≤8}的充要條件是－3≤a≤5，即a的取值范圍為｛a｜－3≤a≤5}．(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8｝的一個充分但不必要條件，就是在集合｛a|－3≤a≤5｝中取一個值,如取a＝0，此時必有M∩P＝{x｜5<x≤8}；反之，M∩P＝｛x｜5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求的一個充分但不必要條件．（答案不唯一）(3）求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8｝的一個必要但不充分條件就是另求一個集合Q，使{a｜－3≤a≤5}是集合Q的一個真子集．易知當a≤5時,未必有M∩P＝｛x|5<x≤8}，但是M∩P＝｛x|5〈x≤8}時,必有a≤5,故{a｜a≤5｝是所求的一個a的取值集合．(答案不唯一)歸納提升：已知條件p,結(jié)論q對應的集合分別為A,B.用集合觀點來理解充要條件，有如下三類：一是兩個集合相等，那么p，q互為充要條件；二是兩個集合有包含關(guān)系,若AB，則p是q的必要不充分條件,若AB，則p是q的充分不必要條件；三是兩個集合沒有包含關(guān)系,那么p是q的既不充分也不必要條件．專題思想方法歸納┃┃典例剖析__■1．數(shù)形結(jié)合思想典例7已知集合A＝{x｜－4〈x<2｝，B＝｛x|x<－5或x〉1},C＝{x｜m－1〈x<m＋1，m∈R｝．（1）若A∩C＝?，求實數(shù)m的取值范圍;（2）若(A∩B)?C，求實數(shù)m的取值范圍．思路探究：借助于數(shù)軸把集合表示出來,找出滿足條件的m的取值范圍．解析：(1)如圖1所示．∵A∩C＝?，且A＝｛x|－4〈x〈2｝，C＝{x|m－1<x<m＋1}，∴m＋1≤－4或m－1≥2，解得m≤－5或m≥3.故實數(shù)m的取值范圍是{m｜m≤－5或m≥3}．(2）∵A＝{x|－4<x<2｝，B＝｛x|x〈－5或x〉1｝，∴A∩B＝｛x｜1<x<2｝．又（A∩B)?C，如圖2所示，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m－1≤1,，m＋1≥2，))解得1≤m≤2。故實數(shù)m的取值范圍是{m｜1≤m≤2}．歸納提升：數(shù)形結(jié)合的思想是充分運用“數(shù)”的嚴謹和“形"的直觀，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過代數(shù)的論證、圖形的描述來研究和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法．數(shù)形結(jié)合的思想通過“以形助數(shù),以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學問題的性質(zhì)，有利于達到優(yōu)化解題的目的．在解答有關(guān)集合的交、并、補運算以及抽象集合問題時,一般要借助數(shù)軸或Venn圖求解，這都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．2．分類討論思想典例8已知集合A＝{x｜－3<x〈5｝，B＝｛x|－4≤x≤3｝，C＝｛x|2x－3a－1〉0}，試求C∩(A∪B)．思路探究：對集合C的端點值分類討論，討論時做到不重不漏．解析：∵A＝｛x|－3〈x〈5｝,B＝{x｜－4≤x≤3｝,∴A∪B＝{x|－4≤x<5｝．∵2x－3a－1〉0，∴x>eq\f(3a＋1,2）.當eq\f(3a＋1,2)〈－4，即a<－3時，C∩(A∪B)＝｛x｜－4≤x<5｝；當－4≤eq\f（3a＋1，2）〈5，即－3≤a<3時，C∩(A∪B)＝｛x｜eq\f(3a＋1,2）<x〈5｝;當eq\f(3a＋1，2)≥5,即a≥3時，C∩(A∪B)＝?。綜上可知,當a〈－3時,C∩（A∪B）＝｛x|－4≤x<5｝；當－3≤a〈3時，C∩(A∪B）＝{x|eq\f(3a＋1，2）<x〈5｝;當a≥3時，C∩（A∪B）＝?.歸納提升:分類討論就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類問題的結(jié)論得到整個問題的解答．分類與整合就是化整為零,各個擊破，再積零為整的數(shù)學思想．求解此類問題的步驟:（1)確定分類討論的對象，即對哪個參數(shù)進行討論；(2)對所討論的對象進行合理的分類(分類時要做到不重不漏，標準要統(tǒng)一，分層不越級）；（3）逐類討論，即對各類問題逐類討論，逐步解決；（4）歸納總結(jié),即對各類情況總結(jié)歸納，得出結(jié)論．3．化歸與轉(zhuǎn)化思想典例9設(shè)p：實數(shù)x滿足a〈x〈3a（a〉0），q:2<x≤3，若?p是?q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．思路探究：?p是?q的充分不必要條件可轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件．解析：∵?p是?q的充分不必要條件，∴q是p的充分不必要條件,∴q?p,pq.令A＝{x|a〈x〈3a,a>0｝，B＝{x|2〈x∴BA，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a〉0，,a≤2，,3a>3,））∴1<a≤2，