新教材2021-2022學(xué)年人教b版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課時(shí)檢測(cè)312第二課時(shí)函數(shù)的最值平均變化率WORD版含解析

課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十)函數(shù)的最值、平均變化率[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．過(guò)下列兩點(diǎn)的直線不存在斜率的是()A．(4，2)與(－4，1) B．(0，3)與(3，0)C．(3，－1)與(2，－1) D．(－2，2)與(－2，5)解析：選D當(dāng)兩點(diǎn)所在直線與x軸垂直，即橫坐標(biāo)相等時(shí)，直線的斜率不存在．2．(多選)下列關(guān)于函數(shù)y＝ax＋1，x∈[0，2]的說(shuō)法正確的是()A．當(dāng)a<0時(shí)，此函數(shù)的最大值為1，最小值為2a＋1B．當(dāng)a<0時(shí)，此函數(shù)的最大值為2a＋1，最小值為1C．當(dāng)a>0時(shí)，此函數(shù)的最大值為1，最小值為2a＋1D．當(dāng)a>0時(shí)，此函數(shù)的最大值為2a＋1，最小值為1解析：選AD當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋1在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取得最大值為1；當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)取得最小值為2a＋1.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋1在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)取得最大值為2a＋1.故選A、D.3.李華在參加一次同學(xué)聚會(huì)時(shí)，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華認(rèn)為：如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時(shí)間內(nèi)倒入的飲料量相同)，那么杯子中飲料的高度h是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)h(t)，則函數(shù)h(t)的圖像可能是()解析：選B由于圓口杯的形狀是“下細(xì)上粗”，則開(kāi)始階段飲料的高度增加較快，往后高度增加得越來(lái)越慢，僅有B中的圖像符合題意．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－2)在區(qū)間[3，4]上的最大值和最小值分別為M，m，則eq\f(m2,M)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,2) D.eq\f(8,3)解析：選D易知f(x)＝eq\f(2x,x－2)＝2＋eq\f(4,x－2)，所以f(x)在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞減，所以M＝f(3)＝2＋eq\f(4,3－2)＝6，m＝f(4)＝2＋eq\f(4,4－2)＝4，所以eq\f(m2,M)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).5．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值為()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選B當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)為減函數(shù)，此時(shí)f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝1；當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，最大值為f(0)＝2.綜上可得，f(x)的最大值為2，故選B.6．過(guò)曲線y＝x2上兩點(diǎn)A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割線，當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，割線AB的斜率為_(kāi)_______．解析：因?yàn)楦罹€AB的斜率kAB＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（Δx＋2）2－22,Δx)＝eq\f(（Δx）2＋4Δx,Δx)＝Δx＋4，所以當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，割線AB的斜率為4.1.答案：4.17．(2020·北京高考)為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W＝f(t)，用－eq\f(f（b）－f（a）,b－a)的大小評(píng)價(jià)在[a，b]這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在t3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時(shí)間中，在[0，t1]的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析：由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1時(shí)刻高于乙企業(yè)，而在t2時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；由題圖知在t2時(shí)刻，甲企業(yè)對(duì)應(yīng)的關(guān)系圖像斜率的絕對(duì)值大于乙企業(yè)的，故②正確；在t3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，③正確；甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時(shí)間中，在[0，t1]的污水治理能力明顯低于[t1，t2]時(shí)的，故④錯(cuò)誤．答案：①②③8．已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值為f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：如圖可知f(x)在[1，a]內(nèi)是單調(diào)遞減的，又∵f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，3]，∴1<a≤3.答案：(1，3]9．求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x))在區(qū)間[1，1＋Δx]內(nèi)的平均變化率．解：∵Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(1－1－Δx,（1＋\r(1＋Δx)）\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,（1＋\r(1＋Δx)）\r(1＋Δx))，∴函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x))在區(qū)間[1，1＋Δx]內(nèi)的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(－1,（1＋\r(1＋Δx)）\r(1＋Δx)).10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a＞0，x＞0)．(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，求a的值．解：(1)證明：設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,x2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,x1))),x2－x1)＝eq\f(\f(1,x1)－\f(1,x2),x2－x1)＝eq\f(1,x1x2)，由x1，x2∈(0，＋∞)知，x1x2＞0，eq\f(1,x1x2)＞0，∴eq\f(Δy,Δx)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由(1)可知，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上為增函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,a)－2＝eq\f(1,2)，f(2)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,2)＝2，解得a＝eq\f(2,5).[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，且a<c<b.則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．若f(x)在[a，c]上是增函數(shù)，在[c，b]上是減函數(shù)，則f(x)max＝f(c)B．若f(x)在[a，c)上是增函數(shù)，在[c，b]上是減函數(shù)，則f(x)max＝f(c)C．若f(x)在(a，c]上是增函數(shù)，在[c，b]上是減函數(shù)，則f(x)max＝f(c)D．若f(x)在[a，c]上是增函數(shù)，在(c，b)上是減函數(shù)，則f(x)max＝f(c)解析：選BD若f(x)在[a，c]上是增函數(shù)，則f(c)≥f(x)，x∈[a，c]；在[c，b]上是減函數(shù)，則f(c)≥f(x)，x∈[c，b]，所以f(x)max＝f(c)，故A正確；若f(x)在[a，c)上是增函數(shù)，在[c，b]上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值不一定為f(c)，如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2，－1≤x<0，,－x＋1，0≤x≤1，))故B錯(cuò)誤；若f(x)在(a，c]上是增函數(shù)，在[c，b]上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為f(c)，故C正確；若f(x)在[a，c]上是增函數(shù)，在(c，b)上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值不一定為f(c)，故D錯(cuò)誤．故選B、D.12．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[0，2]C．(－∞，2] D．[1，2]解析：選Df(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故選D.13．用min{a，b}表示a，b兩個(gè)數(shù)中的較小值，設(shè)f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為_(kāi)_______．解析：在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝x＋2和y＝10－x的圖像．解方程x＋2＝10－x得x＝4，此時(shí)y＝6，故兩圖像的交點(diǎn)為(4，6)．根據(jù)min{x＋2，10－x}(x≥0)的含義可知，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))為如圖中的實(shí)線部分．觀察圖像知，兩圖像的交點(diǎn)即為f(x)圖像的最高點(diǎn)，故f(x)的最大值為6.答案：614．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：(1)證明：當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝eq\f(x,x＋2).設(shè)x1，x2∈(－∞，－2)，且x1≠x2，則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(x2,x2＋2)－\f(x1,x1＋2),x2－x1)＝eq\f(x2（x1＋2）－x1（x2＋2）,（x2－x1）（x1＋2）（x2＋2）)＝eq\f(2,（x1＋2）（x2＋2）).由x1，x2∈(－∞，－2)知，x1＋2＜0，x2＋2＜0，所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，即eq\f(Δy,Δx)＞0，所以f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1≠x2，則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(x2,x2－a)－\f(x1,x1－a),x2－x1)＝eq\f(x2（x1－a）－x1（x2－a）,（x2－x1）（x1－a）（x2－a）)＝eq\f(－a,（x1－a）（x2－a）).由a＞0，x1，x2∈(1，＋∞)，且eq\f(Δy,Δx)＜0知(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1，故0＜a≤1，所以a的取值范圍為(0，1]．[C級(jí)拓展探究]15．已知函數(shù)y＝x＋eq\f(t,x)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t>0，那么該函數(shù)在(0,eq\r(t)]上是減函數(shù)，在[eq\r(t)，＋∞)上是增函數(shù)．已知f(x)＝eq\f(4x2－12x－3,2x＋1)，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域．解：f(x)＝eq\f(4x2－12x－3,2x＋1)＝2x＋1＋eq\f(4,2x＋1)－8，設(shè)u＝2x＋1，x∈[0，1]，則1≤u≤3，故y＝u＋eq\f(4,u)－8，u∈[1，3]．由已知性質(zhì)得，當(dāng)1≤u≤2，即0≤x