2022-2023學(xué)年吉林省長春市汽開區(qū)聯(lián)盟校區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年吉林省長春市汽開區(qū)聯(lián)盟校區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷題號一二三總分得分一、選擇題（共8小題，共24.0分.）1.若函數(shù)y=(m?2)x2+5x+6是二次函數(shù)，則有A.m≠0 B.m≠2 C.x≠0 D.x≠22.下列命題是真命題的是(

)A.直徑是圓中最長的弦 B.三個點(diǎn)確定一個圓

C.平分弦的直徑垂直于弦 D.相等的圓心角所對的弦相等3.已知一元二次方程x2+x=0，下列判斷正確的是(

)A.該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B.該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.該方程無實(shí)數(shù)根 D.該方程根的情況無法確定4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，若ADAB=AEAC=23，且△ADE的面積為A.5

B.8

C.9

D.125.如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點(diǎn)，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動，則下滑過程中OP的長度變化情況是(

)A.逐漸變大 B.不斷變小 C.不變 D.先變大再變小6.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=35，AB=10，則BC的長為(

)A.3 B.4 C.6 D.87.如圖，AB為半圓O的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點(diǎn)P在半圓上，斜邊過點(diǎn)B，一條直角邊交該半圓于點(diǎn)Q.若AB=2，則線段BQ的長為(

)

A.2 B.π2 C.π4 8.如圖，已知點(diǎn)A(3,2)，B(0,1)，射線AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，與x軸交于點(diǎn)C，則過A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2+bx+1中A.a=12 B.a=2 C.a=3 二、填空題（共6小題，共18.0分）9.已知二次函數(shù)y=12x2的圖象如圖所示，線段AB//x軸，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則AB的長度為

10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=53°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D.E是⊙O上一點(diǎn)，且CE=CD，連結(jié)OE.過點(diǎn)E作EF⊥OE，交AC的延長線于點(diǎn)F，則∠F為______11.隨著國內(nèi)新冠疫情逐步得到控制，人們的口罩儲備逐漸充足，市場的口罩需求量在逐漸減少，某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到81萬只，則該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為______．12.如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3.若△ABC的周長為6，則△DEF的周長是______．

13.三個正方形方格和扇形EOF的位置如圖所示，點(diǎn)O為扇形的圓心，格點(diǎn)A，B，C分別在扇形的兩條半徑和弧上，已知每個方格的邊長為1，則扇形EOF的面積為______．14.已知點(diǎn)A(0,2)與點(diǎn)B(2,3)的坐標(biāo)，拋物線y=ax2?6ax+9a+1與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是______三、解答題（共10小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題6.0分)

解方程x2+2x?13=0．16.(本小題6.0分)

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB=8，CD=6，求OE的長．17.(本小題6.0分)

圖①、圖②均是由邊長為1的小正方形組成的5×5的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖①、圖②給定的網(wǎng)格中，只用無刻度直尺，保留作圖痕跡，按要求作圖：

(1)圖①中，AB的長為______．

(2)在圖①中△ABC的BC邊上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到△ABC三個頂點(diǎn)距離相等．

(3)在圖②中，在△ABC的AC邊上確定一點(diǎn)M，使得AM=32418.(本小題6.0分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，(?1,?3)．

(1)這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式______．

(2)這條拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)______．

(3)當(dāng)?1≤x≤2時，y的取值范圍為19.(本小題7.0分)

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．

(1)求證：DE為⊙O的切線：

(2)若AB=4，∠EDB=70°，則弧AD的長為______．20.(本小題8.0分)

近幾年中學(xué)生近視的現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，為響應(yīng)國家的號召，某公司推出了如圖1所示的護(hù)眼燈，其側(cè)面示意圖(臺燈底座高度忽略不計)如圖2所示，其中燈柱BC=20cm，燈臂CD=34cm，燈罩DE=22cm，BC⊥AB，CD、DE分別可以繞點(diǎn)C、D上下調(diào)節(jié)一定的角度．經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠DCB=140°，且ED//AB時，臺燈光線最佳．求此時點(diǎn)D到桌面AB的距離．(精確到0.1cm，參考數(shù)值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)21.(本小題8.0分)

某商店購進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價為每件9元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y(件)與每件售價x(元)

之間存在一次函數(shù)關(guān)系y=?6x+150(其中9≤x≤16，且x為整數(shù)).設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w(元)．

(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？22.(本小題9.0分)

在一次數(shù)學(xué)探究活動中，王老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC=6，使用作圖工具作∠BAC=30°．

嘗試操作后思考：這樣的點(diǎn)A唯一嗎？點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“神州”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上(點(diǎn)B、C除外)，……小樂同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧(如圖1)．

(1)小樂同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．

①該弧所在圓的半徑長為______；

②△ABC面積的最大值為______；

(2)經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形外部，我們記為A′，請你利用圖1證明∠BA′C<30°．

(3)請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長AB=43，BC=4，點(diǎn)P在直線CD的右側(cè)，且∠DPC=60°，則線段PB長的最大值為______．23.(本小題10.0分)

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒(t>0).過點(diǎn)P作AB的垂線交AB于點(diǎn)M．

(1)AC=______．

(2)求PM的長．(用含有t的代數(shù)式表示)

(3)若將點(diǎn)P繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°于點(diǎn)N．

①求BN的長(用含t的代數(shù)式表示)

②在點(diǎn)P運(yùn)動的同時，做點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q，連結(jié)PQ.當(dāng)△AQP為等腰三角形時，直接寫出t的值．24.(本小題12.0分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2?2bx?3頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?1,?4)，拋物線上不重合的兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為2m+1，m+2．

(1)b=______．

(2)若A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，求m的值．

(3)當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸左側(cè)時，將拋物線上A、B兩點(diǎn)之間(含A、B兩點(diǎn))的圖象記為W，設(shè)圖象W的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為d，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式．

(4)當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時，過A、B兩點(diǎn)分別向拋物線的對稱軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N.若點(diǎn)M、N、C中任意兩點(diǎn)不重合且其中一點(diǎn)到另兩點(diǎn)距離相等，直接寫出m的值．答案和解析1.【答案】B

解：由題意得，m?2≠0，

解得m≠2．

故選：B．

直接根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可．

本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，2.【答案】A

解：A、直徑是圓中最長的弦，正確，是真命題；

B、不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，故原命題是假命題；

C、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故原命題是假命題；

D、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故原命題是假命題；

故選：A．

利用圓的有關(guān)定義及垂徑定理、圓心角與弦之間的關(guān)系分別判斷后即可確定正確的選項．

本題考查了命題與定理的知識涉及到圓的有關(guān)概念、垂徑定理、圓心角與弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．

3.【答案】B

解：∵a=1，b=1，c=0，

∴Δ=b2?4ac=12?4×1×0=1>0，

∴方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根．

故選：B．

判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式Δ=b2?4ac的值的符號就可以了．

此題考查一元二次方程根的情況與判別式4.【答案】A

解：∵ADAB=AEAC=23，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADES△ABC=49，

∵△ADE的面積為4，

∴△ABC的面積為9，

∴四邊形BCED的面積為9?4=5，

故選：5.【答案】C

解：∵P是AB的中點(diǎn)，∠AOB=90°，

∴OP=12AB，

∵木桿AB的長固定，

∴OP的長度不變，

故選：C．

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，可得OP=16.【答案】D

解：由題可知：AC=AB?cosA=6，

則BC=AB2?AC2=102?627.【答案】A

解：連接AQ，BQ，

∵∠P=45°，

∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，

∴△ABQ是等腰直角三角形．

∵AB=2，

∴2BQ2=4，

∴BQ=2．

故選：A．

連接AQ，BQ，根據(jù)圓周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．8.【答案】B

解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)A(3,2)，

∴AE=2，OE=3，

∵B(0,1)，

∴OB=1，

∵OB//AE，

∴△BOD∽△AED，

∴OBAE=ODDE=12，

∴DE=23，

∴∠ADE=30°，

∵∠DAC=30°，

∴∠CAE=30°，

∴CE=AE3=23=233，

∴C(33,0)，

把A(3,2)和C(33,0)9.【答案】4

解：根據(jù)拋物線的對稱性，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是?2，

∵線段AB//x軸，

∴AB=2?(?2)=2+2=4．

故答案為：4．

根據(jù)拋物線的對稱性求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后求解即可．

本題考查了二次函數(shù)的圖象，主要利用了二次函數(shù)的對稱性．

10.【答案】106

解：連接OD，如圖，

∵∠ACB=90°，∠A=53°，

∴∠B=90°?53°=37°，

∴∠COD=2∠B=74°，

∵CE=CD，

∴∠COE=∠COD=74°，

∵EF⊥OE，

∴∠OEF=90°，

而∠OCF=90°，

∴∠F=180°?∠COE=180°?74°=106°．

故答案為：106°．

連接OD，如圖，先利用互余計算出∠B=37°，再根據(jù)圓周角定理得到∠COD=2∠B=74°，接著根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠COE=74°，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計算∠F的度數(shù)．

11.【答案】10%

解：設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，

依題意得：100(1?x)2=81，

解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合題意，舍去)．

∴該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為10%．

故答案為：10%．

設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，利用八月份的產(chǎn)量=六月份的產(chǎn)量×(1?月平均減少率12.【答案】9

解：∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．

∴△ABC的周長：△DEF的周長=2：3，

∵△ABC的周長為6，

∴△DEF的周長=9，

故答案為：9．

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

本題考查位似變換，相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．

13.【答案】54解：連接OC，

由勾股定理得：OC=12+32=10，

由正方形的性質(zhì)得：∠EOB=45°，

所以扇形EOF的面積為：45π×(10)2360=54π，

14.【答案】19解：∵拋物線y=ax2?6ax+9a+1=a(x?3)2+1，如圖，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)，對稱軸為x=3，

當(dāng)拋物線過點(diǎn)A時，即2=9a+1，解得，a=19，

當(dāng)拋物線過點(diǎn)B時，即3=a+1，解得，a=2，

又∵拋物線當(dāng)|a|越大，開口越小，

∴a的取值范圍為19≤a≤2，

故答案為：19≤a≤2．

根據(jù)拋物線的關(guān)系式可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，由過點(diǎn)A15.【答案】解：x2+2x?13=0，

x2+2x=13，

x2+2x+1=14，即(x+1)2=14，【解析】利用配方法得到(x+1)2=14，然后利用直接開平方法解方程．

本題考查了解一元二次方程16.【答案】解：如圖，連接OC．

∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD=6，

∴CE=ED=12CD=3．

在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，

∴OE=【解析】連接OC，根據(jù)垂徑定理得出CE=ED=12CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的長度，最后由BE=OB?OE，即可求出BE的長度．

本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識，關(guān)鍵在于熟練的運(yùn)用垂徑定理得出CE、17.【答案】22解：(1)AB=22+22=22．

故答案為：22；

(2)如圖①中，點(diǎn)P即為所求；

(3)如圖②中，點(diǎn)M即為所求．

(1)利用勾股定理求解即可；

(2)取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；

(3)取格點(diǎn)E，F(xiàn)連接EF交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)18.【答案】y=?x2+3x+1

(3?13解：(1)將點(diǎn)(2,3)、(?1,?3)代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+1，得，4a+2b+1=3a?b+1=?3，

解得：a=?1b=3，

∴拋物線解析式為：y=?x2+3x+1，

(2)令y=?x2+3x+1中，y=0，

即?x2+3x+1=0，

解得：x=3?132或x=13+32，

∴這條拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3?132,0)或(13+32,0)；

(3)∵y=?x2+3x+1=?(x?32)2+134，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(32,134)，對稱軸為直線x=32，拋物線開口向下，

∴當(dāng)?1≤x≤2時，最大值為19.【答案】49【解析】(1)證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠CBD=∠ODB，

∴OD//BE，

∵DE⊥BC于點(diǎn)E，

∴DE⊥OD，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE與⊙O相切；

(2)解：∵∠EDB=70°，

∴∠CBD=∠ABD=20°，

∴∠DOA=2∠ABD=40°，

∵AB=4，

∴OA=OD=12AB=2，

∴弧AD的長為：40π×2180=49π，

故答案為：49π.

(1)連接OD，根據(jù)角平分線定義和半徑相等證明∠CBD=∠ODB，得OD//BE，進(jìn)而可以證明DE為⊙O的切線；

(2)根據(jù)已知條件可得圓心角20.【答案】解：過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，過點(diǎn)C作CF⊥DG，垂足為F，如右圖所示，

∵CB⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，CF⊥FG，

∴∠B=∠BGF=∠GFC=90°，

∴四邊形BCFG為矩形，

∴∠BCF=90°，F(xiàn)G=BC=20cm，

又∵∠DCB=140°，

∴∠DCF=50°，

∵CD=34cm，∠DFC=90°，

∴DF=CD?sin50°≈34×0.77=26.18(cm)，

∴DG≈26.18+20≈46.2(cm)，

答：點(diǎn)D到桌面AB的距離約為46.2cm．【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可得到DF的長，再根據(jù)FG=CB，即可求得DG的長，從而可以解答本題．

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

21.【答案】解：(1)由題意得：w=y(x?9)=(?6x+150)(x?9)=?6x2+204x?1350(9≤x≤16，且x為整數(shù))；

(2)w=y(x?9)=(?6x+150)(x?9)=?6(x?25)(x?9)，

則拋物線的對稱軸為直線x=12(25+9)=17，

∵9≤x≤16，且x為整數(shù)

∴當(dāng)x<17時，w隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=16時，w有最大值，最大值為w=?6(x?25)(x?9)=?6(16?9)(16?25)=378．

【解析】(1)由題意得：w=y(x?9)，即可求解；

(2)w=?6(x?25)(x?9)，則則拋物線的對稱軸為直線x=12(25+9)=17，而當(dāng)x<17時，w隨x的增大而增大，進(jìn)而求解．22.【答案】6

18+93

2解：(1)①設(shè)圓心為O，連接OB，OC，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC=6，

故答案為：6；

②當(dāng)AO⊥BC時，S△ABC最大，

此時OD=33，

∴AD=6+33，

∴S△ABC=12×BC×AD=12(6+33)×6=18+93，

故答案為：18+93；

(2)設(shè)A′B交⊙O于E，

由圓周角定理知∠BAC=∠BEC=30°，

∵∠BEC是△A′EC的外角，

∴∠BEC>∠A′，

∴∠BA′C<30°；

(3)如圖，作等腰△ODC，使∠COD=120°，

以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，則點(diǎn)P在優(yōu)弧CD上，連接OB交⊙O于P，此時BP最小，

過O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，

∵CD=AB=43，

∴CG=12CD=23，

在Rt△OCG中，∠OCG=30°，

∴OG=2，OC=4，

∴BH=BC?CH=4?2=2，

∴BO=BH2+OH2=4，

∴BP的最小值為4?2=2，

故答案為：2．

(1)①設(shè)圓心為O，連接OB，OC，可得△OBC是等邊三角形，則OB=BC=6；

②當(dāng)AO⊥BC時，S△ABC最大，求出AD的長即可；

(2)設(shè)A′B交⊙O于E，由圓周角定理知∠BAC=∠BEC=30°，由∠BEC是△A′EC的外角，則∠BEC>∠A′；

(3)作等腰△ODC，使∠COD=120°，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，則點(diǎn)P在優(yōu)弧23.【答案】4

解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC=AB2?BC2=52?32?=4，

故答案為：4；

(2)∵PM⊥AB，

∴∠AMP=∠ACB=90°，

又∠A=∠A，

∴△AMP∽△ACB，

∴PMBC=APAB，

∴PM3=2t5，

∴PM=6t5；

(3)①∵點(diǎn)P繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°于點(diǎn)N，

∴PM=MN=6t5，

由勾股定理得AM=85t，

當(dāng)85t+6t5=5時，即t=2514，此時點(diǎn)B與N重合，

當(dāng)0≤t≤2514時，如圖，BN=5?145t，

當(dāng)2514≤t≤2時，如圖，BN=MN+AM?AB=145t