二、平面電磁波基礎(chǔ)

第二章平面電磁波基礎(chǔ)12.1波動(dòng)方程無源區(qū)域麥克斯韋方程為可以導(dǎo)出波動(dòng)方程：

2對(duì)于最簡單的均勻平面波在橫向平面內(nèi)場(chǎng)量的大小和方向都是不變的。因此，對(duì)于沿z軸方向傳播的均勻平面波，場(chǎng)矢量E和H都不是x、y的函數(shù)，則有3對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，類似的可導(dǎo)出復(fù)波動(dòng)方程同樣可綜合寫為42.2無界空間的均勻平面波主要內(nèi)容如下所示：

理想介質(zhì)中的均勻平面波導(dǎo)體介質(zhì)中的均勻平面波沿Z軸傳播沿任意方向傳播52.2.1理想介質(zhì)中的均勻平面波1、沿Z方向傳播對(duì)于正弦均勻平面波，假設(shè)其在自由空間沿Z軸方向傳播，且則復(fù)波動(dòng)方程為：

6研究其中的正向行波將其代入麥克斯韋第二方程，得式中稱為媒質(zhì)的本征阻抗。在自由空間中可見和構(gòu)成一組沿+z方向傳播的分量波。同樣，和構(gòu)成另一組也沿+z方向傳播的分量波，它們是彼此獨(dú)立的。

7電磁強(qiáng)度的的瞬時(shí)值表示式為：在固定點(diǎn)觀察即確定Z值可定義時(shí)間周期T和頻率f分別為

在確定的時(shí)刻t上觀察電場(chǎng)隨空間坐標(biāo)的變化，可定義波長為

即

k即為單位距離內(nèi)的全波數(shù)，故稱為波數(shù)。圖2.2.2

t=0時(shí)刻，的圖形8為進(jìn)一步理解波數(shù)k的含義。我們定義一個(gè)波數(shù)的基本單位，它表示每米空間距離上的變化周期數(shù)。同樣對(duì)于t=0的時(shí)刻，當(dāng)取時(shí)，，在1m的空間距離中有一個(gè)變化周期，如圖所示：9當(dāng)取時(shí)，則在1m的空間距離中有二個(gè)變化周期，如下圖所示：10當(dāng)取時(shí)，，則在1m的空間距離中有三個(gè)變化周期，如下圖所示：11下圖繪出三個(gè)不同時(shí)刻，Ex隨kz變化的圖形。12從圖中看出，電場(chǎng)矢量隨著時(shí)間的增加是沿+z軸方向傳播的，此即正向行波。在理想介質(zhì)種，均勻平面波的平均功率流密度為

13在這里應(yīng)用了矢量恒等式且考慮到以及。引入本征阻抗相速度故平均功率流密度可表示為在無界的理想介質(zhì)中，式中的（或）表示理想介質(zhì)中的總的平均能量密度。平均電能密度為，平均磁能密度為二者各占一半。142、沿任意方向傳播應(yīng)該指出，并不是在任何情況下設(shè)定波的傳播方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的某個(gè)坐標(biāo)軸方向都是方便的。譬如將要討論的波對(duì)分界面斜入射問題，在設(shè)定分界面與某個(gè)坐標(biāo)面平行后，波的傳播方向就只能是任意方向。15在右圖中，波沿任意方向傳播，設(shè)傳播方向的單位矢量為，則波矢量為，它與x、y、z軸的夾角分別為、、，則

圖2.2.6沿任意方向傳播的平面波的等相位面16式中由于故有波矢量與位置矢量的點(diǎn)乘之積若為常數(shù)則確定的平面為且垂直于波矢量K

17因此沿任意方向傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度可表示為這一結(jié)果表明，電場(chǎng)矢量E和磁場(chǎng)矢量H都位于與傳播方向垂直平面內(nèi)，且E和H相互垂直，E、H、k三者符合右手螺旋關(guān)系。相應(yīng)的平均坡印廷矢量為易見電磁能量是沿方向傳播的182.2.2導(dǎo)電介質(zhì)中的均勻平面波導(dǎo)電介質(zhì)特性是電導(dǎo)率不等于0，則

若令

這里的是介電常數(shù)，是損耗因子，與電導(dǎo)率和角頻率有關(guān)。則得

19引入等效介電常數(shù)后的波動(dòng)方程為其中20導(dǎo)體介質(zhì)中對(duì)應(yīng)波動(dòng)方程的解為故稱為衰減常數(shù)，稱為相位常數(shù)定義穿透深度，表示傳播距離后，振幅衰減了倍z圖2.2.7導(dǎo)電介質(zhì)中波的傳播21與電場(chǎng)E相伴的磁場(chǎng)H可由方程求得式中稱為導(dǎo)電介質(zhì)的本征阻抗，是一個(gè)復(fù)數(shù)，與介質(zhì)參數(shù)以及頻率有關(guān)。22寫出的瞬時(shí)值形式的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度可看出和存在一個(gè)相位差。下圖繪出某時(shí)刻的圖形，可以看出它們的振幅隨傳播距離z的增大而按指數(shù)規(guī)律衰減。圖2.2.7導(dǎo)電介質(zhì)中波的傳播23導(dǎo)電介質(zhì)中，波的相速度為可見相速度不僅與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，還與頻率有關(guān)。導(dǎo)電介質(zhì)是色散媒質(zhì)。導(dǎo)電介質(zhì)中的平均功率流密度矢量為可見這是沿+z方向傳播的衰減波，平均功率流密度的減小速率為2。241良導(dǎo)體則即有本征阻抗相速穿透深度穿透深度很小，說明良導(dǎo)體中的電磁場(chǎng)實(shí)際只能存在于表面薄層內(nèi)。這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)，穿透深度又稱為趨膚深度。252低損耗介質(zhì)即有則26例：海水的電參數(shù)為：電導(dǎo)率，相對(duì)介電常數(shù)，相對(duì)磁導(dǎo)率。設(shè)頻率的平面波在海水中傳播，試計(jì)算：相位常數(shù)、衰減常數(shù)、相速、本征阻抗和趨膚深度。解：可見，在100KHz的頻率上，海水為良導(dǎo)體。故相位常數(shù)27衰減常數(shù)相速本征阻抗趨膚深度282.3平面波的極化2.3.1平面波的極化概念討論具有如下電場(chǎng)矢量表示的均勻平面波

這是包含Ex和Ey兩個(gè)分量、沿+z軸方向傳播的均勻平面波。

292.3.2平面波的極化形式

取z=0，此時(shí)的式子變?yōu)榭紤]以下幾種情況1．線極化波若，式中的n=0，1，2……即Ex與Ey同相，例如取，則有矢量的端點(diǎn)在如圖（a）所示的一條直線上運(yùn)動(dòng)，是線極化波。

30若，式中的n=0，1，2……即Ex與Ey反相，例如取，則有矢量的端點(diǎn)在如圖（b）所示的一條直線上運(yùn)動(dòng)，也是線極化波。結(jié)論：若兩個(gè)頻率相同、傳播方向也相同的電場(chǎng)分量同相或反相，則合成電場(chǎng)描述一個(gè)線極化波。312．圓極化波若，且，即Ex分量的相位超前于Ey分量的相位，且振幅相等。例如取，則有不難看出,Ey分量取最大值時(shí)，Ex分量為零。隨著時(shí)間的增大，Ex分量逐漸增大，Ey分量則逐漸減小。的端點(diǎn)將由方向朝的負(fù)方向旋轉(zhuǎn)，如下圖(a)所示。易見這是一個(gè)半徑為的圓方程。且表示的是一個(gè)右旋圓極化波。32若，且，即Ex分量的相位落后于Ey分量的相位，且振幅相等。同上分析可知此時(shí)表示的是一個(gè)左旋圓極化波。結(jié)論：若兩個(gè)頻率相同，傳播方向也相同的電場(chǎng)分量的振幅相等，相位差為，則合成電場(chǎng)描述一個(gè)圓極化波。

圖2.3.2圓極化波（在z＝0平面上）333.橢圓極化波若電場(chǎng)矢量的兩個(gè)分量的振幅和相位是任意的，則描述的是一個(gè)橢圓極化波。為簡化分析，但又不失一般性，我們?nèi)?，則有

在上式中消去時(shí)間變量t，得這是一個(gè)橢圓方程。當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)右旋橢圓極化波，當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)左旋橢圓極化波

34從上面的討論可以看出，兩個(gè)線極化波可以合成其它極化形式的波，譬如圓極化波、橢圓極化波或新的線極化波；任意一個(gè)橢圓極化波或圓極化波可以分解為兩個(gè)線極化波。

圖2.3.3橢圓極化波35在一個(gè)固定時(shí)刻，譬如取t=0，得即：電場(chǎng)矢量的端點(diǎn)沿+z軸運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)螺距為的右旋螺旋線。若是右旋圓極化波，電場(chǎng)矢量端點(diǎn)隨z變化則與z軸成左旋關(guān)系。

圖2.3.4圓極化波在空間的分布362.3.3Poincare極化球和Stokes參數(shù)對(duì)于嚴(yán)格的單色波，它是全極化的。斯托克斯（Stokes）提出的表征一個(gè)波的振幅和極化的四個(gè)參數(shù)是：稱為Stokes參數(shù)。式中的、和分別是場(chǎng)分量的振幅及其相位差。

37參數(shù)S0和S1直接給出振幅，和可以由S0和S1求得，相位差可由S2或S3確定。另外，還可看出若將看作是半徑為的球上一點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)分量，和分別是該點(diǎn)的俯仰角和方位角，則所有的極化狀態(tài)都可用一種簡單的幾何關(guān)系表示出來。每種極化狀態(tài)都對(duì)應(yīng)著球上的一個(gè)點(diǎn)，反之球上每一個(gè)點(diǎn)也對(duì)應(yīng)著一種極化狀態(tài)。

381．線極化設(shè)都不為零，則此時(shí)則可見，線極化波的所有點(diǎn)都在Poincare球的赤道上。

2．左旋圓極化此時(shí)，。則有：可見，表示左旋圓極化波的點(diǎn)在Poincare球的北極點(diǎn)3．右旋圓極化同理可判斷右旋圓極化波的點(diǎn)在Poincare球的南極點(diǎn)。圖2.3.6Poincare球394．左旋橢圓極化此時(shí)，據(jù)知。可見，表示左旋橢圓極的點(diǎn)都在Poincare球的上半球面。5．右旋橢圓極化此時(shí)，故有?？梢姡硎居倚龣E圓極的點(diǎn)都在Poincare球的下半球面。402.4平面波對(duì)不同媒質(zhì)分界面的垂直入射

電磁波從一種媒質(zhì)中傳播到與另一種媒質(zhì)的分界面時(shí)，由于分界面兩側(cè)媒質(zhì)的本征阻抗不同，故要發(fā)生波的反射和透射現(xiàn)象。入射波的一部分在分界面處被反射，形成反射波；另一部分將透過分界面在另一種媒質(zhì)中繼續(xù)傳播，形成透射波。

本著從簡單到復(fù)雜的認(rèn)識(shí)規(guī)律，我們先討論垂直入射，隨后再討論斜入射。

41單一頻率的均勻平面波從半無界的媒質(zhì)1中垂直入射到與媒質(zhì)2的分界面上，設(shè)分界面為無限大平面z=0。媒質(zhì)1（的區(qū)域）的電參數(shù)為，媒質(zhì)2（的區(qū)域）的電參數(shù)為。為簡化討論，設(shè)入射波為x方向的線極化波。圖2.4.1描繪出入射波、反射波和透射波的正方向，入射波和透射波沿+z方向傳播，反射波沿-z方向傳播。

2.4平面波對(duì)不同媒質(zhì)分界面的垂直入射42EiHiSiErHrSrHtEtStzyxo媒質(zhì)1媒質(zhì)2圖2.4.1平面波垂直入射到z=0的平面43式中的是媒質(zhì)1中的相位常數(shù)，是媒質(zhì)1的本征阻抗。媒質(zhì)2是理想導(dǎo)體，其本征阻抗。當(dāng)入射波達(dá)到其表面時(shí)將被全部反射，形成沿-z方方向傳播的反射波。其電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為

（2.4.3）（2.4.4）

44考慮功率密度有則有驗(yàn)證了電磁能量守恒定律45媒質(zhì)1中同時(shí)存在入射波和反射波，二者疊加構(gòu)成媒質(zhì)1中的合成波，其總電場(chǎng)為根據(jù)理想導(dǎo)體的邊界條件，在z=0處應(yīng)有

即（2.4.5）

因此，媒質(zhì)1中的總電場(chǎng)為

46

（2.4.6）媒質(zhì)1中的總磁場(chǎng)為

(2.4.7)由式（2.4.7）看出，在z=0處，媒質(zhì)1中的合成磁場(chǎng)為，而媒質(zhì)2中，即分界面上磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量不連續(xù)，因此分界面上存在表面電流，有

47

（2.4.8）為便于討論媒質(zhì)1中合成波的時(shí)空特性，寫出總電場(chǎng)和總磁場(chǎng)的瞬時(shí)值表示式

48

圖2.4.2是根據(jù)式（2.4.9）和式（2.4.10）繪出的和的圖形，從圖形可看出此時(shí)已不存在波的移動(dòng)，而只是在原處隨時(shí)間的變化而上下49振動(dòng)。從圖中還看到駐波電場(chǎng)和駐波磁場(chǎng)的時(shí)間相位、空間相位都相差，即在時(shí)間上兩者有的相差，在空間位置上錯(cuò)開。

ozxExzyHyo圖2.4.2對(duì)理想導(dǎo)體垂直入射時(shí)，合成波電場(chǎng)、磁場(chǎng)的時(shí)空關(guān)系50媒質(zhì)1中的合成波的平均坡印廷矢量為

結(jié)果說明在駐波狀態(tài)下沒有電磁能量的流動(dòng)。事實(shí)上，在處，瞬時(shí)坡印廷矢量始終為零，因此電磁能量僅在范圍內(nèi)流動(dòng)，在電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間不斷進(jìn)行能量交換。例2.4.1有一右旋圓極化波從空氣中垂直51入射到位于z=0處的理想導(dǎo)體板上，已知電場(chǎng)強(qiáng)度的表示式為

式中的

（1）判定反射波的極化形式；

（2）求理想導(dǎo)體板上的面電流密度。

解：（1）設(shè)反射波電場(chǎng)的表示式為

例2.4.1有一右旋圓極化波從空氣中垂直52利用理想導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零的邊界條件，得

和

故

反射波的電場(chǎng)則為

可見，反射波是沿-z軸方向傳播的左旋圓極化波。這種入射波經(jīng)反射后由右旋變?yōu)?3左旋的現(xiàn)象稱為極化反轉(zhuǎn)，有重要應(yīng)用價(jià)值。

（2）入射波的磁場(chǎng)為

反射波的磁場(chǎng)為

54于是得空氣中的合成波磁場(chǎng)

理想導(dǎo)體板上面電流密度為2.4.2對(duì)理想介質(zhì)的垂直入射

圖2.4.1中的媒質(zhì)1和媒質(zhì)2都是理想介質(zhì)，55它們的電參數(shù)分別為和相位常數(shù)分別為和

本征阻抗分別為和

當(dāng)入射波投射到分界面上時(shí)，由于阻抗不連續(xù)將發(fā)生反射和透射。用場(chǎng)量匹配法來求解這一類問題。設(shè)入射波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)表示式分別為

（2.4.12）

（2.4.13）

56反射波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)表示式分別為

（2.4.14）

（2.4.15）

而透射波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)表示式分別為

（2.4.16）

（2.4.17）

在媒質(zhì)1中，存在入射波和反射波，合成波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)為

（2.4.18）57在媒質(zhì)2中，只有透射波，故

（2.4.19）

利用理想介質(zhì)分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)的邊界條件，由式（2.4.18）和（2.4.19）得（2.4.20）把入射波的電場(chǎng)振幅Eim

作為已知量，由

58式（2.4.20）求得（2.4.21）（2.4.22）把反射波的電場(chǎng)振幅與入射波的電場(chǎng)振幅之比，定義為反射系數(shù)，表示為（2.4.23）把透射波的電場(chǎng)振幅與入射波的電場(chǎng)振幅之比，定義為透射系數(shù)，表示為（2.4.24）59這樣，媒質(zhì)1中的合成波電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為而媒質(zhì)2中的透射波電場(chǎng)強(qiáng)度表示為

（2.4.26）式（2.4.25）表明媒質(zhì)1中的合成波電場(chǎng)包括兩部分：含有因子的項(xiàng)是行波分量，它是振幅為、沿+z軸方向傳播的波；另一項(xiàng)是振幅為的駐波分量。我們稱這類波為行駐波（或混合波）。它的電場(chǎng)最大值60和最小值分布在空間的固定位置上，即也有固定的波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)，因?yàn)檫€存在行波分量，故波節(jié)點(diǎn)場(chǎng)量不再為零。式（2.4.26）表面透射波是單向行波。在討論行駐波時(shí)常引入駐波系數(shù)，其定義是（2.4.27）最后再看看發(fā)生反射和透射現(xiàn)象時(shí)的電磁功率關(guān)系。先寫出入射波、反射波和透射波的平均功率流密度

61于是這一結(jié)果表明，反射功率與透射功率之和，等于入射功率。這是電磁能量守恒定律的必然結(jié)果。62例2.4.2已知媒質(zhì)1為空氣，媒質(zhì)2為非磁性理想介質(zhì)；入射波從空氣中垂直入射到非磁性理想介質(zhì)表面。設(shè)入射波的頻率為1GHz，入射波的電場(chǎng)振幅為10V/m。（1）計(jì)算反射系數(shù)和透射系數(shù)；

（2）分別寫出媒質(zhì)1、2中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)表示式；

（3）求入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。63解：（1）

故反射系數(shù)為

透射系數(shù)為

（2）設(shè)入射波沿+z方向傳播，入射波的電場(chǎng)沿x軸取向，則入射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)64表示式分別為式中

反射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)表示式分別為

65媒質(zhì)1中合成波電場(chǎng)表示式為

磁場(chǎng)為

媒質(zhì)2中只有透射波，故

66式中（3）672.4.3對(duì)導(dǎo)電介質(zhì)的垂直入射圖2.4.1中的媒質(zhì)1和媒質(zhì)2都是導(dǎo)電介質(zhì)，其電參數(shù)分別為和。引入復(fù)介電常數(shù)

故傳播常數(shù)為

68本征阻抗為

先寫出入射波、反射波和透射波的場(chǎng)量表示式，再利用邊界條件求出反射波、透射波與入射波的關(guān)系。按圖2.4.1的設(shè)定方向，入射波場(chǎng)量表示式為

69

（2.4.28）反射波

（2.4.29）透射波

（2.4.30）媒質(zhì)1中的合成波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)則分別為

（2.4.31）

70利用分界面（z=0處）上電場(chǎng)、磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)的邊界條件，由式（2.4.30）和（2.4.31）得

（2.4.32）由式（2.4.32）求得

（2.4.33）

（2.4.34）與式（2.4.23）、（2.4.24）比較，可見71形式完全相同，區(qū)別在于這里的本征阻抗是復(fù)數(shù)，因而反射系數(shù)和透射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。這說明入射波在分界面上產(chǎn)生反射和透射后，反射、透射波的大小和相位都要發(fā)生變化。72例2.4.3入射波的電場(chǎng)強(qiáng)度表示為當(dāng)其從空氣中垂直入射到位于z=0處的導(dǎo)電介質(zhì)（參數(shù)為）的表面時(shí)，（1）求反射系數(shù)，并寫出反射波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)表示式；（2）求透射系數(shù)，并寫出透射波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)表示式；（3）透射波傳播多少距離就可認(rèn)為已衰減完了？解：由題設(shè)條件計(jì)算出媒質(zhì)的相關(guān)參數(shù)媒質(zhì)1：空氣73媒質(zhì)2：導(dǎo)電介質(zhì)

既而74（1）反射系數(shù)

故反射波的電場(chǎng)為

或75反射波的磁場(chǎng)為或

（2）透射系數(shù)

76此時(shí)，透射波的電場(chǎng)為或

透射波的磁場(chǎng)為

77或

（3）媒質(zhì)2中，波的穿透深度為通常，電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中傳播距離為5時(shí)，就可認(rèn)為是衰減完了，故此時(shí)

即此時(shí)的電場(chǎng)值已降至原值的倍，即衰減約為50dB。

782.5均勻平面波對(duì)多層媒質(zhì)分界面的垂直入射

當(dāng)空間存在三種或三種以上不同媒質(zhì)時(shí)，電磁波在每兩種不同媒質(zhì)的分界面上都將發(fā)生反射和透射現(xiàn)象，下面以三種媒質(zhì)為例，討論均勻平面波垂直入射時(shí)的反射和透射問題。設(shè)三種媒質(zhì)具有平面分界面，分別置于z=0和z=d處。假設(shè)媒質(zhì)I中的入射波沿+z方向傳播，電場(chǎng)只有x分量，磁場(chǎng)只有y分量，如圖2.5.1所示。79均勻平面波從媒質(zhì)I垂直入射時(shí)，在分界面1上發(fā)生反射和透射。一部分被反射回媒質(zhì)I。另一部分透過分界面1進(jìn)入媒質(zhì)II，且在媒質(zhì)II中繼續(xù)沿+z方向傳播。

圖2.5.1對(duì)多層媒質(zhì)分界面的垂直入射媒質(zhì)媒質(zhì)媒質(zhì)zx1280在分界面2上該透射波又將發(fā)生反射和透射，一部分被反射回媒質(zhì)II，而另一部分透過分界面2進(jìn)入媒質(zhì)III。因而在媒質(zhì)I中有入射和反射波，在媒質(zhì)II中也有入射波和反射波，在媒質(zhì)III中只有透射波。在媒質(zhì)I中：入射波反射波

81合成波:

（2.5.1）類似的，在媒質(zhì)II中的合成波

：

（2.5.2）類似的，在媒質(zhì)III中的合成波

：

（2.5.3）82在式（2.5.1）～(2.5.3)中，是媒質(zhì)I中入射波的振幅，假設(shè)為已知量，、、和皆為待求量?？衫梅纸缑?和分界面2上電場(chǎng)切向分量連續(xù)和磁場(chǎng)切向分量連續(xù)的邊界條件求出。在z=0處（即分界面2處），由式（2.5.2）、（2.5.3），得

83聯(lián)解上式得出分界面2處的反射系數(shù)為和透射系數(shù)

（2.5.6）

（2.5.7）在z=-d（即處分界面1處），由式（2.5.1）、（2.5.2），得

（2.5.8）

84將與分界平面平行的任意平面上的總的電場(chǎng)與總的磁場(chǎng)的比值定義為等效波阻抗（也稱總場(chǎng)波阻抗），表示為

則由（2.5.8）和(2.5.9)得到分界面1處（z=-d）的等效波阻抗為85又由

得到分界面1處的反射系數(shù)

（2.5.11）此式的含義是媒質(zhì)II和媒質(zhì)III對(duì)分界平面1處的反射系數(shù)的貢獻(xiàn)，可用一種等效媒質(zhì)來代替，該效媒質(zhì)的本征阻抗為，由式（2.5.10）確定。

86再由，得分界面1處的透射系數(shù)

（2.5.12）這樣，在假定已知的情況下，就可求得各層媒質(zhì)中的入射波、反射波和透射波。872.6均勻平面波對(duì)分界面的斜入射88先定義一個(gè)入射面：由分界平面的法線n和入射波的波矢量構(gòu)成的平面，稱為入射平面，如圖2.6.1中的xoz平面。n與之間的銳角稱為入射角，而n與反射波的波矢量和透射波的波矢量之間的夾角、分別稱為反射角和透射角。如圖2.6.1所示。

入射波的電場(chǎng)矢量與波矢量垂直，但與入射平面一般情況下成任意角度。我們可以將其分解為與入射平面垂直的分量和與入射平面平行的兩個(gè)分量。把電場(chǎng)分量與入射平面垂直的平面波，稱為垂直極化波；892.6.1垂直極化波對(duì)理想介質(zhì)表面的斜入射垂直極化波以入射角斜入射到兩種媒質(zhì)的分界面上，如圖2.6.2所示。這時(shí)

圖2.6.2垂直極化波對(duì)介質(zhì)分界面的斜入射90入射波的電場(chǎng)矢量與入射面垂直，即沿y方向極化，可表示為

（2.6.1）式中為入射波的波矢量

（2.6.2）

故入射波電場(chǎng)矢量可寫為

（2.6.3）

入射波的磁場(chǎng)為91

(2.6.4)反射波的電場(chǎng)為

（2.6.5）式中為垂直極化入射時(shí)的電場(chǎng)反射系數(shù)，為反射波的波矢量

（2.6.6）

92故反射波電場(chǎng)矢量可寫為

（2.6.7）反射波的磁場(chǎng)為

(2.6.8)透射波的電場(chǎng)為

（2.6.9）

式中為垂直極化入射時(shí)的電場(chǎng)透射系數(shù)，為透射波的波矢量93

（2.6.10）故透射波電場(chǎng)矢量可寫為

（2.6.11）透射波的磁場(chǎng)為

(2.6.12)

利用分界面上，電場(chǎng)切向分量連續(xù)的邊界94條件，由入射波、反射波和透射波的電場(chǎng)表示式，即式（2.6.3）、式（2.6.7）和式（2.6.11），當(dāng)z=0時(shí)，得

（2.6.13）此式對(duì)分界面上任意的x值（包括x=0）都應(yīng)滿足。而對(duì)于x=0，上式變?yōu)?/p>

（2.6.14）因此，要保證式（2.6.13）對(duì)分界面上任意的x值都滿足，必須

95（2.6.15）從式表明，在分界面上，入射波、反射波和透射波的波矢量的切向分量連續(xù)，通常稱為相位匹配條件。由式（2.6.2）、式（2.6.6）和式（2.6.10）可得

（2.6.16）

于是由式（2.6.15）中的第一個(gè)等式，得96（2.6.17）表明反射角等于入射角，與光學(xué)中的斯耐爾反射定律完全相同。由式（2.6.15）中的第二個(gè)等式，得

（2.6.18）這是斯耐爾折射定律。97即

（2.6.19）聯(lián)立求解式（2.6.14）和式（2.6.19），得（2.6.20）（2.6.21）以上兩式稱為垂直極化波的菲涅耳公式。根據(jù)這個(gè)公式，就可用入射場(chǎng)來表示反射場(chǎng)和透射場(chǎng)。

98例2.6.1在的半無限介質(zhì)中，有一正弦均勻平面波斜入射到與空氣相交的分界面上，如圖2.6.3所示。已知入射波的電場(chǎng)為

由介質(zhì)斜入射到空氣。99（1）求入射波的波長、相速、頻率和相伴的磁場(chǎng)；

（2）求入射角、反射角和透射角；

（3）求反射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)；

（4）求透射波的平均功率密度。

100解：（1）由題給的電場(chǎng)表示式知入射波的波矢量則

則入射波的波長為相速為頻率為

101入射波的磁場(chǎng)為（2）由得所以，入射角，反射角根據(jù)折射定律，得

故透射角

102（3）據(jù)式（2.6.20）,得反射系數(shù)為由式（2.6.7）得反射波的電場(chǎng)為而由式（2.6.6）于是103由式（2.6.8）得反射波的磁場(chǎng)為

（4）

據(jù)式（2.6.21）得透射系數(shù)為據(jù)式（2.6.11）得透射波的電場(chǎng)為104而由式（2.6.10）于是

由式（2.6.12）得透射波的磁場(chǎng)為105故透射波的平均功率密度為此結(jié)果表明，在題給條件下的透射波功率是沿分界平面?zhèn)鞑サ摹?/p>

1062.6.2平行極化波對(duì)理想介質(zhì)表面的斜入射如圖2.6.4所示，入射波的電場(chǎng)與入射面平行，入射波的磁場(chǎng)必然垂直與入射面。分析方法與垂直極化時(shí)完全類似，不同的是這里以入射波磁場(chǎng)為已知量。利用分界面上，磁場(chǎng)切向分量連續(xù)的邊界條件，由入射波、反射波和透射波的磁場(chǎng)表示式，得

（2.6.22）

（2.6.23）

107還可以得到與前面相同的相位匹配條件、斯耐爾反射定律和斯耐爾折射定律以及稱為平行極化的菲涅耳公式（2.6.24）

(2.6.25)

108

2.6.3全反射與臨界角對(duì)于非鐵磁性物質(zhì)，，此時(shí)的折射定律為

當(dāng)，即平面波從稠密媒質(zhì)1斜入射到稀疏媒質(zhì)2時(shí)，，隨著入射角的增大，折射角也增大。當(dāng)增大到某一角度時(shí)，就出現(xiàn)。在這一角度入射時(shí)，折射波將貼著分界面?zhèn)鞑ァ４藭r(shí)的反射系數(shù)為

109看見，且當(dāng)時(shí)，媒質(zhì)1中的入射波將被分界面完全反射回到媒質(zhì)1中，這種現(xiàn)象稱為全反射。使折射角的入射角，稱為臨界角，記為。由折射定律可求出臨界角

（2.6.26）顯然，只有當(dāng)時(shí)，臨界角才有實(shí)數(shù)解，才可能產(chǎn)生全反射。同樣可以證明，當(dāng)時(shí)，反射系數(shù)均110為復(fù)數(shù)，且有此時(shí)也會(huì)出現(xiàn)全反射現(xiàn)象。由此得出結(jié)論：當(dāng)均勻平面波從稠密媒質(zhì)1入射到稀疏媒質(zhì)2，即時(shí)，不管是垂直極化波還是平行極化波，只要，都會(huì)產(chǎn)生全反射。下面進(jìn)一步討論當(dāng)時(shí)透射波的情況。由折射定律知道，當(dāng)時(shí)111故沒有實(shí)數(shù)解。而這時(shí)，垂直極化波入射到分界平面時(shí)產(chǎn)生的透射波電場(chǎng)為1122.6.4全透射與布儒斯特角若平面波從媒質(zhì)1入射到媒質(zhì)2時(shí)，在媒質(zhì)分界面上不產(chǎn)生反射，電磁波功率將全部透射到媒質(zhì)2中，這種現(xiàn)象稱為全透射。媒質(zhì)1和媒質(zhì)2均為非鐵磁性媒質(zhì)，則平行極化波對(duì)分界面斜入射時(shí),欲使，必須（2.6.27）將折射定律和代入上式，得

113

2.6.5垂直極化波對(duì)理想導(dǎo)體表面的斜入射

如圖2.6.5所示，媒質(zhì)1是理想介質(zhì)，其參數(shù)為；媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，其參數(shù)為。垂直極化波從媒質(zhì)1中以入射角斜入射到兩種媒質(zhì)的分界面上。

114因?yàn)槔硐雽?dǎo)體的電導(dǎo)率，故其本征阻抗。根據(jù)垂直極化波的菲涅耳公式，即式（2.6.20）和式（2.6.21），得垂直極化波對(duì)理想導(dǎo)體表面斜入射時(shí)，。即產(chǎn)生全反射。故合成波的總電場(chǎng)和總磁場(chǎng)分別為

(2.6.30)

115

(2.6.31)(2.6.32)116從式（2.6.30）和式（2.6.32）可以看出，垂直極化波斜入射到理想導(dǎo)體平面邊界時(shí)，有如下特性：（1）在垂直于導(dǎo)體邊界的方向上即z方向，合成波呈駐波分布，此方向上波傳播的平均功率為零。（2）因子表明合成波沿+x方向傳播，此方向上的相位常數(shù)為，故相速度為在傳播方向上沒有電場(chǎng)分量，但存在磁場(chǎng)分量；稱這種波為橫電波（TE波）。117（3）波的等振幅面是z=常數(shù)的平面，等相位面是x=常數(shù)的平面，故合成波是非均勻平面波。（4）由總電場(chǎng)表示式（2.6.30）可以看出，當(dāng)時(shí)，無論x為何值，總是為零。由，得故在處裝上一塊與邊界平行的導(dǎo)體板，原來的場(chǎng)分布并不會(huì)改變。1182.6.6平行極化波對(duì)理想導(dǎo)體表面的斜入射119（2.6.33）（2.6.34）從式（2.6.33）和式（2.6.34）可以看出，平行極化波斜入射到理想導(dǎo)體平面邊界時(shí)，有如下特性：（1）在垂直于導(dǎo)體邊界的方向上即z方向，120合成波呈駐波分布，此方向上波傳播的平‘均功率為零。

（2）因子表明合成波沿+x方向傳播，此方向上的相位常數(shù)為，故相速度為

在傳播方向上沒有磁場(chǎng)分量，但存在電場(chǎng)分量；稱這種波為橫磁波（TM波）。

121（3）波的等振幅面是z=常數(shù)的平面，等相位面是x=常數(shù)的平面，故合成波是非均勻平面波。

（4）若在處裝上一塊與邊界平行的導(dǎo)體板，原來的場(chǎng)分布并不會(huì)改變。這樣，z=0和平面之間構(gòu)成了另一種平行板波導(dǎo)，此時(shí)傳播的是TM波。

1222.7相速與群速

相速是指電磁波等相位面推進(jìn)的速度。對(duì)于沿+z方向傳播的電磁波，等相位面為z=常數(shù)的平面，其相速度（2.7.1）在無界無損耗媒質(zhì)中，，這時(shí)與頻率無關(guān)，因此可以認(rèn)為無界無損耗媒質(zhì)是非色散的。而在導(dǎo)電媒質(zhì)中k是頻率的非線性函數(shù)，這時(shí)與頻率有關(guān)，因此，導(dǎo)電媒質(zhì)又稱色散媒質(zhì)。123對(duì)于沿任意方向傳播的電磁波，其中波矢量，等相位面為常數(shù)的平面，其相速度

（2.7.2）現(xiàn)在考慮波沿方向上的相位變換情況。因?yàn)榇怪庇趚軸的平面不是等相位面。該平面上的相位分布為。而波沿該方向的相速則為124

（2.7.3）該相速又稱為x方向的視在相速，它可能大于光速。只表示波的等相位面沿x軸移動(dòng)的速度，并不表示能量傳播速度。圖2.7.1中的能量是由A點(diǎn)以傳播來的，而不是由P點(diǎn)傳來的。假設(shè)在色散媒質(zhì)中同時(shí)存在兩個(gè)傳播方向相同、電場(chǎng)振幅相等、極化相同，但頻率不同的正弦波，頻率分別為125和式中的，相應(yīng)的相位常數(shù)為和電場(chǎng)表示為合成波電場(chǎng)為126這一表達(dá)式可以看成是角頻率為、振幅按隨角頻率緩慢變化、沿+z方向傳播的波，稱為調(diào)幅波，調(diào)制頻率為。對(duì)于波的某恒定相位點(diǎn)，由常數(shù)，得其相速度

根據(jù)振幅調(diào)制因子可導(dǎo)出波的包絡(luò)上某恒定相位點(diǎn)移動(dòng)的速度，即群速。由常數(shù)，當(dāng)時(shí)，得群速127

（2.7.4）它是調(diào)制波包絡(luò)的相速。相當(dāng)于窄帶信號(hào)的傳播速度，這是因?yàn)閷拵ьl譜信號(hào)的包絡(luò)形狀在傳播過