量子力學課后習題

第一章緒論0K3電子伏，求其德布洛意波長。氦原子的動能是E

3kT（k為玻耳茲曼常數(shù)，求=1K時，氦原2子的德布洛意波長。利用玻爾-索末菲的量子化條件，求一維諧振子的能量；在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。量相等，問要實現(xiàn)這種轉化，光子的波長最大是多少？第二章波函數(shù)和薛定諤方程證明在定態(tài)中，幾率密度和幾率流密度與時間無關。1由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度:1（1）1

1eikr（r 1

reikr求粒子在一維無限深勢阱

V(x)

, 0xa

中運動的能級和波函數(shù)。

, x0xa1a證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是1a求一維線性諧振子處于第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。試求算符

d的本征函數(shù)。dx如果把坐標原點取在一維無限深勢阱的中心，求阱中粒子的波函0,xaa數(shù)和能級的表達式。U(x) 2a,x 2第三章量子力學中的力學量一維線性諧振子處于基態(tài) 0勢能的平均值；動能的平均值；r動量的幾率分布函數(shù)。r

ie x e x 2 2

求:a0氫原子處于基態(tài)r,,a0（1）r的平均值；

1 e

，求：勢能e2r

的平均值；最可幾半徑；動能的平均值；動量的幾率分布函數(shù)。I，它的能量的經(jīng)典表示式是H

L2，L為2I角動量。求與此對應的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：轉子繞一固定軸轉動；轉子繞一固定點轉動。一維運動的粒子的狀態(tài)是(x)Axex x0x0 其中0，求粒子動量的幾率分布函數(shù)；粒子的平均動量。a Ax(ax)態(tài)由波函數(shù) 描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的率分布和能量的平均值。設氫原子處于狀態(tài)(r,,)1R (r)Y

,)

(r)Y

,)32 21 103

2

11z出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值。7已知?和?是二個厄密算符，試證明：???也是厄密算符?i(????)也是厄密算符8.令

x

y

和

，試證明x yz（1）[?,?]=?（）[?,?]=zz 第四章態(tài)和力學量的表象xx

的矩陣元和2的矩陣元。x求一維無限深勢阱中粒子的坐標和動量在能量表象中的矩陣元。求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。設已知在?2和?表象中，算符?和?和矩陣分別為z x y0 1 0 0 i 0

1 0 1

i 0 i22 22 x y0 1 0 1

0 i 0和對角化。x y設厄米算符?，?滿足?2?21，????0求在?表象中，算符?和?的矩陣表示。第五章微擾理論r0球，計算這種效應對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。E02，現(xiàn)在受到微擾?的作用，微擾矩陣元為??a，??bb都是實數(shù)。12 21 11 22用微擾公式求其能量至二級修正。有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：??0?，其中2 0 0H 0 2 0

0H

0 0 0

10 0 0

0 0求能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似。在某一選定的一組正交基下哈米頓算符由下列矩陣給出1 c 0 Hc 3 0 0 0 c cH本征值到二級近似；H的精確本征值；5.求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。1.求證：x y z

i。在z

本征態(tài)1

1下，求 ?(S)2((S)2(S)2x y 2 在?z表象中，求?x和?y的本征值和所屬的本征函數(shù)。求自旋角動量在cos,cos,cos方向的投影coscoscosn x y z的本征值和所屬的本征函數(shù)。設氫原子狀態(tài)是 12323

R (r)Y21

,)

Y10

(,)z分量Lz分量S的平均值；z z求總磁矩?e

e

（SI）2 z分量的平均值（用玻爾磁子表示。色數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構成？7.證明(12)