高等數(shù)學(xué)上ch2-25無窮小的比較

2.2.6

o2 lim 2 x→0x→02

sinxx

x0時，x20，sinx設(shè)是同一自變量變化過程中的兩個無窮小且lim lim0是比設(shè)是同一自變量變化過程中的兩個無窮小且lim lim0是比高階的無窮小，記為o(limc（c為非零常數(shù)），與O( 或O().若以x作為x0時的基本無窮小若~Axk或 Ax0則稱xk階無窮小。(k特別地，若~A( x0)k(A0)則稱是xx0的k階無窮小x0x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1cosx~1x22(1 1xlimsinx1，limtanx1，limarcsinx1，limarctanx

1

limln(1x)limln(1x)x

ex

u

e

1u u0ln(1

lim1cosx1 (1x)1eln(1x)1~ln(1x) (x0時，比較無窮小tanxsinx和x3sinx limtanxsin

cos limsinxxcoslimsinxxcos 2 x0時，tanxsinxx3 x35sin2x 1x 1解

x35sin2xx2

x35sin2 (2)lim1x 1xlim 2 1,x 1x x11x x11xA、k 2 2x2 x~Axk x0 1x2 1x~Axk x解

2x2x2x2x2x23

xx(2x32x(2x322x322x2x4

x2x2x1 ~2x2x1

故A k111x1

x2

x(x1x211x211x212

A1 k2x1ln(3xx2~Ax1)kAkln(3x?x2ln(3x?x2)ln[1(2x?x2)]~2x?x2(1?x)而lim(1x)(2?x)

3(x ln(3xx2)~3(x

故A

k 設(shè)~，~且lim存在，則limlim

sin3

lim3 3x0ln(12 x02 tanxsin tanx(1cos x1 33

lim

sinhx

exe2

(ex1)(ex2limex1

ex11

2

2 xlim

xln(1x)lim[1x1

x1ln(1xlim e

e2fxa（a0，a1）axxa解fx)

ax(ax a

exlna

a

xln

axln所 (ax)axln (ex)ex（aa解f(x) limloga(xx)loga

loga(1x

ln(1x xln lnax0

(lnx)x 若~，則o()，o(o(或o()，則~證 ~，即lim1，則limlim1

即o()。同樣有o)

若 則lim

即lim1lim

即 lim1sinxcosx01sinpxcos0p2sinx2sin2lim x0sinpx2sin2limsinx0sinlimxx0pxx0x~Axx0Axx0為無窮小x的線性主

(A注1. 若xx0時，無窮小(x)~A(xx0)k (x)A(xx0)ko[(xx0)k] (x)A(xx0)k.

(A0,k3.3.定義設(shè)x~，則稱是（或是）的主部。 根據(jù)已知的等價無窮小 可得下面的等式和近似計當(dāng)|x|sinxxo( 當(dāng)|x|tanxxo( tanx cosx1 o(x2

cosx12ln(1x)xo( ln(1x)ex1xo( ex1(1x)1xo( (1x)1求常數(shù)A與 使x0cos2x2~Axk2x12e，x ，x解 e

1