自動控制第八章

自動控制第八章第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日第八章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1離散控制系統(tǒng)概述8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)8.3Z變換及Z反變換8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計8.9數(shù)字控制器離散化設(shè)計第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.1離散控制系統(tǒng)概述一、離散控制系統(tǒng)特點：從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上看，含有采樣開關(guān)；從信號傳遞上看，系統(tǒng)中某一處或數(shù)處信號是脈沖序列或數(shù)字序列傳遞。二、離散控制系統(tǒng)的二種典型結(jié)構(gòu)1、采樣控制系統(tǒng)e﹡(t)是e(t)連續(xù)誤差信號經(jīng)過采樣開關(guān)后，獲得的一系列離散的誤差信號。e*(t)作為脈沖控制器的輸入,經(jīng)控制器對信號進(jìn)行處理，在經(jīng)過保持器（或濾波器）恢復(fù)為連續(xù)信號，對受控對象實施控制。采樣系統(tǒng)中既有離散信號，又有連續(xù)信號。采樣開關(guān)接通時刻，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)。而在采樣開關(guān)斷開時刻，系統(tǒng)處于開環(huán)工作狀態(tài)。

第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日2、數(shù)字控制系統(tǒng)

計算機作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號，即在時間上和幅值上都是離散信號，而系統(tǒng)中被控對象和測量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號，故需要A/D,D/A實現(xiàn)兩種信號的轉(zhuǎn)換。三、離散控制系統(tǒng)的分析方法

建立在Z變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，采用脈沖傳遞函數(shù)，并利用類似連讀控制系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行分析、研究。第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)一、連續(xù)信號的采樣、數(shù)學(xué)描述1、采樣過程把一連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成一串脈沖序列或數(shù)碼信號的過程，稱為

采樣過程。例如下圖中，采樣器可用一個周期性閉合的采樣開關(guān)表示，設(shè)采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次（接通一次）。f(t)為輸入連續(xù)信號，則經(jīng)采樣開關(guān)后，f*(t)為定寬度等于τ的調(diào)幅脈沖序列，在采樣瞬時nt(n=0.1.2.3…）時出現(xiàn)。由于采樣開關(guān)閉合時間τ很小，τ<<T，分析可認(rèn)為τ=0。采樣器的輸出f*(t)信號，等于輸入于采樣器的連續(xù)信號在采樣時刻的數(shù)值。第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日2、數(shù)學(xué)描述為了對采樣過程和采樣信號進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，往往把它看成是一個幅值調(diào)制的過程，如下圖所示。

幅值調(diào)制的過程，數(shù)學(xué)上表示為兩個信號函數(shù)相乘，即f*(t)可以認(rèn)為是輸入連續(xù)信號f(t)調(diào)制在理想脈沖δT（t）上的結(jié)果。第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日

δ（t-nT）

則采樣脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

二、信號的復(fù)現(xiàn)及裝置

1、信號的復(fù)現(xiàn)

使采樣信號f*(t)大體上回復(fù)為原連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律，稱信號的復(fù)現(xiàn)。問題提出：怎樣才能使采樣信號f*(t)大體上回復(fù)原連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律呢？

分析方法：從連續(xù)信號和其采樣后的離散信號的頻譜特性看：=+++……+=第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日

(1)、對于一個有限頻譜的連續(xù)信號進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣頻率時，采樣信號才可能無失真的復(fù)現(xiàn)原來的連續(xù)信號。(香農(nóng)采樣定理)(2)、系統(tǒng)中有一低通濾波器。

觀察上圖，信號的復(fù)現(xiàn)需滿足兩個條件：第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日2、信號的復(fù)現(xiàn)裝置

復(fù)現(xiàn)裝置有0階、1階、2階保持器。常用的為0階保持器。(1)0階保持器：使采樣信號在每一個采樣瞬時的采樣值一直保持到下一個采樣瞬時，這樣，離散信號變成了一連續(xù)的階梯信號。第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日(2)0階保持器的數(shù)學(xué)模型：

分析：0階保持器輸入一單位理想脈沖，其輸出應(yīng)為幅值為1，寬度為一個采樣周期的脈沖。其輸出的脈沖可分解為二個單位階躍函數(shù)之和。用式子表示：第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日0階保持器的傳遞函數(shù)：0階保持器的頻率特性：第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.3Z變換及反變換

一、Z變換

在數(shù)學(xué)上表示：對上式兩邊取拉氏變換可看出，是以復(fù)變量s表示的函數(shù)。引入一新變量z

----定義在Z平面上的一個復(fù)變量，稱為Z變換子；----采樣周期；

S---拉氏變換算子。Z變換的定義

8.2節(jié)指出，一個連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后，其采樣函數(shù)式中：第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日

上式收斂時，被定義為采樣函數(shù)的Z變換。即注意：

1、上面三式均為采樣函數(shù)的拉氏變換式；2、是的Z變換式；3、只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻上的特性，不能反映。間的信號特性。出采樣時刻之第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日(2)Z變換方法

Z變換方法多種，主要的有

1)級數(shù)求和法。以例說明例求單位價躍函數(shù)1（t）的Z變換.解：因為或者，由兩邊同乘以z-1得：

兩式相減得：

第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日2)部分分式法方法是，先求出連續(xù)函數(shù)的拉氏變換式，并部分分式展開。

；然后逐項進(jìn)行Z變換。例巳知原函數(shù)的拉氏變換式為，求其Z變換。解：對拉氏變換式用部分分式展開逐項進(jìn)行Z變換(查Z變換表)有第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日(3)Z變換的主要性質(zhì)1)線性性質(zhì)2)延遲定理

說明：原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)上乘以z-n,算子z-n的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲n個周期。3)超前定理若則4）復(fù)數(shù)位移定理第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日5）終值定理若，在平面上以原點為圓心的單位圓上和圓外沒有極點或（z-1）F(z)全部極點位于Z平面單位圓內(nèi)。則例設(shè)的Z變換函數(shù)為求的終值。解：用終值定理第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日二、Z反換

Z反變換是已知Z變換表達(dá)式F（Z），求離散序列f（nT）或的過程。Z反變換的方法也有多種，主要方法有1.部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，并展開成部分分式，

②兩端乘以Z。F（Z）=

③查Z變化表。=例巳知，求其原函數(shù)。解寫成第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日兩邊同乘z查z變換表

2、冪級數(shù)法（長除法）將表達(dá)式直接用長除法，求按降冪排列的展開式，便可直接寫出脈沖序列的表達(dá)式。例己知求其反z變換。解可先改寫z表達(dá)式第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日用長除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有

注：在實際應(yīng)用中，常常只需要計算有限的幾項就夠了，是開放形式。第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、脈沖傳遞函數(shù)的概念定義：線性定常離散系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比。用式子為二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法

系統(tǒng)由串聯(lián)環(huán)節(jié)組成時，脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)的位置和數(shù)目有關(guān)。1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)(圖a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)(圖b)G(Z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日結(jié)論:

有采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的積；

無采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于兩個連續(xù)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)串聯(lián)之后的Z變換。本結(jié)論可推廣到n個環(huán)節(jié)。

例：設(shè)G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分別求上述兩種連接時的脈沖傳遞數(shù)。解：(1)二環(huán)節(jié)間有采樣器G(Z)=G1(Z)G2(Z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]=(2)二環(huán)節(jié)間無采樣器第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置的可能性，故閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)沒有唯一的結(jié)構(gòu)形式，通常須采用列出方程式，再消去中間信號變量求出閉環(huán)轉(zhuǎn)遞函數(shù)。

例求下圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖轉(zhuǎn)遞函數(shù)解由圖取Z變換有又由圖有由以上三式，消去中間變量可得該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日注意：1、典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式見表8.1

2、元部件相同但采樣開關(guān)的位置或個數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不同；

3、有些結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)只有輸出表達(dá)式但求不出閉環(huán)傳遞函數(shù)。第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析S平面Z平面左半平面單位園內(nèi)虛軸單位園上右半平面單位園外一、S平面與Z平面的對應(yīng)(映射)關(guān)系注：

對應(yīng)關(guān)系的證明見P196；第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日二、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件是，系統(tǒng)的特征方程的根全部位于Z平面以原點為園心的單位園內(nèi)。例某離散控制系統(tǒng)如右圖所示，采樣周期為1s，系統(tǒng)能否穩(wěn)定工作？解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程=0特征方程根由于在Z平面的單位園外，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定。第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)。具體方法、步驟；

1、求出特征方程式，

2、Z–W變換：令特征方程式中的，得到

3、對方程，用第三章勞斯判據(jù)的方法判穩(wěn)。例8-12(p197)第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

離散系統(tǒng)中誤差信號是指采樣時刻的誤差，其穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定后誤差脈沖序列。由于離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖形式，故不能給出一般的誤差脈沖傳遞函數(shù)的計算公式,其穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)來求取。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析、計算與連續(xù)系統(tǒng)的相類似，計算方法同樣有兩種。一、用Z變換的終值定理計算

若系統(tǒng)穩(wěn)定,即全部極點位于z平面單位圖內(nèi),則可用z變換終值定理求出采樣瞬時終值誤差。方法、步驟如下：1、求出誤差傳遞函數(shù)

2、求出誤差Z變換式3、終值定理計算第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日二、誤差系數(shù)方法(只適用于給定輸入信號；與連續(xù)系統(tǒng)的方法相似)

其中含有的z=1重極點個數(shù)為n(相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)中的積分個數(shù))，表征系統(tǒng)的無差度。n=0，稱為有差系統(tǒng)；n=1，稱為一階無差系統(tǒng)；n=2，稱為二階無差系統(tǒng)。

分析：

稱為位置誤差系數(shù)。且有設(shè)單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）階躍輸入時

由終值定理有N=0,

N=0,

N=0,

N=0,

n=0n>1第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日(2)斜坡輸入

，速度誤差系數(shù)當(dāng)n=0時，當(dāng)n=1時，有限值，當(dāng)n=2時，(3)加速度輸入第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日，稱為加速度誤差系數(shù)，且：例：(t)r(t)求下列系統(tǒng)單位階躍、斜波、拋物線信號共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。其中采樣周期扛0.2s。第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日解開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳函特征方程W變換誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

一、閉環(huán)極點（根的位置）與時間響應(yīng)的關(guān)系

在連續(xù)系統(tǒng)里，如果已知閉環(huán)極點在S平面上的位置，可知系統(tǒng)對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)的情況。

在離散系統(tǒng)中，若己知閉環(huán)脈沖傳函的極點在Z平面上的位置與系統(tǒng)響應(yīng)之間關(guān)系，這對系統(tǒng)設(shè)計、分析會有重要意義。

分析：設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為)當(dāng)r(t)=1(t),離散系統(tǒng)輸出的z變換C(z)=Φ(z)R(z)=第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日展成部分分式為了方便討論，假設(shè)無重極點A=式中反Z變換，輸出的脈沖序列：第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日根據(jù)Pj在單位圓的位置，可以確定C*(t)的動態(tài)響應(yīng)形式(1)單極點位于Z平面實軸上①Pj>1；閉環(huán)極點位于Z平面單位圓外的正實軸上：脈沖響應(yīng)單調(diào)發(fā)散②Pj=1；單位圓上：動態(tài)響應(yīng)為等幅（常值）脈沖序列。③0<Pj<1；單位圓正實軸上：單調(diào)遞減。④-1<Pj<0；單位圓內(nèi)負(fù)實軸：正負(fù)交替遞減脈沖序列。⑤Pj=-1；正負(fù)交替的等幅脈沖序列⑥Pj<

-1；正負(fù)交替發(fā)散脈沖序列用圖表示第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日(2)極點（共軛復(fù)數(shù)極點）位于Z平面復(fù)平面上①|(zhì)P|>1,單位園外：振蕩發(fā)散序列、|P|越大，發(fā)散越快；

②|P|=1，單位園上：等幅振蕩脈沖序列；

③|P|<1，單位園內(nèi)：收斂振蕩，|P|越小，收斂越快。用圖表示設(shè)系統(tǒng)具有一對復(fù)數(shù)極點則單位階躍信號輸入下，系統(tǒng)輸出可表示為分析：第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能計算復(fù)雜。P203頁提供式(8-39)、(8-39)作為離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算公式。二、離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算結(jié)論：想要獲得優(yōu)良的動態(tài)性能，閉環(huán)極點最好位于Z平面上單位園內(nèi)的右半平面的正實軸上，且盡可能靠近原點的地方。第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計

一、設(shè)計原理

先把數(shù)字調(diào)節(jié)器的脈沖傳遞函數(shù)看成為模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，把離散系統(tǒng)視為一連續(xù)系統(tǒng)，再按連續(xù)系統(tǒng)的校正方法(例如第六章)求出校正網(wǎng)絡(luò)；最后對求出的模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)進(jìn)行數(shù)字化。二、模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)進(jìn)行數(shù)字化常用方法：

1、直接差分法(后向差分法)

令傳遞函數(shù)中的s等于：例：己知如下傳函，求對應(yīng)的數(shù)字化式解：用直接(后向)差分法第三十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日三、數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計方法的步驟：

1、求出帶零階保持器的被控對象傳函，依靜態(tài)性能指標(biāo)作未校正前對數(shù)頻率特性；

2、根據(jù)動態(tài)性能要求，用第六章開環(huán)對數(shù)頻率特性的博德圖法，求出校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)；

3、選擇采樣頻率；

4、校正網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的離散化處理；

5、求出差分方程，計算機程序?qū)崿F(xiàn)。2、雙線性變換法令傳遞函數(shù)中的s等于：第三十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日四、例題(P207；例題8-17)

某計算機控制系統(tǒng)如圖所示。設(shè)計數(shù)字控制器，使系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率大于或等于15(1/s)，相位裕度大于或等于45度，開環(huán)增益(控制精度)大于或等于30。解:(1)未校正前的開環(huán)頻率特性根據(jù)靜態(tài)性能要求，取開環(huán)放大系數(shù)為30；把零階保持器近似為一個慣性環(huán)節(jié)，設(shè)取采樣周期為0.01秒，于是未校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正前系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖中實線所示第四十頁，共四十七頁，2022年，8月28日由圖可知，開環(huán)截止頻率約等于10(1/s)，相位裕度約等于14度，相位裕度也可以通過下式計算：(2)根據(jù)第六章，采用串聯(lián)超前校正。串聯(lián)校正傳函取為

采用串聯(lián)校正后，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如圖中虛線所示。由圖有開環(huán)截止頻率等于19(1/s)，相位裕度等于60度，開環(huán)增益(控制精度)大于或等于30。滿足性能要求值。(3)選取采樣頻率采樣頻率值己選為0.01秒。第四十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日(4)模似校正裝置的離散化

采用雙線性變換的離散化方法，令傳遞函數(shù)中s等于于是，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為(5)化數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為差分方程第四十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日代入各時間常數(shù)的值，有

為了避免運算過程中出現(xiàn)溢出，因此將控制量中誤差項的傳遞系數(shù)縮小20倍，其增益的補償將由系統(tǒng)中的功放實現(xiàn)。于是數(shù)字調(diào)節(jié)器的輸入輸出表達(dá)式為根據(jù)上式編制計算機控制算法程序。第四十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日8.9數(shù)字控制器的離散化設(shè)計

數(shù)字控制器的離散化設(shè)計方法有Z平靣的