定積分與微積分

定積分與微積分第一頁(yè)，共47頁(yè)。1．定積分的概念(1)定積分的定義和相關(guān)概念①如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，基礎(chǔ)知識(shí)梳理…，n)，作和式

，第二頁(yè)，共47頁(yè)。當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近

，這個(gè)

叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定基礎(chǔ)知識(shí)梳理某個(gè)常數(shù)常數(shù)積分，記作

，即∫baf(x)dx＝

．第三頁(yè)，共47頁(yè)?；A(chǔ)知識(shí)梳理a與b[a，b]函數(shù)f(x)x第四頁(yè)，共47頁(yè)?；A(chǔ)知識(shí)梳理第五頁(yè)，共47頁(yè)?；A(chǔ)知識(shí)梳理第六頁(yè)，共47頁(yè)?；A(chǔ)知識(shí)梳理第七頁(yè)，共47頁(yè)。(3)定積分的基本性質(zhì)①kf(x)dx＝

．②[f1(x)±f2(x)]dx＝

.③f(x)dx＝

．基礎(chǔ)知識(shí)梳理第八頁(yè)，共47頁(yè)?；A(chǔ)知識(shí)梳理思考？你能從定積分的幾何意義解釋性質(zhì)③嗎？【思考·提示】如圖所示，設(shè)在區(qū)間[a，b]上恒有f(x)≥0，c是區(qū)間(a，b)內(nèi)的一點(diǎn)，那么從幾何圖形上看，直線x＝c把大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因此，大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即S＝S1＋S2，用定積分表示就是性質(zhì)③.第九頁(yè)，共47頁(yè)。基礎(chǔ)知識(shí)梳理F(b)－F(a)第十頁(yè)，共47頁(yè)。答案：A三基能力強(qiáng)化第十一頁(yè)，共47頁(yè)。三基能力強(qiáng)化答案：B第十二頁(yè)，共47頁(yè)。三基能力強(qiáng)化答案：D第十三頁(yè)，共47頁(yè)。三基能力強(qiáng)化第十四頁(yè)，共47頁(yè)。答案：1三基能力強(qiáng)化第十五頁(yè)，共47頁(yè)。求函數(shù)f(x)的定積分，關(guān)鍵是求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，即滿足F′(x)＝f(x)．正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一求已知函數(shù)的定積分第十六頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練例1第十七頁(yè)，共47頁(yè)?！舅悸伏c(diǎn)撥】

(1)(2)先利用定積分的性質(zhì)將被積函數(shù)化簡(jiǎn)再求．(3)先化簡(jiǎn)，再求定積分．課堂互動(dòng)講練第十八頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第十九頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第二十頁(yè)，共47頁(yè)?！疽?guī)律總結(jié)】計(jì)算簡(jiǎn)單定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；(2)利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個(gè)定積分的和或差；(3)分別用求導(dǎo)公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；(4)利用牛頓——萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值；(5)計(jì)算所求定積分的值．課堂互動(dòng)講練第二十一頁(yè)，共47頁(yè)。1．分段函數(shù)的定積分(1)分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分可分成幾段定積分的和的形式．(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段的情況分，無(wú)需分得過(guò)細(xì)．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二求分段函數(shù)的定積分第二十二頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第二十三頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練例2第二十四頁(yè)，共47頁(yè)?！舅悸伏c(diǎn)撥】

(1)f(x)在[0,5]上的定積分，可按照f(shuō)(x)的分段標(biāo)準(zhǔn)，分成[0,1]，(1,4]，(4,5]三段的定積分的和；課堂互動(dòng)講練第二十五頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第二十六頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第二十七頁(yè)，共47頁(yè)。【名師點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分可分成幾段定積分的和的形式.分段的標(biāo)準(zhǔn)只需依據(jù)已知函數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)即可．課堂互動(dòng)講練第二十八頁(yè)，共47頁(yè)。利用定積分求平面圖形面積的關(guān)鍵是畫(huà)出幾何圖形，結(jié)合圖形位置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理求出積分值．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三定積分的幾何意義第二十九頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練例3利用定積分的性質(zhì)和定義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積．(2)y＝x－2，x＝y(tǒng)2.【思路點(diǎn)撥】先將區(qū)域面積表示成若干個(gè)定積分的和或差，再運(yùn)用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算．第三十頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第三十一頁(yè)，共47頁(yè)。(2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖(2)所示：S＝A1＋A2.課堂互動(dòng)講練第三十二頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第三十三頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第三十四頁(yè)，共47頁(yè)。利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是求出物體作變速運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)四定積分在物理中的應(yīng)用第三十五頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練例4第三十六頁(yè)，共47頁(yè)?！舅悸伏c(diǎn)撥】從圖上可以看出物體在0≤t≤1時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，1≤t≤3時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，3≤t≤6時(shí)也做加速運(yùn)動(dòng)，但加速度不同，也就是說(shuō)0≤t≤6時(shí)，v(t)為一個(gè)分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積．課堂互動(dòng)講練第三十七頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第三十八頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第三十九頁(yè)，共47頁(yè)。(本題滿分10分)物體A以初速度為2(速度v的單位：m/s)、加速度為a(t)＝6t(t的單位：s)在一直線上運(yùn)動(dòng)．在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方5m處以v＝10t＋1(t的單位：s，v的單位：m/s)的速度運(yùn)動(dòng)．(1)求物體A的速度；(2)兩物體何時(shí)相遇？相遇地與物體A的出發(fā)地的距離是多少？課堂互動(dòng)講練高考檢閱第四十頁(yè)，共47頁(yè)。解：(1)設(shè)物體A在時(shí)刻t的速度為v(t)，依題意有v(0)＝2，2分課堂互動(dòng)講練第四十一頁(yè)，共47頁(yè)。課堂互動(dòng)講練第四十二頁(yè)，共47頁(yè)。規(guī)律方法總結(jié)第四十三頁(yè)，共47頁(yè)。規(guī)律方法總結(jié)第四十四頁(yè)，共47頁(yè)。2．求定積分的常用技巧(1)對(duì)