第十章動(dòng)量矩定理

第十一章動(dòng)量矩定理第一節(jié)動(dòng)量矩的概念第二節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三節(jié)動(dòng)量矩定理

第四節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第五節(jié)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第六節(jié)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

本章重點(diǎn)1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算2.動(dòng)量矩守衡3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程4.剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程第一節(jié)動(dòng)量矩的概念一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩動(dòng)量mv對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為L(zhǎng)O

=r

mv動(dòng)量矩:物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的度量。質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，t時(shí)刻速度為v，動(dòng)量矩的量綱為dimL=ML2T－1。在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位為kg·m2／s在直角坐標(biāo)系中動(dòng)量矩可表為:(mv)xyM1A1動(dòng)量對(duì)過O點(diǎn)任一軸的矩為:LOl

=lo·(r

mv)[MO(mv)]z=

Mz(mv)

對(duì)z軸的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸z的動(dòng)量矩，

z軸過O點(diǎn)，[LO]z

＝Lz三、剛體的動(dòng)量矩1、剛體平動(dòng)2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

Jz稱為剛體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

3、剛體平面運(yùn)動(dòng)取通過質(zhì)心的平面圖形，將平面運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，平面圖形對(duì)垂直于運(yùn)動(dòng)平面的固定軸的動(dòng)量矩：CvC2.質(zhì)點(diǎn)系的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)動(dòng)質(zhì)心的動(dòng)量矩OxyzcxyzrircriMiLc=Lci=

ri

miviri=rc+rivi=vc+vriLO

=

ri

mivi=(rc+ri)

mivi=

rc

mivi+

ri

mivi=rc

P+Lc3.質(zhì)點(diǎn)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)動(dòng)質(zhì)心的動(dòng)量矩Lcr

=Lcri=ri

mivriLc

=ri

mivi=

ri

mi(vc+vri)=(miri

)vc+ri

mivri

=LcrLO

=

rc

P+Lc=rc

P+Lcr當(dāng)rc

P

時(shí),LO

=Lc

=Lcr第二節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義

剛體對(duì)某軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz等于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸z的距離平方的乘積之和。

rimi

質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱dimJ＝ML2，常用單位為kg·m2二、回轉(zhuǎn)半徑

令轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為三、平行軸定理求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用方法：1、積分法；2、組合法；3、負(fù)質(zhì)量法；4、實(shí)驗(yàn)法。四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例10-1均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m。試求(1)桿件對(duì)于過質(zhì)心C且與桿的軸線相垂直的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2)桿件對(duì)于過桿端A且與z軸平行的z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(3)桿件對(duì)于z軸和z1軸的回轉(zhuǎn)半徑。ClAB解：桿的線密度zxdx1.求對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取微段，其質(zhì)量為2.求對(duì)z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z13.求桿件對(duì)于z軸和z1軸的回轉(zhuǎn)半徑。ClABzz1例10-2

半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓盤，試求圓盤對(duì)于過中心O且與圓盤平面相垂直的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解圓盤的面密度為

取圓盤上一半徑為r，寬度為dr的細(xì)圓環(huán)回轉(zhuǎn)半徑例10-3

沖擊擺擺桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m1，擺盤質(zhì)量為m2，半徑為R，試求擺對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)擺桿和擺盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1、J2

挖去一半徑為的圓，試求其對(duì)于通過A的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例10-4

半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，在離圓心處解：設(shè)兩個(gè)圓盤的質(zhì)量分別為m1、m2，對(duì)軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA1、JA2，

第三節(jié)動(dòng)量矩定理、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

因此得將矢量式向過O點(diǎn)的固定軸投影：

2、動(dòng)量矩定理涉及到的量和動(dòng)量定理相同。固定點(diǎn)O處常注意：1、點(diǎn)O為固定點(diǎn)，v為絕對(duì)速度。有未知的約束反力，用動(dòng)量矩定理解題可求得運(yùn)動(dòng)量。二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，取其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)來考察，將作用根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和外力于該質(zhì)點(diǎn)上的力分為內(nèi)力i=1，2，3，…，n求和交換求和及求導(dǎo)的次序

將式向直角坐標(biāo)軸投影，

2、內(nèi)力不影響質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。注意：1、包含力偶矩；三、動(dòng)量矩守恒1、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒r、v組成的平面的方位不變。，（1）F過點(diǎn)O，稱為有心力，=常矢量。

F和軸z共面，=常數(shù)2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒，LO＝常矢量。（1），Lz＝常量。（2）

用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理解題的方便在于（1）內(nèi)力不出現(xiàn)；(2）對(duì)未知外力通過的轉(zhuǎn)軸用動(dòng)量矩定理，可方便地求運(yùn)動(dòng)量，常用于求解含單個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的系統(tǒng)問題。解題步驟同動(dòng)量定理。例10-5鼓輪重W，半徑為R，通過繩子懸掛一重W1的物體。在鼓輪作用一力偶M，試求重物上升的加速度。MWW1va4、用動(dòng)量矩定理求解。解得解：

1、取質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象；2、作出受力圖；3、運(yùn)動(dòng)分析：重物作平動(dòng)，鼓輪繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；例11-7

離心調(diào)速器的水平桿AB長(zhǎng)為2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)接重為W的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛。如某瞬時(shí)此細(xì)線拉斷后，桿AC垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為θ角，不計(jì)各桿重量，求此時(shí)系統(tǒng)的角速度。與BD各與鉛垂線成4、系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒。解：

1、取質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象；2、作出受力圖；3、運(yùn)動(dòng)分析：小球作圓周運(yùn)動(dòng)；WWF1xF2xF1yF2yF1zF1x

第四節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩為

注意：1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為一標(biāo)量方程，可解一個(gè)未知數(shù)?？汕蠼舛ㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)剛體兩類問題。2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。3、α、ω、MZ(F)符號(hào)的規(guī)定應(yīng)一致。4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程適用于單個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體。例11-8復(fù)擺的質(zhì)量為m，質(zhì)心為C，擺對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求復(fù)擺微幅擺動(dòng)的周期T。解：

1、取復(fù)擺為研究對(duì)象；2、作出受力圖；復(fù)擺微幅擺動(dòng)時(shí)，有

4、建立定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程3、運(yùn)動(dòng)分析：復(fù)擺繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；討論：1.此微分方程的解為2.測(cè)出零部件的擺動(dòng)周期后，可計(jì)算出它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

例11-9齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，嚙合處兩齒輪的半徑分別為r1=0.2m和軸I上作用有主動(dòng)力矩，軸II上有阻力矩轉(zhuǎn)向如圖所示。設(shè)各處的摩擦忽略不計(jì)，試求軸I的角加速度及r2=0.4m，對(duì)軸I、II的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為兩輪間的切向壓力Ft。M2M1M1o1F1xF1yW1FtFrM2Fr’Ft’F2xF2yW2o2解：

1、取輪Ⅰ、Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象；2、作出受力圖；M2M14、建立定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程聯(lián)立求解，得α1α23、運(yùn)動(dòng)分析：輪Ⅰ、Ⅱ繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；例11-10

均質(zhì)桿OA長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，其O端用鉸鏈支承，A端用細(xì)繩

解：

1、取桿為研究對(duì)象（一）用應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求角加速度3、運(yùn)動(dòng)分析：桿繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)懸掛。試求將細(xì)繩突然剪斷瞬時(shí)，鉸鏈O的約束反力。2、畫受力圖在該瞬時(shí)，角速度ω=0，但角加速度（二）應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求O處的反力

第五節(jié)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩為：

一、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩LO

=

rc

P+Lc=rc

P+Lcr二、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩：三、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理三、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒，LC＝常矢量

動(dòng)量矩定理成立的點(diǎn)：1、固定點(diǎn)；2、質(zhì)心；3、加速度始終指向或背離質(zhì)心的點(diǎn)（常為速度瞬心）。第六節(jié)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩為：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理描述：將質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理向

x，y

軸投影，剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：例10-11

半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線純滾動(dòng)。設(shè)輪的回轉(zhuǎn)半徑為ρC，作用于圓輪上的力偶矩為M，圓輪與地面靜摩擦因數(shù)為f。求（1）輪心的加速度；（2）地面對(duì)圓輪的約束力；（3）使圓輪只滾不滑的力偶矩M的大小。解：

1、取圓輪為研究對(duì)象；2、作圓輪的受力圖；4、建立平面運(yùn)動(dòng)微分方程。WCMaCrFNFα3、運(yùn)動(dòng)分析：圓輪作平面運(yùn)動(dòng)；在純滾動(dòng)（即只滾不滑）的條件下，有WCMaCrFNFαxy解得圓輪只滾不滑的條件為F≤fFN

即WCMaCrFNFαWCMaCrFNFαA本例可用相對(duì)于瞬心A的動(dòng)量矩定理求aC例10-12

均質(zhì)直桿AB長(zhǎng)l，質(zhì)量為M，靜止于光滑水平面上如圖所示。若突然把繩OA剪斷，求此瞬時(shí)點(diǎn)B的加速度和桿AB的角加速度。

ABCO解：

1、取桿為研究對(duì)象；2、作桿的受力圖；4、建立平面運(yùn)動(dòng)微分方程。3、運(yùn)動(dòng)分析：桿作平面運(yùn)動(dòng)；剪斷繩OA的瞬時(shí)，角速度為零。FNWaCα×聯(lián)立(1)(2)(3)式得:-m=FN-mg

(1)(2)ACOFNW×aCαaBCaCaB對(duì)AB桿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析aB=aC+aBC0=

+(3)y向y軸投影：aB=aC+aBC向x軸投影：ACOFNW×aCαaBCaCaByx解得：例10-13

質(zhì)量為M長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB用等長(zhǎng)的細(xì)繩懸掛靜止如圖所示.若突然把繩O2B剪斷,求此瞬時(shí)繩O1A的拉力T為多少.O1O2ABC解：

1、取桿為研究對(duì)象；2、作桿的受力圖；4、建立平面運(yùn)動(dòng)微分方程。3、運(yùn)動(dòng)分析：桿作平面運(yùn)動(dòng)；剪斷繩O2B的瞬時(shí)，角速度為零?！罠TmgaCαO1O2ABC×FTmgaCα聯(lián)立(1)(2)(3)式得:(1)(2)y對(duì)桿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析：aC

=aA+aCA=(3)把上式向y軸投影得:aAaA例題10-14

均質(zhì)圓柱體O和C的質(zhì)量均為M，半徑相等。圓柱O可繞通過點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱O上，繩的另一端繞在圓柱C上。求圓柱下落時(shí)，其質(zhì)心C

的角加速度及AB段繩的拉力。OCAB解（一）用相對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理求解2、作受力圖；4、對(duì)于固定點(diǎn)O寫出的動(dòng)量矩定理。3、運(yùn)動(dòng)分析：圓柱O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱C作平面運(yùn)動(dòng)；mgmgvAvBvBvCBωOωC1、取系統(tǒng)為研究對(duì)象；FOyFOxLo=Loo+Loc系統(tǒng)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩：OCABmgmgvAvBvBvCBωOωCFOyFOxOCAB

分別取兩圓柱為研究對(duì)象畫受力圖。其中FA

=FB

=FFAFBmgFOymg

FAR

=mR2αO/2=FR

(2)FBR

=mR2αC/2=FR

(3)αO=αC解得αC=2g/5RFOx取圓柱O為研究對(duì)象建立定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

FAR

=mR2αO/2解得:FA=0.2mgOAFAmgFOαOFOxOCABFAFBmgFOymgFOx

分別取兩圓柱為研究對(duì)象畫受力圖，其中FA

=FB

=F

FAR

=mR2αO/2=FR

(1)FBR

=mR2αC/2