地震振型分解反應(yīng)譜法

工程抗震原理

PrinciplesofSeismicEngineering土木工程專業(yè)本科專業(yè)課

第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理§1概述§2單自由度體系地震反應(yīng)分析§3單自由度體系水平地震作用§4多自由度體系地震反應(yīng)分析§5地震分析振型分解反應(yīng)譜法§6水平地震作用的底部剪力法§7考慮扭轉(zhuǎn)的水平地震作用§8結(jié)構(gòu)豎向地震作用§9建筑結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算§10結(jié)構(gòu)自振周期和頻率的實(shí)用計(jì)算方法§11工程結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的時(shí)程分析方法§12地基與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用效應(yīng)第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理上次課重點(diǎn)回顧：

多自由度體系地震反應(yīng)分析動(dòng)力方程的建立振型、頻率振型的正交性求解多自由度反應(yīng)的振型分解法§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析4.2地震反應(yīng)分析的振型疊加法1.振型與自振頻率求解彈性體系的自振頻率和振型稱為自振特性分析。由于體系的固有頻率和相應(yīng)的振型都僅取決于體系自身的性質(zhì)，而與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以從廣義的觀點(diǎn)，自振特性分析的基本手段是變量分離法，即把時(shí)間因素與結(jié)構(gòu)位置因素分離后，利用特征方程具有非零解的充分必要條件求取自振頻率及相應(yīng)的振型?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析無(wú)阻尼多自由度彈性體系的自由振動(dòng)方程為：設(shè)結(jié)構(gòu)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移反應(yīng)為：式中，ω—自振頻率；θ—初始相位角;{?}—僅與位置坐標(biāo)有關(guān)的向量?？梢缘玫教卣鞣匠蹋焊鶕?jù)線性代數(shù)的知識(shí)，特征方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即得到頻率方程：§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析根據(jù)特征方程：對(duì)應(yīng)于頻率方程中的每一個(gè)根，都存在特征方程的一個(gè)非零解{?j}，稱為振型向量，或叫特征向量，或叫模態(tài)向量。由于特征方程的齊次性，該非零解是不定的，即振型向量幅值是任意的，但形狀是唯一的。因此，振型定義為結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式。根據(jù)可知，若結(jié)構(gòu)體系按某一振型振動(dòng)，則體系的所有質(zhì)點(diǎn)將按同一頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析2.振型的正交性根據(jù)特征方程：分別對(duì)振型i、j列出運(yùn)動(dòng)方程：左式(a)兩邊乘以向量{?j}的轉(zhuǎn)置{?j}T，右式兩邊乘以向量{?i}的轉(zhuǎn)置{?i}T，則有：左式不變，而對(duì)右式進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算可得8/180§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析2.振型正交性對(duì)ωj≠ωi，則有：同時(shí)有：分別稱為振型對(duì)質(zhì)量矩陣的正交性和振型對(duì)剛度矩陣的正交性。§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析振型的兩兩正交特性說(shuō)明它們具備作為一類線性空間基底的基本條件。事實(shí)上，由振型向量所張成的線性空間正是一般動(dòng)力反應(yīng)空間，在這空間的任一點(diǎn)表示一個(gè)特定的動(dòng)力反應(yīng)，并且這一點(diǎn)的坐標(biāo)值可由關(guān)于基底（振型）的廣義坐標(biāo)給出。§4多自由度體體系地震反反應(yīng)分析一般的多自自由度線彈彈性體系，，式(3-59)可寫成如下下形式其中：----位移向量----廣義坐標(biāo)向向量----振型矩陣----為體系的第第j個(gè)振型向量量。(3-60)§4多自由度體體系地震反反應(yīng)分析利用振型關(guān)關(guān)于質(zhì)量矩矩陣的正交交性及式(3-60)，可以導(dǎo)出出廣義坐標(biāo)標(biāo)(qj(t))與一般位移移(ui(t))反應(yīng)的關(guān)系系。將式(3-60)兩端分別前前乘在水平地震震運(yùn)動(dòng)作用用下，多自自由度彈性性體系的運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程為為：將式(3-60)代入式(3-40)，并前乘振振型向量的的轉(zhuǎn)置，，利用用振型向量量對(duì)質(zhì)量矩矩陣、阻尼尼矩陣和剛剛度矩陣的的正交性，，可得：（3-40）（3-61）§4多自由度體體系地震反反應(yīng)分析注意到，，，，上上式可化成成其中稱為第j振型的振型參與系數(shù)。利用單自由度體系的杜哈美積積分公式，廣義義坐標(biāo)可表示為假定初初始條件為,（3-62）（3-63）（3-64a）§4多自由度體系地地震反應(yīng)分析可簡(jiǎn)記為其中式中，δj(t)—阻尼比和自自振頻率分別為為ξj和ωj的單自由度彈性性體系的位移反反應(yīng)。（3-64b）（3-64c）第三章建筑結(jié)結(jié)構(gòu)抗震原理§1概述§2單自由度體系地地震反應(yīng)分析§3單自由度體系水水平地震作用§4多自由度體系地地震反應(yīng)分析§5地震分析振型分分解反應(yīng)譜法§6水平地震作用的的底部剪力法§7考慮扭轉(zhuǎn)的水平平地震作用§8結(jié)構(gòu)豎向地震作用§9建筑結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算§10結(jié)構(gòu)自振周期和和頻率的實(shí)用計(jì)計(jì)算方法§11工程結(jié)構(gòu)地震反反應(yīng)的時(shí)程分析析方法§12地基與結(jié)構(gòu)動(dòng)力力相互作用效應(yīng)應(yīng)§5地震分析振型分分解反應(yīng)譜法采用振型分解法法可求得體系各各質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和絕對(duì)加速度時(shí)時(shí)程曲線，但對(duì)對(duì)于工程實(shí)踐而而言，振型分解解法還是較為復(fù)雜，且運(yùn)用不不便。注意到工程抗震震設(shè)計(jì)時(shí)僅關(guān)心心各質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)的的最大值，給合合單自由度體系系的反應(yīng)譜理論論，在振型分解解法的基礎(chǔ)上，，可導(dǎo)出更實(shí)用用的振型分解反應(yīng)譜譜法?！?地震分析振型分分解反應(yīng)譜法思路：利用各振型相互互正交的特性，，將原來(lái)耦聯(lián)的的微分方程組變變?yōu)槿舾苫ハ嗒?dú)獨(dú)立的微分方程程，從而使原來(lái)來(lái)多自由度體系系的動(dòng)力計(jì)算變變?yōu)槿舾蓚€(gè)單自自由度體系的問(wèn)問(wèn)題；求解：在求得了各單自自由度體系的解解后，再將各個(gè)個(gè)解進(jìn)行組合，，從而可求得多多自由度體系的的地震反應(yīng)?！?地震分析振型分分解反應(yīng)譜法5.1水平地震作用的確定多自由度彈性體體系的水平地震震作用可用各質(zhì)質(zhì)點(diǎn)所受慣性力力來(lái)代表，故質(zhì)點(diǎn)i上的水平地震作用為：可以證明：因此：其中稱為i質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)j振型的水平地震震作用。11.6181-0.618(3-67)§5地震分析振型分分解反應(yīng)譜法根據(jù)前述反應(yīng)譜的概念，由此可得，因此，結(jié)構(gòu)的水平地震作用按下式計(jì)算：---體系j振型i質(zhì)點(diǎn)水平地震作作用標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算算公式式中，F(xiàn)ji—j振型i質(zhì)點(diǎn)的水平地震震作用；αj—相應(yīng)于j振型自振頻率ωj和阻尼比ξj的水平地震影響響系數(shù)；Sja—相應(yīng)于j振型自振頻率ωj和阻尼比ξj的水平向地震加加速度反應(yīng)譜值值；(3-68)§5地震分析振型分分解反應(yīng)譜法φji—j振型i質(zhì)點(diǎn)的水平相對(duì)位移；；γj—j振型的參與系數(shù)數(shù)；Gi—集中于i質(zhì)點(diǎn)的重力荷載載代表值。據(jù)此，結(jié)合抗震設(shè)計(jì)規(guī)規(guī)范給出的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜Sa或α曲線，可方便地求得得對(duì)應(yīng)于某一振振型各質(zhì)點(diǎn)的最最大水平地震作作用，再按照一一般的結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)原理，把地震震作用視為靜力力荷載，可求得得對(duì)應(yīng)于各振型的地震作作用效應(yīng)（彎矩、剪力、、軸力、位移等等）Sj。課堂討論：由式計(jì)計(jì)算地地震效應(yīng)，其中中利用單自由度模型型計(jì)算出水平地震影響系系數(shù)—αj，水平地震作用Fji是值值，對(duì)應(yīng)應(yīng)于j單自由度模型時(shí)時(shí)刻的反應(yīng)。1、A.最大值；B.第j模態(tài)i質(zhì)點(diǎn)處峰值；C.平均值；D.第j單自由度體系最大大值；2、A.第j周期Tj；B.任意；C.峰值點(diǎn)；D.某特定；§5地震分析振型分解解反應(yīng)譜法BC§5地震分析振型分解解反應(yīng)譜法5.2振型組合方法根據(jù)前述結(jié)構(gòu)在任一時(shí)刻所受的地震作用等于結(jié)構(gòu)構(gòu)對(duì)應(yīng)于各振型的的地震作用之和。應(yīng)該注意到，當(dāng)某一振型的地震震作用達(dá)到最大值值時(shí)，其余各振型型的地震作用不一一定也達(dá)到最大值值，因而結(jié)構(gòu)地震作用用的最大值并不等等于各振型地震作作用最大值之和。因此，如果要利用用對(duì)應(yīng)于各振型的的最大地震作用效效應(yīng)來(lái)求結(jié)構(gòu)總的的地震作用效應(yīng)，，將存在各振型最大反應(yīng)如如何組合的問(wèn)題?！?地震分析振型分解解反應(yīng)譜法假定地震地面運(yùn)動(dòng)為平平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，根根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論論可知，結(jié)構(gòu)總的的地震作用效應(yīng)S與各振型的地震作用效應(yīng)Sj的關(guān)系近似描述為：即為振型組合公式，稱為完全二次項(xiàng)組合法，簡(jiǎn)稱CQC法（CompleteQuadraticCombination）。式中，S—水平地震作用效效應(yīng)；m—參與組合的振型型數(shù)，可取3~5個(gè)振型；如結(jié)果較復(fù)雜，振型型個(gè)數(shù)可適當(dāng)增加加；ρij—振型互相關(guān)系數(shù)數(shù)。§5地震分析振型分解解反應(yīng)譜法一般情況下，當(dāng)任意兩個(gè)振型頻頻率之比大于2或小于0.5時(shí)，可以不考慮振振型之間的相關(guān)性性。此外，當(dāng)阻尼比ξ≤0.1時(shí)，工程設(shè)計(jì)中通通常取振型阻尼比比ξi=ξj=ξ，如滿足則可以認(rèn)為ρij近似為零，此時(shí)振型組合公公式可改寫為：稱為“平方和開平方””法，簡(jiǎn)稱SRSS法(SquareRootofSumofSquares)?！?地震分析振型分解解反應(yīng)譜法《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)規(guī)范》規(guī)定，結(jié)構(gòu)構(gòu)的水平地震作用用效應(yīng)（彎矩、剪剪力、軸向力和變變形）按下式計(jì)算：式中，SEk—水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)值的效應(yīng)；Sj—j振型水平地震作用用標(biāo)準(zhǔn)值的效應(yīng)。一般可取2~3個(gè)振型,當(dāng)基本自振周期T1>1.5s或房屋高寬比大于于5時(shí)，振型個(gè)數(shù)可適適當(dāng)增加?！?地震分析振型分解解反應(yīng)譜法總的：---體系j振型i質(zhì)點(diǎn)水平地震作用用標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算公式式αj---相應(yīng)于j振型自振周期的地地震影響系數(shù)；xji---j振型i質(zhì)點(diǎn)的水平相對(duì)位位移；γj---j振型的振型參與系系數(shù)；Gi---i質(zhì)點(diǎn)的重力荷載代代表值。m1m2mi1振型地震作用標(biāo)準(zhǔn)值2振型j振型n振型地震作用效應(yīng)（彎矩、位移等））Sj--j振型地震作用產(chǎn)生生的地震效應(yīng)；m--選取振型數(shù)一般只取2-3個(gè)振型，當(dāng)基本自振周期大于1.5s或房屋高寬比大于5時(shí)，振型個(gè)數(shù)可適當(dāng)增加。例：試用振型分解解反應(yīng)譜法計(jì)算圖圖示框架多遇地震震時(shí)的層間剪力。。抗震設(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震震分組為第二組。。解：已知體系的自振周周期和振型（1）計(jì)算各振型的地地震影響系數(shù)1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為0.05）查表得地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場(chǎng)地類別例：試用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算圖示框架多遇地震時(shí)的層間剪力?？拐鹪O(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第二組。（1）計(jì)算各振型的地震影響系數(shù)查表得第一振型第二振型第三振型解：已知體系的自振周周期和振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算圖示框架多遇地震時(shí)的層間剪力。抗震設(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第二組。（1）計(jì)算各振型的地震影響系數(shù)（2）計(jì)算各振型的振振型參與系數(shù)第一振型第二振型第三振型解：已知體系的自振周周期和振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算圖示框架多遇地震時(shí)的層間剪力。抗震設(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第二組。（1）計(jì)算各振型的地震影響系數(shù)（2）計(jì)算各振型的振型參與系數(shù)（3）計(jì)算各振型各樓樓層的水平地震作作用第一振型第一振型解：已知體系的自振周周期和振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算圖示框架多遇地震時(shí)的層間剪力?？拐鹪O(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第二組。（1）計(jì)算各振型的地震影響系數(shù)（2）計(jì)算各振型的振型參與系數(shù)（3）計(jì)算各振型各樓樓層的水平地震作作用第一振型第二振型第二振型解：已知體系的自振周周期和振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算圖示框架多遇地震時(shí)的層間剪力。抗震設(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第二組。（1）計(jì)算各振型的地震影響系數(shù)（2）計(jì)算各振型的振型參與系數(shù)（3）計(jì)算各振型各樓樓層的水平地震作作用第一振型第二振型第三振型第三振型解：已知體系的自振周周期和振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算圖示框架多遇地震時(shí)的層間剪力?？拐鹪O(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第二組。（1）計(jì)算各振型的地震影響系數(shù)（2）計(jì)算各振型的振型參與系數(shù)（3）計(jì)算各振型各樓樓層的水平地震作作用第一振型第二振型第三振型（4）計(jì)算各振型的地地震作用效應(yīng)（層層間剪力）第一振型1振型解：已知體系的自振周周期和振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算圖示框架多遇地震時(shí)的層間剪力。抗震設(shè)防烈度為8度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第二組。（1）計(jì)算各振型的地震影響系數(shù)（2）計(jì)算各振型的振型參與系數(shù)（3）計(jì)算各振型各樓樓層的水平地震作作用第一振型第二振型第三振型（4）計(jì)算各振型的地地震作用效應(yīng)（層層間剪力）1振型