數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)3篇

數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)3篇數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)1一、教學(xué)目標：

1.了解雙曲線的定義及幾何性質(zhì)；

2.掌握雙曲線的標準方程以及其圖像的基本特征；

3.了解雙曲線與焦點、離心率的相關(guān)性質(zhì)。

二、教學(xué)重難點：

1.掌握雙曲線的標準方程；

2.了解雙曲線與焦點、離心率的相關(guān)性質(zhì)。

三、教學(xué)準備：

1.教師備課資料；

2.教材資料。

四、教學(xué)內(nèi)容：

1.雙曲線的定義及基本性質(zhì)

雙曲線是一種與直線對稱的曲線，其基本方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

雙曲線有如下幾何性質(zhì)：

(1)雙曲線的兩支相互分離，與直線$x=0$和$y=0$分別相切，且在$y軸$正半軸和$y軸$負半軸分別有一個漸近線；

(2)兩支雙曲線在$x$軸上有交點，該點稱為雙曲線的頂點；

(3)雙曲線與$x$軸交于兩點，稱為雙曲線的兩個$x$截距點；

(4)雙曲線的中心為原點，其兩支的對稱軸分別為$x=0$和$y=0$軸。

(5)雙曲線的離心率為$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$，與焦點的距離的比例為$\frac{PF_1}{F_1O}=e$，$\frac{PF_2}{F_2O}=e$。

2.雙曲線的標準方程及圖像特征

雙曲線的標準方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

當(dāng)$a>b$，且$b^2=a^2+c^2$時，雙曲線的標準方程可表示為

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2}=1$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

雙曲線的圖像特征為：

(1)當(dāng)$a>b$時，兩支雙曲線分別沿$x$軸伸展，對稱中心在原點，頂點在$x$軸上；

(2)當(dāng)$a<b$時，兩支雙曲線分別沿$y$軸伸展，對稱中心在原點，其頂點在$y$軸上。

3.雙曲線與焦點、離心率的相關(guān)性質(zhì)。

雙曲線有如下焦點和離心率的性質(zhì)：

(1)雙曲線有兩個焦點$F_1$和$F_2$，坐標分別為$(\pmae,0)$，其中$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$為雙曲線的離心率；

(2)焦點$F_1$、$F_2$到曲線上任一點$P$的距離之差等于$2a$，即$PF_1-PF_2=2a$；

(3)雙曲線的離心率$e$是兩個焦點到對稱軸的距離之比，即$e=\frac{F_1C}{OY}=\frac{F_2C}{OY}$，其中$C$為對稱軸上離中心最近的點。

4.綜合例題

例1：求通過點$(4,0)$，焦點在$y$軸上的雙曲線的標準方程。

解：由于焦點在$y$軸上，設(shè)雙曲線方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。

又由于過點$(4,0)$，代入雙曲線方程得到$\dfrac{16}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，

化簡得到$4-y^2=\dfrac{4a^2-b^2}{a^2}y^2$，

將$a=\sqrt{(4+f)^2+16}$，$b^2=4f^2+16$代入方程得到

$y^2=\dfrac{80-12f-3f^2}{3f+4}=\dfrac{3}{4}(4-f)-\dfrac{(f-2)^2}{4(4+3f)}$。

因為要求通過點$(4,0)$的雙曲線方程，

所以$f=2$，代入得$y^2=2-\dfrac{1}{7}x^2$，

即為所求雙曲線的標準方程。

例2：以下敘述是否正確：“雙曲線有兩個焦點，兩焦點到曲線上任一點的距離之差等于$2a$”。

解：這個敘述是正確的，可以通過雙曲線的定義，或者求兩個焦點到曲線上(P點)的距離得到。

設(shè)雙曲線方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，兩個焦點坐標為$(ae,0)$和$(-ae,0)$，

則過曲線上任一點$P(x,y)$的兩條直線分別為$PF_1:y=k(x-ae)$和$PF_2:y=k(x+ae)$，

其中$k=\dfrac{y}{x}$，因為點$P$在雙曲線上，所以它在曲線的兩支中的一支上，不妨假設(shè)在$x>0$的那支雙曲線上，

又因為$k=\dfrac{y}{x}>0$，所以$PF_1$和$PF_2$在$x$軸的兩側(cè)，不互相干擾。

代入雙曲線方程，得到

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(k(x-ae))^2}{b^2}=1$和$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(k(x+ae))^2}{b^2}=1$。

兩式消去$x$的平方項，得到$k^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2}=\dfrac{1}{e^2}$。

將$k$代入$PF_1$和$PF_2$的式子，得到$PF_1=\dfrac{a}{e}$，$PF_2=\dfrac{a}{e}$，

所以$PF_1-PF_2=\dfrac{a}{e}-(-\dfrac{a}{e})=2a$，

即為所述的性質(zhì)。

五、教學(xué)反思

雙曲線是高一數(shù)學(xué)中比較重要的內(nèi)容之一，需要同學(xué)們掌握其標準方程以及圖像的基本特征。本課時通過雙曲線的定義及基本性質(zhì)、標準方程及圖像特征以及雙曲線與焦點、離心率的相關(guān)性質(zhì)三個方面進行了講解，希望同學(xué)們能夠通過課上講解和課下練習(xí)掌握雙曲線的相關(guān)知識，為后續(xù)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)2教案內(nèi)容：雙曲線的幾何性質(zhì)

一、知識背景

雙曲線是一種重要的二次曲線，也是一種基本的函數(shù)曲線。在數(shù)學(xué)中，它有著重要的應(yīng)用，涉及到許多重要問題，如高速公路的規(guī)劃、天體軌道的計算、綜合布線的設(shè)計等。

二、教學(xué)目標

1、能夠熟練地描述雙曲線的定義、基本形態(tài)。

2、了解雙曲線的坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程的求法。

3、認識雙曲線的離心率、漸近線、對稱軸等幾何性質(zhì)，并能將其運用到具體問題中。

三、教學(xué)過程

1、雙曲線的定義

雙曲線是由一個點P和兩條互相垂直的直線（焦點直線）F1F2上的點集合成的，P點到F1、F2兩點距離之差為常數(shù)2a（a>0），稱為雙曲線的參數(shù)，表示為e。雙曲線可以分為兩支，稱為第一支和第二支。

2、雙曲線的基本形態(tài)

雙曲線的基本形態(tài)有兩種：右雙曲線和左雙曲線。由于雙曲線是軸對稱的，因此我們只討論右雙曲線。

右雙曲線有如下特征：

（1）焦點F1、F2在x軸上，且距離為2a。

（2）雙曲線的頂點在x軸上，且距離為a。

（3）雙曲線的漸近線分別為x=a和x=-a。

（4）雙曲線的坐標軸為對稱軸。

3、雙曲線的方程

（1）坐標方程：

對于右雙曲線，它的坐標方程為：

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>b>0)

左雙曲線的坐標方程為：

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=-1

（2）參數(shù)方程：

右雙曲線的參數(shù)方程為：

x=asecθ,y=btanθ

左雙曲線的參數(shù)方程為：

x=-asecθ,y=btanθ

（3）極坐標方程：

對于右雙曲線，它的極坐標方程為：

r^2/a^2-cos^2θ=1

左雙曲線的極坐標方程為：

r^2/a^2-sin^2θ=-1

4、雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)有很多，這里只列舉部分重要的。

（1）焦點到雙曲線上任意一點的距離之差等于參數(shù)2a。

（2）雙曲線的離心率大于1，且等于c/a，其中c為焦點與頂點的距離。

（3）雙曲線的漸近線分別為x=a和x=-a，斜率分別為±b/a。

（4）雙曲線的對稱軸在y軸上。

（5）雙曲線與x軸的交點在x=±a處。

（6）雙曲線上任意一點的切線與焦點連線的夾角等于對應(yīng)焦點線段與橫軸的夾角。

5、例題解析

（1）問題：求由雙曲線x^2/16-y^2/25=1所確定的圖形的面積。

解：根據(jù)該雙曲線的方程，可知a=4，b=5。求出其焦點的坐標，為(±3,0)。再求出雙曲線與x軸的交點坐標為(±4,0)。因此，該雙曲線確定的圖形為一個橢圓和它上下方兩個無限大的扇形。根據(jù)橢圓的面積公式和扇形的面積公式，可求出該圖形的面積為π×4×5+2×(1/2)×4^2×π/2=30π。

（2）問題：求由雙曲線x^2/9-y^2/1=1所圍成的面積。

解：根據(jù)該雙曲線的方程，可知a=3，b=1。求出其焦點的坐標，為(±(√10)/2,0)。因此，該雙曲線確定的圖形為兩個對稱的分支，它們的交點坐標為(±3,0)。由于雙曲線的對稱軸在y軸上，因此可以通過將一個分支分別繞y軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個體積相等的旋轉(zhuǎn)體，再求出它們的體積之和即可。根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式，可求出該圖形的體積為Π×（∫03y^2×dx+∫3√103y^2×dx）?；娇傻迷搱D形的體積為（33/2-3Π）/2，所圍面積為（33/2-3Π）。

四、總結(jié)

本節(jié)課對雙曲線這種常見的曲線進行了詳細的介紹。包括雙曲線的定義，基本形態(tài)，方程，以及其幾何性質(zhì)。了解這些知識，能夠幫助我們更好地理解并應(yīng)用雙曲線。數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)3一、教學(xué)目標

1.了解雙曲線的基本概念和方程；

2.理解雙曲線的幾何性質(zhì)；

3.掌握畫出雙曲線的方法；

4.能夠解決與雙曲線有關(guān)的問題。

二、教學(xué)重點難點

1.雙曲線的方程和概念；

2.雙曲線的幾何性質(zhì)。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.雙曲線的基本概念和方程

雙曲線是一種具有兩支的曲線，它的定義方式是在平面上選取兩個點F1和F2以及一條直線L，使得F1、F2都在L的同一側(cè)且在L上的任意點P滿足PF1-PF2的差恒定，這個差就是雙曲線的離心率，表示為ε。

雙曲線的主軸是連接兩個頂點的線段，離心率ε=a/c，其中a和c是頂點到主軸距離的一半和焦點到頂點距離的一半。雙曲線一般表達式為x2/a2-y2/b2=1或y2/a2-x2/b2=1，分別表示豎直方向和水平方向的雙曲線。

2.雙曲線的幾何性質(zhì)

（1）雙曲線有兩條漸近線，水平方向的雙曲線的漸近線為y=±b/a×x，豎直方向的雙曲線的漸近線為x=±b/a×y。

（2）雙曲線有兩個對稱軸，分別是x=0和y=0；

（3）雙曲線的離心率ε>1，離心率越大，雙曲線的形狀越扁，當(dāng)ε趨于無窮大時，雙曲線趨近于兩條漸近線的距離越來越小的平行線。

（4）雙曲線的焦點是曲線兩支的交點。

（5）雙曲線是一對共軛的曲線，即兩支曲線互為中心對稱。

（6）雙曲線上每一個點的切線都與離心線成同一個角度。

3.畫出雙曲線的方法

（1）根據(jù)雙曲線的方程，初步判斷雙曲線的形狀；

（2）確定離心距和焦點位置，根據(jù)離心率確定雙曲線的大?。?/p>

（3）確定曲線上兩點的坐標，作出雙曲線中心O；

（4）求出兩條漸近線的位置，并畫出；

（5）根據(jù)曲線的幾何性質(zhì)，如對稱性等，畫出整個雙曲線。

四、教學(xué)方法

講授、演示

五、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入

通過展示一地球儀和一個橢圓形、一個雙曲線形的籃球，向?qū)W生展示橢圓和雙曲線的形狀。詢問他們是否了解這兩種曲線，然后引入雙曲線的定義和基本概念。

2.知識講解

講解雙曲線的概念、方程及幾何性質(zhì)。

3.畫出雙曲線

演示如何畫出雙曲線，讓學(xué)生通過練習(xí)畫出多種不同類型的雙曲線，強化對雙曲線的理解和掌握。

4.解決問題

通過解決一些相關(guān)問題，練習(xí)學(xué)生的能力，幫助他們鞏固雙曲線的概念和幾何性質(zhì)，提升應(yīng)用能力。

5.總結(jié)

對雙曲線的基本概念和幾何性質(zhì)進行總結(jié)，鞏固所學(xué)內(nèi)容。

六、教學(xué)評價

檢測數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)

1.雙曲線的離心率表示為（）。

A.a/b

B.b/a

C.a+c/b

D.a/c

2.雙曲線的主軸是連接（）的線段。

A.兩個頂點的點

B.兩個焦點的點

C.兩個漸近線的點

D.雙曲線的中心和焦點

3.雙曲線的一般表達式為（）