(精心整理)幫你歸納總結(jié)(六)：導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題

幫你歸納總結(jié)(六)：導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題一、常見基本題型：(1)已知某個不等式恒成立，去求參數(shù)的取值范圍；(2)讓你去證明某個不等式恒成立。解此類問題的指導(dǎo)思想是：構(gòu)造函數(shù)，或參變量分離后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題。例1：已知函數(shù)f(X)=X2+2x+alnx，當(dāng)t>1時，不等式f(21-1)>2f(t)-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：不等式f(21-1)>2f(t)-3可化為212-41+2>aInt2-aln(21-1),即212-aIn12>2(21-1)-aln(21-1).記g(x)=2x-aInx(x>1)，要使上式成立，只須g(x)=2x-aInx(x>1)是增函數(shù)即可.a即g'(x)=2—>0在［1,+8)上恒成立，x即a<2x在［1,+8)上恒成立，故a<2，所以實數(shù)a的取值范圍是(-8，2］.x2例2：已知a>0，函數(shù)f(x)=一+2a(a+1)lnx-(3a+1)x.(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與直線y-3x=0平行，求a的值；(2)在(1)的條件下，若對任意xel1,2］，f(x)-b2-6b>0恒成立，求實數(shù)b的取值組成的集合．解：(1)f'(x)=x+2“(a+D-(3a+1)，由已知f(1)=3，x3即2a2-a=3，2a2-a-3=0，解得a=—或a=-1,23又因為a>0，所以a=-.3 x215 11x 5(2)當(dāng)a=—時，f(x)=--+—lnx-――，由(2)知該函數(shù)在(0,—)上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間1,2］上f(x)的最小值只能在x=1處取到.111又f(1)=_- =-522

若要保證對任意Xel1,2],f(x)-b2-6b>0恒成立，應(yīng)該有-5>若要保證對任意Xel1,2],即b2+6b+5<0，解得一5<b<-1,因此實數(shù)b的取值組成的集合是{bI-5<b<-1}.例3.函數(shù)f例)=X2+bln(x+1)-2x,bgR，設(shè)g(x)=f(x)+2x，若b>2，求證：對任意x,xg(-1,+^)，且x>x，都有g(shù)(x)-g(x)>2(x-x).TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2 1 2 12證明：因為f(X)=x2+bln(X+1)-2X，b2x2+b—2所以f(x)=2x+——--2= (x>-1)，X+1 X+1因為b>2，所以f'(x)>0(當(dāng)且僅當(dāng)b=2,X=0時等號成立)，所以f(x)在區(qū)間(-1,+8)上是增函數(shù)，從而對任意X,XG(-1,+8)，當(dāng)X>X時，f(X)>f(X)，1 2 1 2 1 2即g(x)-2x>g(x)-2X，所以g(x)-g(x)>2(X-x)。112 2 1 2 1 2、針對性練習(xí)八m 1 11.已知函數(shù)f(x)=In(2+3x)+x2在x=-處取得極值，若對任意xg[-,-]，不等2 3 63式Ia-InxI+In[f/(x)+3x]>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：函數(shù)的定義域為]XIX>-2|又f1(X)= 3 +mx,I3I 3x+2一1 _.1. m .由題設(shè)f(X)在3處取得極值，???廣(3)=0，即或1+y=0,m=-3。一、 3 。f'(X)= 3X。3X+2不等式Ia-InxI+In[f,(x)+3x]>0恒成立，3

即Ia-InxI+In >0恒成立。3x+2一11 3 6 1 3又Xg[—,],:?In g[0,-]，當(dāng)且僅當(dāng)X=時In -=0,63 3x+2 5 3 3x+2故a豐In不等式Ia-InxI+In[f,(x)+3x]故a豐In2、設(shè)函數(shù)f(x)lnxpx1=一+(I)求函數(shù)f(x)的極值點;(II)解：當(dāng)p>0時，若對任意的乂>0,恒有f(x)-0，求p的取值范圍;(II)解：(1)???f(x)=Inx-px+1,「.f(x)的定義域為(0,4w),f‘(x)=1-p二axx當(dāng)p-。時，f'(x)>0,f(x)在(。,內(nèi))上無極值點f'(x)=0,「.x=—e(0,+s),f'(x)、f(x)隨x當(dāng)p>0時，令 p 的變化情況如下表:X1(0,p)1p(-,)pf'(x)+0+00f(x)/極大值\1x- TOC\o"1-5"\h\z從上表可以看出：當(dāng)p>0時，f(x)有唯一的極大值點 p1 ,3 11x= f() ln(II)當(dāng)p>0時在p處取得極大值 pp，此極大值也是最大值，f(￡)=ln1 0要使f(x)0恒成立，只需pp,=<■p1 —?? 。3,已知函數(shù)f(x)-aInx-ax-3(aeR且a豐0).(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(11)若函數(shù)y-f(x)的圖像在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45。，問：m在什么范圍取值時，對于任意的te1,21，函數(shù)g(x)-x3+x2Pm+f(x)］在區(qū)間(t,3)上總存在2極值？解：(I)由f'(x)-a(1x)知：x當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)減區(qū)間是(1,+s)；當(dāng)〃<。時，函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間是(1,+8),單調(diào)減區(qū)間是(0,1);(II)由/'(2)=—？=1o4=—2,/(工)=一2廟x+2x—3,f'(x)=2--.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 xm m故g(、f+X2g+八葉13+(2+”—2%,??.gG)=3x2+(4+心-2,,??函數(shù)g(%)在區(qū)間a,3)上總存在極值,???g'(x)=0有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間?,3)內(nèi)又?.?函數(shù)g'(x)是開口向上的二次函數(shù)，且g'(0)=—2<0, ⑺<°U1(3)>0由g\t)<0u>zn<2-3/-4，,一打⑺=2-3/-4在021上單調(diào)遞減