2022-2023學(xué)年吉林省長春六十八中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2022-2023學(xué)年吉林省長春六十八中八年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共24分）1．100的平方根是（）A．﹣10 B．10 C．±10 D．2．下列實數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．0 B． C． D．3．計算a2?a4的結(jié)果是（）A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)4 C．a(chǎn)6 D．a(chǎn)24．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．若a＝b，則|a|＝|b| B．同位角相等，兩直線平行 C．對頂角相等 D．若a＞0，b＞0，則a+b＞05．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：56．已知等腰三角形有兩邊長分別為2和4，則此三角形的周長為（）A．8． B．10 C．8或10 D．以上都不對7．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連結(jié)CD．若AB＝8，AC＝3，則△CDA的周長為（）A．16 B．14 C．12 D．118．如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米二、填空題（每小題3分，共18分）9．＝．10．分解因式x3﹣x2＝．11．計算：（21a3﹣7a）÷7a＝．12．如果一個數(shù)的平方根是2x+1和x﹣7，那么這個數(shù)是．13．《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部4尺遠(yuǎn)．問：原處還有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原處的竹子還有尺高．14．如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為20cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為25cm，則該圓柱底面周長為．三．解答題（共78分）15．計算：+﹣（﹣1）2．16．分解因式：2a3b﹣8ab3．17．計算：2x3y2?（﹣2xy2z）2．18．先化簡，再求值2（a2﹣3）+（a+1）（a﹣1），其中a＝．19．圖①、圖②都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段AB的端點都在格點上．在給定的網(wǎng)格中，只用無刻度的直尺，在圖①、圖②中，按下列要求畫圖，所畫的圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中畫一個以AB為腰的等腰三角形ABC；（2）在圖②中畫一個以AB為底邊的等腰三角形ABD．20．某班在一次班會課上，就“遇見路人摔倒后如何處理”主題進(jìn)行討論，并對全班50名學(xué)生的處理方式進(jìn)行統(tǒng)計，得出相關(guān)統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計表圖所提供的信息回答下列問題：組別ABCD處理方式迅速離開馬上救助視情況而定只看熱鬧人數(shù)m30n5（1）統(tǒng)計表中的m＝，n＝；（2）補全頻數(shù)分布直方圖；（3）若該校共有800名學(xué)生，請據(jù)此估計該校學(xué)生采取“馬上救助”方式學(xué)生有多少人？21．將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形（如圖2），解答下列問題：（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化簡）（2）由（1）中的結(jié)果可以驗證的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，計算：20222﹣2021×2023．22．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，∠A＝60°，BC＝13，CD＝12．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積為．23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設(shè)點P的運動時間為t秒（t＞0）．（1）求BC的長．（2）斜邊AB上的高是．（3）若點P在∠BAC的角平分線上，則t的值為．（4）在整個運動過程中，直接寫出△PBC是等腰三角形時t的值．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共24分）1．100的平方根是（）A．﹣10 B．10 C．±10 D．【分析】根據(jù)平方根的定義解決此題．解：∵（±10）2＝100，∴100的平方根是±10．故選：C．【點評】本題主要考查平方根，熟練掌握平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．下列實數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．0 B． C． D．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．據(jù)此解答即可．解：A、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；B、＝2是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；C、是無理數(shù)，故本選項符合題意；D、是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．3．計算a2?a4的結(jié)果是（）A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)4 C．a(chǎn)6 D．a(chǎn)2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加進(jìn)行計算即可得解．解：a2?a4＝a2+4＝a6．故選：C．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟記性質(zhì)并理清指數(shù)的變化是解題的關(guān)鍵．4．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．若a＝b，則|a|＝|b| B．同位角相等，兩直線平行 C．對頂角相等 D．若a＞0，b＞0，則a+b＞0【分析】分別寫出原命題的逆命題，然后判斷真假即可．解：A、若a＝b，則|a|＝|b|的逆命題是若|a|＝|b|，則a＝b，逆命題是假命題，不符合題意；B、同位角相等，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同位角相等，逆命題是真命題，符合題意；C、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，逆命題是假命題，不符合題意；D、若a＞0，b＞0，則a+b＞0的逆命題是若a+b＞0，則a＞0，b＞0，逆命題是假命題，不符合題意；故選：B．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確的寫出一個命題的逆命題，難度不大．5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：5【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分析出A、B的正誤；根據(jù)勾股定理逆定理可分析出C、D的正誤．解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；B、設(shè)∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，則5x°＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；C、∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；D、∵a：b：c＝3：4：5，設(shè)a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴能構(gòu)成直角三角形，故此選項不合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了直角三角形的判定，關(guān)鍵是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．6．已知等腰三角形有兩邊長分別為2和4，則此三角形的周長為（）A．8． B．10 C．8或10 D．以上都不對【分析】分2是腰長與底邊兩種情況討論求解．解：①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2＝4，∴不能組成三角形；②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長＝2+4+4＝10，綜上所述，三角形的周長為10．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．7．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連結(jié)CD．若AB＝8，AC＝3，則△CDA的周長為（）A．16 B．14 C．12 D．11【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，然后利用等線段代換得到△ACD的周長＝AC+AB．解：由作法得MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△ACD的周長＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝3+8＝11．故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．8．如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】先求出AC的長，利用平移的知識可得出地毯的長度．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯長度＝AC+BC＝7米，故選：C．【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）9．＝5．【分析】根據(jù)開方運算，可得一個正數(shù)的算術(shù)平方根．解：＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，注意一個正數(shù)只有一個算術(shù)平方根．10．分解因式x3﹣x2＝x2（x﹣1）．【分析】先確定公因式為x2，然后提取公因式即可．解：x3﹣x2＝x2（x﹣1）．【點評】本題考查因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．要求靈活使用各種方法對多項式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以提取公因式的要先提取公因式．11．計算：（21a3﹣7a）÷7a＝3a2﹣1．【分析】根據(jù)整式的除法運算即可求出答案．解：原式＝21a3÷7a﹣7a÷7a＝3a2﹣1，故答案為：3a2﹣1．【點評】本題考查整式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的除法運算，本題屬于基礎(chǔ)題型．12．如果一個數(shù)的平方根是2x+1和x﹣7，那么這個數(shù)是25．【分析】利用平方根的性質(zhì)，列方程求解解：∵一個數(shù)的平方根是2x+1和x﹣7．∴2x+1+x﹣7＝0．∴x＝2．∴2x+1＝5，x﹣7＝﹣5．這個正數(shù)是：（±5）2＝25．故答案為：25．【點評】本題考查平方根和立方根，正確運用正數(shù)的平方根互為相反數(shù)是求解本題的關(guān)鍵．13．《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部4尺遠(yuǎn)．問：原處還有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原處的竹子還有4.2尺高．【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺．利用勾股定理解題即可．解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝4.2．故答案是：4.2．【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．14．如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為20cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為25cm，則該圓柱底面周長為30cm．【分析】將容器的側(cè)面展開，建立點A關(guān)于CE的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．解：將圓柱的側(cè)面展開，EC為上底面圓周長的一半，作點A關(guān)于CE的對稱點A′，連接A′B交EC于點F，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+BF，即AF+BF＝A′F+BF＝A′B＝25m，延長BC，過A′作A′D⊥BC于點D，∵AE＝A′E＝DC＝4cm，∴BD＝20cm，Rt△A′BD中，由勾股定理可得A′D＝＝＝15cm，則該圓柱底面周長為30cm．故答案為：30cm．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．三．解答題（共78分）15．計算：+﹣（﹣1）2．【分析】利用算術(shù)平方根，立方根，乘方運算計算．解：+﹣（﹣1）2＝5﹣3﹣1＝1．【點評】本題考查了實數(shù)運算，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根，立方根，乘方運算．16．分解因式：2a3b﹣8ab3．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝2ab（a2﹣4b2）＝2ab（a+2b）（a﹣2b）．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．17．計算：2x3y2?（﹣2xy2z）2．【分析】直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘單項式運算法則計算得出答案．解：原式＝2x3y2?4x2y4z2＝8x5y6z2．【點評】此題主要考查了積的乘方運算、單項式乘單項式，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．18．先化簡，再求值2（a2﹣3）+（a+1）（a﹣1），其中a＝．【分析】先根據(jù)平方差公式和單項式乘多項式進(jìn)行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．解：2（a2﹣3）+（a+1）（a﹣1）＝2a2﹣6+a2﹣1＝3a2﹣7，當(dāng)a＝時，原式＝3×（）2﹣7＝3×3﹣7＝9﹣7＝2．【點評】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．19．圖①、圖②都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段AB的端點都在格點上．在給定的網(wǎng)格中，只用無刻度的直尺，在圖①、圖②中，按下列要求畫圖，所畫的圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中畫一個以AB為腰的等腰三角形ABC；（2）在圖②中畫一個以AB為底邊的等腰三角形ABD．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義以及題目要求作出圖形（答案不唯一）；（2）根據(jù)等腰三角形的定義以及題目要求作出圖形（答案不唯一）．解：（1）如圖，△ABC即為所求（答案不唯一）；（2）如圖，△ABD即為所求（答案不唯一）．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．20．某班在一次班會課上，就“遇見路人摔倒后如何處理”主題進(jìn)行討論，并對全班50名學(xué)生的處理方式進(jìn)行統(tǒng)計，得出相關(guān)統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計表圖所提供的信息回答下列問題：組別ABCD處理方式迅速離開馬上救助視情況而定只看熱鬧人數(shù)m30n5（1）統(tǒng)計表中的m＝5，n＝10；（2）補全頻數(shù)分布直方圖；（3）若該校共有800名學(xué)生，請據(jù)此估計該校學(xué)生采取“馬上救助”方式學(xué)生有多少人？【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布直方圖得m＝5，然后用總數(shù)50分別減去A組、B組、D組人數(shù)即可得到n的值；（2）補全頻數(shù)分布直方圖；（3）利用樣本估計總體，用B組的百分比來估計該校學(xué)生采取“馬上救助”方式的百分比，然后用2000乘以這個百分比即可．解：（1）m＝5，n＝50﹣5﹣30﹣5＝10，故答案為：5，10；（2）如圖，（3）800×＝480（人），所以可估計該校學(xué)生采取“馬上救助”方式的學(xué)生有480人．【點評】本題考查了頻數(shù)（率）分布直方圖：頻率分布直方圖是用小長方形面積的大小來表示在各個區(qū)間內(nèi)取值的頻率．直角坐標(biāo)系中的縱軸表示頻率與組距的比值，即小長方形面積＝組距×頻數(shù)組距＝頻率．②各組頻率的和等于1，即所有長方形面積的和等于1；頻數(shù)分布直方圖可以清楚地看出落在各組的頻數(shù)，各組的頻數(shù)和等于總數(shù)．也考查了用樣本估計總體．21．將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形（如圖2），解答下列問題：（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請用含a，b的式子表示：S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；（不必化簡）（2）由（1）中的結(jié)果可以驗證的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）利用（2）中得到的公式，計算：20222﹣2021×2023．【分析】（1）根據(jù)圖形的和差關(guān)系表示出S1，根據(jù)長方形的面積公式表示出S2；（2）由（1）中的結(jié)果可驗證的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）由（2）中所得公式，可得2021×2023＝（2022+1）（2022﹣1）＝20222﹣1，從而簡便計算出該題結(jié)果．解：（1）由題意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）中的結(jié)果可驗證的乘法公式為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）由（2）中所得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得，20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1．【點評】本題考查了平方差公式幾何背景的應(yīng)用能力，掌握圖形準(zhǔn)確列式驗證平方差公式，并能利用所驗證公式解決相關(guān)問題是關(guān)鍵．22．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，∠A＝60°，BC＝13，CD＝12．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積為+30．【分析】（1）連接BD，根據(jù)已知先證明△ABD是等邊三角形，從而可得BD＝AD＝6，∠ADB＝60°，再利用勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形，從而可得∠BDC＝90°，然后進(jìn)行計算即可解答；（2）過點B作BE⊥AD，垂足為E，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出AE的長，從而利用勾股定理求出BE的長，然后根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ABD的面積+△BDC的面積，進(jìn)行計算即可解答．解：（1）連接BD，∵AB＝AD＝5，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AD＝AB＝5，∠ADB＝60°，∵BC＝13，CD＝12，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝150°，∴∠ADC的度數(shù)為150°；（2）過點B作BE⊥AD，垂足為E，∵△ABD是等邊三角形，∴AE＝AD＝，∴BE＝＝，∴四邊形ABCD的面積＝△ABD的面積+△BDC的面積＝AD?BE+BD?DC＝×5×+×12×5＝+30，∴四邊形ABCD的面積為+30．故答案為：+30．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設(shè)點P的運動時間為t秒（t＞0）．（1）求BC的長．（2）斜邊AB上的高是4.8．（3）若點P在∠BAC的角平分線上，則t的值為．（4）在整個運動過程中，直接寫出△PBC是等腰三角形時t的值．【分析】（1）由勾股定理可求得BC的值，（2）再設(shè)斜邊AB上的高為h，由面積法可求得答案；（3）如圖，當(dāng)點P'在∠BAC的角平分線上時可先利用三角形全等，求出AD＝AC＝8，分別表示各線段，在直角三角形中，利用勾股定理求出t的值．（4）由圖可知，當(dāng)△BCP是等腰三角形時，點P必在線段AC或線段AB上，①當(dāng)點P在線段AC上時，此時△BCP是等腰直角三角形，②當(dāng)點P在線段AC上時，又分三種情況：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分別